듀레이션

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1. 개요

듀레이션은 채권에서 발생하는 현금 흐름의 현재 가치를 가중 평균하여 상환 기간을 나타내는 지표이다. 듀레이션에는 맥컬리 듀레이션, 수정 듀레이션, 실효 듀레이션 등 여러 종류가 있으며, 채권의 만기, 표면 이자율, 시장 이자율에 의해 영향을 받는다. 듀레이션은 금리 리스크를 측정하고 관리하는 데 활용되며, 채권 포트폴리오의 금리 변동에 대한 민감도를 평가하고, 가치 at 리스크(VaR) 계산에도 사용된다. 그러나 듀레이션은 채권 가격의 비선형적인 변화를 반영하지 못하고, 내재 옵션이 있는 채권의 가격 변동을 정확히 예측하지 못하는 한계를 가지며, 이러한 한계를 보완하기 위해 컨벡시티와 실효 듀레이션 등의 개념이 활용된다.

2. 듀레이션의 정의와 종류

듀레이션은 채권의 현금흐름을 고려하여 가중평균한 만기로, 금리 변동에 대한 채권 가격의 민감도를 나타내는 지표이다. 듀레이션은 크게 맥컬리 듀레이션, 수정 듀레이션, 실효 듀레이션 등으로 나눌 수 있다.
1. 맥컬리 듀레이션 (Macaulay Duration)프레데릭 매컬리가 처음 고안한 개념으로, 채권에서 발생하는 현금흐름의 현재가치를 가중치로 하여 상환 기간을 가중평균한 값이다.^[8]
2. 수정 듀레이션 (Modified Duration)채권 금리가 1%p 변동할 때 채권 가격이 몇 퍼센트 변동하는지를 나타내는 지표이다. 채권 가격의 금리 변화에 대한 민감도를 측정하는 데 사용되며, 맥컬리 듀레이션을 채권의 만기수익률로 나누어 계산할 수도 있다.
3. 실효 듀레이션 (Effective Duration)내재 옵션(예: 풋옵션부 채권)과 같이 현금흐름이 불확실한 채권의 듀레이션을 측정하는 데 사용된다.^[27] 수익률 변화에 따른 채권 가격 변화를 측정하여 계산한다.
4. 기타 듀레이션

피셔-웨일 듀레이션: 이자율의 기간 구조를 고려하여 현금흐름을 할인하는 듀레이션이다.^[10]
키 레이트 듀레이션: 수익률 곡선의 특정 부분(key rate) 변동에 대한 채권 가격 민감도를 측정한다.^[11]
금액 듀레이션 (Dollar Duration, DV01): 금리 1%p (또는 1bp) 변동에 따른 채권 가격의 절대적 변동액을 나타낸다.
스프레드 듀레이션: 채권의 시장 가격이 옵션 조정 스프레드(OAS) 변화에 얼마나 민감한지를 나타낸다.

2. 1. 맥컬리 듀레이션 (Macaulay Duration)

프레데릭 매컬리(Frederick Macaulay)가 처음 고안한 맥컬리 듀레이션(Macaulay Duration)은 채권에서 발생하는 현금흐름의 현재가치를 가중치로 하여 상환 기간을 가중평균한 값이다.^[8]

일반적인 채권의 맥컬리 듀레이션 산출 공식은 다음과 같다.^[1]^[2]^[3]^[9]

:

D = \sum_{t=1}^{n}t\frac {PV(t)}{V}

t : 현금흐름이 발생하는 시점
PV(t) : t시점 발생하는 현금흐름(이자 또는 상환원금)의 현가
V : 채권의 현가

위의 식에서 도출되는 특수한 현금흐름을 가진 채권의 듀레이션은 다음과 같다.

