데데킨트 환
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1. 본문
데데킨트 환(Dedekind環) 또는 데데킨트 정역(Dedekind整域, Dedekind domain)은 가환대수학에서 아이디얼의 소인수 분해가 유일하게 존재하는 정역을 말합니다.
정의:정역 R에 대해 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족하는 정역을 데데킨트 정역이라고 합니다.
- 0이 아닌 모든 진 아이디얼이 소 아이디얼로 유일하게 인수 분해가 가능합니다.
- R은 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 주 아이디얼 정역입니다.
- R은 뇌터 환이며, 모든 극대 아이디얼에서의 국소화는 체이거나 이산 값매김환입니다.
- R은 뇌터 환이며, 정수적으로 닫힌 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1입니다.
- 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원입니다.
- 뇌터 환이며, 프뤼퍼 정역입니다.
- 크룰 정역이며, 크룰 차원이 0 또는 1입니다.
- 유전환입니다.
핵심 성질:
- 아이디얼의 유일 인수분해: 데데킨트 정역에서 0이 아닌 모든 아이디얼은 유일하게 소 아이디얼들의 곱으로 표현됩니다. 이는 정수에서의 소인수분해와 유사한 성질입니다.
- 분수 아이디얼: 0이 아닌 모든 분수 아이디얼이 가역적입니다. 즉, 곱셈에 대한 역원을 가집니다.
예시:
- 대수적 수체의 정수환: 대수적 수체의 정수환은 데데킨트 정역의 중요한 예시입니다.
- 유한체 위의 다항식 환: 유한체 위의 다항식 환에서, 1차원 정규 아핀 대수 곡선의 좌표환은 데데킨트 정역입니다.
- 주 아이디얼 정역(PID): 모든 주 아이디얼 정역은 데데킨트 정역입니다.
역사:데데킨트 정역은 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)의 이름을 따서 명명되었습니다. 데데킨트는 대수적 수론에서 이 개념을 도입하여, 대수적 수체의 정수환에서 소인수 분해가 유일하지 않은 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 했습니다.
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