'''할인채(무이표채)''' : 할인채는 현금흐름이 만기시점에 한번만 존재하기 때문에 듀레이션과 만기는 같다. 즉,

:

D = T

'''영구채권''' : 만기가 없어 원금상환없이 이자만 무한히 지급되는 영구채의 듀레이션은 다음과 같다. 즉,

:

D = \frac {1+r}{r}

매콜리는 두 가지 대안적 척도를 제시했는데,^[10]

식 (1)은 할인 인수로 무이표 채권 가격을 사용하는 '''피셔-웨일 듀레이션'''이고,
식 (3)은 채권의 만기 수익률을 사용하여 할인 인수를 계산한다.

두 듀레이션의 주요 차이점은 피셔-웨일 듀레이션은 기울어진 수익률 곡선의 가능성을 허용하는 반면, 두 번째 형태는 기간별로 변동하지 않는 상수 값

y

를 기반으로 한다는 것이다.^[10] 컴퓨터를 사용하면 두 형태를 모두 계산할 수 있지만, 상수 수익률을 가정하는 식 (3)이 수정 듀레이션에 적용되므로 더 널리 사용된다.^[11]

맥컬리 듀레이션은 위 그림과 같이 도식적으로 해석할 수 있다.

이는 쿠폰 20% 및 연속 복리 수익률 3.9605%를 갖는 2년 만기 채권을 나타낸다. 원은 지급액의 현재 가치를 나타내며, 쿠폰 지급액은 미래에 갈수록 작아지고, 최종 대규모 지급액에는 쿠폰 지급액과 최종 원금 상환액이 모두 포함된다. 이러한 원을 저울에 놓으면 저울의 받침점(균형 중심)이 가중 평균 거리(지급 시간)가 되며, 이 경우 1.777년이다.
예시액면가 100달러, 반기별 20% 쿠폰, 반기별 4% 수익률로 복리 계산되는 2년 만기 채권을 고려해보면, 총 현재 가치는 다음과 같다.

:

V = \sum_{i=1}^{n}PV_i = \sum_{i=1}^{n} \frac{CF_i} {(1+y/k)^{k \cdot t_i}} = \sum_{i=1}^{4} \frac{10} {(1+.04/2)^i} + \frac{100} {(1+.04/2)^4}

::

= 9.804 + 9.612 + 9.423 + 9.238 + 92.385 = 130.462

따라서 듀레이션(Macaulay duration)은 다음과 같다.

:

\text{MacD} = 0.5 \cdot \frac{9.804} { 130.462} + 1.0 \cdot \frac{9.612} { 130.462} + 1.5 \cdot \frac{9.423} { 130.462} + 2.0 \cdot \frac{9.238} { 130.462}  + 2.0 \cdot \frac{92.385} { 130.462}= 1.777\,\text{년}

.

액면가 1,000달러, 5% 쿠폰 금리, 연간 수익률 6.5%에 만기 5년인 채권을 예시로 듀레이션을 계산하는 단계는 다음과 같다.^[26]

{| class="wikitable"

|-

! 단계 !! 설명 !! 계산

|-

| 1. 채권 가치 추정 || 쿠폰은 1, 2, 3, 4년에 50USD가 지급된다. 그리고 5년째에는 채권은 쿠폰과 원금을 지급하여 총 1050USD가 된다. 6.5%로 현재 가치를 할인한다. ||

1년	50USD / (1 + 6.5%) ^ 1 = 46.95USD
2년	50USD / (1 + 6.5%) ^ 2 = 44.08USD
3년	50USD / (1 + 6.5%) ^ 3 = 41.39USD
4년	50USD / (1 + 6.5%) ^ 4 = 38.87USD
5년	1050USD / (1 + 6.5%) ^ 5 = 766.37USD

|-

| 2. 가중치 계산 || 각 현금 흐름이 수령되는 시간에 현재 가치를 곱한다. ||

1년	1 * 46.95USD = 46.95USD
2년	2 * 44.08USD = 88.17USD
3년	3 * 41.39USD = 124.18USD
4년	4 * 38.87USD = 155.46USD
5년	5 * 766.37USD = 3831.87USD
총계		4246.63USD

|-

| 3. 맥컬리 듀레이션 계산 || 2단계의 총계를 채권 가치(1단계)와 비교한다. || 4246.63USD / 937.66USD = 4.53

|}

2. 2. 수정 듀레이션 (Modified Duration)

수정 듀레이션은 채권의 금리가 1%p 변동할 때 채권 가격이 몇 퍼센트 변동하는지를 나타내는 지표이다. 이는 채권 가격의 금리 변화에 대한 민감도를 측정하는 데 사용된다.

수정 듀레이션은 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있다.

:

ModD = \frac{\partial{\ln{V}}}{\partial{r}}= \frac{\Delta V}{V \cdot \Delta r}

여기서,

ModD는 수정 듀레이션
V는 채권 가격
r은 채권의 금리 (수익률)

를 나타낸다.

수정 듀레이션은 맥컬리 듀레이션을 채권의 만기수익률로 나누어 계산할 수도 있다.

:

ModD = \frac{MacD}{1+r}

여기서,

MacD는 맥컬리 듀레이션
r은 채권의 만기수익률 (연속 복리)

을 나타낸다.

수정 듀레이션은 연속 복리 수익률을 기준으로 할 때 맥컬리 듀레이션과 수치적으로 같다.

수정 듀레이션은 금리(수익률)의 ''단위'' 변화에 대한 가격의 ''백분율'' 변화를 나타내는 준탄력성이다. 이는 수익률 변화에 따른 가격의 변화율을 의미한다.

듀레이션은 채권의 금리 변화에 대한 가격 민감도를 나타내며, 금리 변화와 채권 가격 변화는 거의 반비례한다. 예를 들어, 금리가 1% 상승하면 듀레이션이 7년인 채권의 가격은 약 7% 하락한다.

이자부 채권의 경우, 쿠폰(표면이자)이 높을수록 듀레이션은 짧아진다. 또한 듀레이션은 항상 채권의 잔존 기간보다 짧다.

금리 변화와 채권 가격 변화는 부호가 반대이다. 이차항은 컨벡시티(''convexity'')라고 불린다.

연 복리 등의 미소한 변화에 대한 이자부 채권 가격의 변화 크기는 '''수정 듀레이션'''

D^*

으로 주어진다.

평가 시점부터

i/n

후에 발생하는 현금 흐름을

C_i

라고 하면, 이 채권의 현재 가치는

:

P = \sum_i \frac{C_i}{(1+r/n)^i}

여기서

r

은 채권의 최종 수익률(복리),

n

은 1년당 현금 흐름 발생 횟수이다. 수정 듀레이션은 현금 흐름의 잔존 기간 가중 평균식으로 정의된다.

:

D^* = \frac{1}{P} \sum_i  \frac{C_i}{(1+r/n)^{i+1}}\cdot i/n

여기서

P

를

r

에 대해 미분하면

:

\frac{\partial P}{\partial r} = -P \cdot D^*

를 얻을 수 있다.

y_i

를 일정하게 하면, 수정 듀레이션과 맥컬리 듀레이션 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

:

D^* = \frac{D_{mac}}{1+\frac{r}{n}}

이 등식이 성립하는 것은 각 듀레이션 식에

:

1+\frac{r}{n} = \exp( y/n )

을 대입함으로써 직접 확인할 수 있다. 한편,

:

\frac{\partial r}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y} n \exp( y/n ) = \exp( y/n )

에서

:

D^* = - \frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial r} = - \frac{1}{P} \frac{\partial P}{\partial y} / \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{D}{1+\frac{r}{n}}

로, 실효 듀레이션에 관한 식으로 성립함을 보일 수도 있다.

기간별 복리 수익률을 사용하는 경우, 수정 듀레이션과 맥컬리 듀레이션의 관계는 다음과 같다.^[19]

:

ModD = \frac{MacD}{(1+y_k/k)}

여기서,

$i$ 는 현금 흐름의 색인
$k$ 는 1년당 복리 계산 빈도 (연간 1회, 반기별 2회, 월별 12회, 주별 52회 등)
$CF_i$ 는 자산에서 나오는 $i$ 번째 지급액의 현금 흐름
$t_i$ 는 $i$ 번째 지급액을 받을 때까지의 시간(''년'' 단위) (예: 2년 반기 지급의 경우 $t_i$ 색인은 0.5, 1.0, 1.5 및 2.0으로 표시됨)
$y_k$ 는 자산의 만기 수익률로, 기간별 복리 계산
$V$ 는 자산에서 발생하는 모든 현금 지급액의 현재 가치

2. 3. 실효 듀레이션 (Effective Duration)

실효 듀레이션은 내재 옵션(예: 풋옵션부 채권)과 같이 현금흐름이 불확실한 채권의 듀레이션을 측정하는 데 사용된다.^[27] 수익률의 변화에 따른 채권 가격 변화를 측정하여 계산한다.

실효 듀레이션은 다음의 이산 근사식을 사용하여 계산할 수 있다.

:

D_{eff} = \frac {P_{-\Delta y}-P_{+\Delta y}}{2(P_0)\Delta y}

여기서

\Delta y

는 수익률의 변화량,

P_{-\Delta y}

와

P_{+\Delta y}

는 수익률이 y 하락 또는 상승했을 때의 채권 가격이다.

실효 듀레이션은 연속 복리 수익률의 미소 변화에 대한 가격 변화의 크기로 정의된다. 이자부 채권을 예로 설명하면 다음과 같다. 이자부 채권의 현금 흐름을 금액

C_i

와 시점

T_i

로 나타낸다. 시점

T_i

까지의 연속 복리 수익률을

y_i

로 하고,

\Delta T_i = T_f - T_i

라고 하면, 이 채권의 현재 가치

P

는 다음과 같이 주어진다.

:

P(y_i) = \sum_i C_i e^{-y_i\Delta T_i}

실효 듀레이션

D

는 다음과 같이 정의된다.

:

\frac{\partial P(y_i+y)}{\partial y}|_{y=0} = -D \cdot P

이자부 채권의 경우, 실효 듀레이션은 다음과 같아진다.

:

D = \sum_i \Delta T_i \frac{C_i e^{-y_i\Delta T_i}}{P}

이것은 각 현금 흐름의 잔존 기간을 현재 가치로 가중 평균한 것과 같다. 이 형식으로 표현되는 듀레이션을 '''매콜리 듀레이션'''이라고 부른다. 이자부 채권처럼 확정적인 현금 흐름을 갖는 증권에서는 실효 듀레이션은 매콜리 듀레이션과 같다.

풋 옵션이 부착된 채권 등, 옵션을 내포하는 채권의 가격의 금리에 대한 민감도는, 매콜리 듀레이션이나 수정 듀레이션이 아닌, 실효 듀레이션을 사용하여 분석할 필요가 있다.

2. 4. 기타 듀레이션

피셔-웨일 듀레이션은 이자율의 기간 구조를 고려하여 현금흐름을 할인하는 듀레이션이다.^[10] 각 만기에 해당하는 무쿠폰 수익률을 사용하여 관련 현금 흐름의 현재 가치를 계산한다.

키 레이트 듀레이션은 수익률 곡선의 특정 부분(key rate)의 변동에 대한 채권 가격 민감도를 측정한다.^[11] 예를 들어 1개월, 3개월, 6개월, 1년, 2년 등의 만기를 가진 무쿠폰 금리에 대해 정의될 수 있다. 토마스 호가 이 용어를 도입했다. 키 레이트 듀레이션은 수익률 곡선을 기준으로 금융 상품의 가치를 평가하고, 수익률 곡선을 구축해야 한다.

금액 듀레이션(Dollar Duration, DV01)은 금리 1%p (또는 1bp) 변동에 따른 채권 가격의 절대적 변동액을 나타낸다.

$D_\$ = DV01 = BPV = V \cdot ModD / 100$ (수익률이 1%p 변경될 때의 달러)

$D_\$ = DV01 = V \cdot ModD / 10000$ (수익률이 1 베이시스 포인트 변경될 때의 달러)

DV01은 파생 상품 가격 결정의 델타와 유사하게 출력(달러)의 가격 변화와 입력(수익률의 베이시스 포인트)의 단위 변화의 비율이다. 달러 듀레이션 또는 DV01은 "퍼센트"가 아닌 ''달러'' 단위의 가격 변화이며, 채권 가치의 수익률 단위 변화당 달러 변동을 제공한다. 1 베이시스 포인트 단위로 측정될 때 DV01은 "01의 달러 가치"를 의미한다.

스프레드 듀레이션은 채권의 시장 가격이 옵션 조정 스프레드(OAS)의 변화에 얼마나 민감한지를 나타낸다. 지수(예: 1개월 또는 3개월 LIBOR)를 기준으로 주기적으로 재설정되는 변동 금리 자산은 유효 듀레이션이 0에 가깝지만, 고정 금리 채권과 유사한 스프레드 듀레이션을 갖는다.

3. 듀레이션의 결정 요인과 특징

듀레이션은 채권의 만기, 표면이자율(쿠폰), 시장이자율(할인율)에 의해 결정된다.^[1] 채권의 만기가 길수록 듀레이션은 길어지고, 표면이자율이 높을수록, 그리고 시장이자율이 높을수록 듀레이션은 짧아진다.

수정 듀레이션(Modified duration, MD)은 수익률에 대한 가격의 백분율 미분(수익률에 대한 채권 가격의 로그 미분)으로 정의된다.^[15] 수익률이 연속 복리로 표시될 때 머콜리 듀레이션과 수정 듀레이션은 수치적으로 같다.^[17] 수정 듀레이션은 수익률의 ''단위'' 변화에 대한 가격의 ''백분율'' 변화로, 변화율을 나타낸다.

수정 듀레이션은 주어진 유한한 수익률 변화에 대한 가격의 백분율 변화와 대략 같다. 예를 들어, 7년의 머콜리 듀레이션을 가진 15년 만기 채권은 대략 7년의 수정 듀레이션을 가지며, 금리가 1%포인트(예: 7%에서 8%로) 증가하면 가치가 약 7% 하락한다.^[20]

이자부 채권에서 쿠폰이 높을수록 듀레이션은 짧아진다. 또한, 듀레이션은 항상 채권의 잔존 기간보다 짧다. 금리 변화와 채권 가격의 변화는 거의 반비례한다.
가중 평균 잔존 수명과 머콜리 듀레이션 비교^[12]

가중 평균 잔존 수명과 머콜리 듀레이션 비교
항목	가중 평균 잔존 수명	머콜리 듀레이션
현금 흐름	고정 또는 변동 여부에 관계없이 모든 원금 현금 흐름 고려^[13]	고정 기간 현금 흐름만 측정
할인	할인하지 않음^[14]	모든 현금 흐름을 해당 자본 비용으로 할인
가중치	원금만 사용^[13]	원금과 이자를 모두 사용

3. 1. 만기

채권의 만기가 길수록 듀레이션은 길어진다. 만기가 듀레이션의 상한선이 된다. 즉, 듀레이션은 항상 만기보다 짧거나 같다. 할인채(무이표채)의 경우 듀레이션과 만기가 같다.^[1]

3. 2. 표면이자율 (쿠폰)

채권의 표면이자율(액면이자율)이 높을수록 듀레이션은 짧아진다. 표면이자율이 높을수록 미래에 받을 이자가 많아져서 현재가치가 커지고, 이는 듀레이션을 단축시키는 효과를 낸다.^[1]

3. 3. 시장이자율 (할인율)

듀레이션은 채권만기, 채권의 액면이자율(표면이자율), 시장이자율(할인율)의 세 가지 요인에 의해 결정된다. 채권의 만기가 길수록 듀레이션도 길어지며, 채권의 액면이자율이 높을수록 듀레이션은 짧아진다. 시장이자율이 높을수록 듀레이션은 짧아진다.^[1]

수정 듀레이션(Modified duration, MD)은 수익률에 대한 가격의 백분율 미분(수익률에 대한 채권 가격의 로그 미분)으로 정의된다.^[15] 수익률이 연속 복리로 표시될 때 머콜리 듀레이션과 수정 듀레이션은 수치적으로 같다.^[17]

수정 듀레이션은 주어진 유한한 수익률 변화에 대한 가격의 백분율 변화와 대략 같다. 따라서 7년의 머콜리 듀레이션을 가진 15년 만기 채권은 대략 7년의 수정 듀레이션을 가지며, 금리가 1%포인트(예: 7%에서 8%로) 증가하면 가치가 약 7% 하락한다.^[20]
예시액면가 100USD, 반기별 20% 쿠폰, 반기별 4% 수익률로 복리 계산되는 2년 만기 채권을 고려해보자.

총 현재 가치: 130.462USD
듀레이션(Macaulay duration): 1.777년
수정 듀레이션(modified duration): 1.742 (수익률이 1%p 변동할 때 가격의 변화율)
DV01: 2.27USD (수익률이 1%p 변동할 때)

액면가 1000USD, 5% 쿠폰 금리, 연간 수익률 6.5%에 만기 5년인 채권의 경우,^[26] 듀레이션을 계산하는 단계는 다음과 같다.

1. 채권 가치 추정: 937.66USD

2. 각 현금 흐름이 수령되는 시간에 현재 가치를 곱한다.

3. 머콜리 듀레이션: 4246.63USD / 937.66USD = 4.53

3. 4. 가중 평균 잔존 수명 (Weighted Average Life)과의 비교

가중 평균 잔존 수명과 마콜리 듀레이션의 가치 및 정의는 유사하여 혼동될 수 있다.^[12] 예를 들어, 5년 만기 고정 금리 이자만 지급하는 채권의 가중 평균 잔존 수명은 5년이며, 마콜리 듀레이션은 이와 매우 근접할 것이다. 주택 담보 대출도 유사하게 작동한다. 그러나 두 가지는 다음과 같은 차이점을 갖는다.

# 마콜리 듀레이션은 고정 기간 현금 흐름만 측정하는 반면, 가중 평균 잔존 수명은 고정 또는 변동 여부에 관계없이 모든 원금 현금 흐름을 고려한다. 따라서 고정 기간 하이브리드 ARM 주택 담보 대출의 경우, 모델링 목적상 전체 고정 기간은 마지막 고정 지급일 또는 재설정 전 달에 종료된다.^[13]

# 마콜리 듀레이션은 모든 현금 흐름을 해당 자본 비용으로 할인한다. 가중 평균 잔존 수명은 할인하지 않는다.^[14]

# 마콜리 듀레이션은 현금 흐름을 가중할 때 원금과 이자를 모두 사용한다. 가중 평균 잔존 수명은 원금만 사용한다.^[13]

4. 듀레이션의 활용

듀레이션은 채권 투자에서 금리 리스크를 측정하고 관리하는 데 사용되는 핵심 지표이다. 투자자는 듀레이션을 통해 금리 변동에 따른 채권 가격 변동을 예측하고, 포트폴리오 위험을 관리하며, 투자 전략을 수립할 수 있다.
듀레이션의 종류

매콜리 듀레이션: 각 현금 지급 시점을 해당 지급액의 현재 가치로 가중 평균한 만기 현금 흐름이다. 무이표 채권의 경우 매콜리 듀레이션은 채권 만기와 같다.^[8]^[10]
수정 듀레이션: 수익률에 대한 가격의 백분율 미분으로 정의되는 가격 민감도 측정치이다.^[15] 수익률이 연속 복리로 표시될 때 매콜리 듀레이션과 수정 듀레이션은 수치적으로 같다.^[17]
피셔-웨일 듀레이션: 이자율의 기간 구조를 고려하여 매콜리 듀레이션을 개선한 형태이다.
키 레이트 듀레이션(부분 DV01 또는 부분 듀레이션): 수익률 곡선의 다양한 부분 이동에 대한 민감도를 측정한다. 토마스 호가 1992년 도입했다.
머니 듀레이션(DV01): 수익률에 대한 가치의 미분값의 음수로 정의된다.^[26] 이자율 스왑과 같이 선행 가치가 없는 상품에 유용하다.

듀레이션 활용

금리 민감도 측정: 듀레이션은 금리 변화에 따른 채권 가격 변동성을 측정한다.
포트폴리오 위험 관리: 투자자는 듀레이션을 활용하여 포트폴리오의 금리 리스크를 관리하고, 투자 목표에 맞게 듀레이션을 조절할 수 있다.
투자 전략 수립: 금리 예측을 바탕으로 투자 전략을 수립할 때 활용된다. (예: 금리 상승 예상 시 듀레이션이 짧은 채권에 투자)
가치 at 리스크(VaR) 계산: 금액 듀레이션은 VaR 계산에 사용될 수 있다.

금리와 채권 가격의 관계금리 변화와 채권 가격 변화는 반비례 관계이다. 예를 들어, 금리가 1% 상승하면 듀레이션이 7년인 채권 가격은 약 7% 하락한다.
셔먼 비율더블라인 캐피탈의 제프리 셔먼이 명명한 셔먼 비율은 채권 듀레이션 단위당 제공되는 수익률을 의미한다.^[29]
포트폴리오 듀레이션채권 포트폴리오(예: 채권 뮤추얼 펀드)의 금리 변동에 대한 민감도를 나타낸다.

4. 1. 금리 리스크 측정 및 관리

듀레이션은 채권 투자에서 금리 리스크를 측정하고 관리하는 데 사용되는 핵심 도구이다. 투자자는 듀레이션을 통해 금리 변동에 따른 채권 가격 변동을 예측하고, 포트폴리오 위험을 관리하며, 투자 전략을 수립할 수 있다.
매콜리 듀레이션은 각 현금 지급 시점을 해당 지급액의 현재 가치로 가중 평균한 만기 현금 흐름이다. 채권 가격은 이 가중치의 합으로 계산된다.^[8]

매콜리 듀레이션 공식은 다음과 같다.^[1]^[2]^[3]^[9]

:(1)

\text{매콜리 듀레이션} = \frac{\sum_{i=1}^{n}{t_i PV_i}} {\sum_{i=1}^{n}{PV_i}}  = \frac{\sum_{i=1}^{n}{t_i PV_i}} {V}  = \sum_{i=1}^{n}t_i \frac{PV_i} {V}

여기서,

$i$ : 현금 흐름
$PV_i$ : 자산에서 발생하는 $i$ 번째 현금 지급액의 현재 가치
$t_i$ : $i$ 번째 지급액을 수령할 때까지의 연수
$V$ : 자산에서 발생하는 모든 미래 현금 지급액의 현재 가치

고정된 양수 현금 흐름 집합에서 가중 평균은 0 (최소 시간)과 마지막 현금 흐름 시간 사이에 있다. 매콜리 듀레이션은 만기에 단일 지급만 있는 경우에만 최종 만기와 같다. 즉, 매콜리 듀레이션은 무이표 채권에 대해서만 채권 만기와 같다.^[10]

대부분의 계산에서 매콜리 듀레이션은 만기 수익률을 사용하여

PV(i)

를 계산한다.^[11]

:(3)

\text{매콜리 듀레이션} = \sum_{i=1}^{n}t_i\frac{CF_i \cdot e^{-y \cdot t_i}} {V}

여기서,

$i$ : 현금 흐름
$PV_i$ : 자산에서 발생하는 $i$ 번째 현금 지급액의 현재 가치
$CF_i$ : 자산에서 발생하는 $i$ 번째 지급액의 현금 흐름
$y$ : 자산의 만기 수익률 (연속 복리)
$t_i$ : $i$ 번째 지급액을 수령할 때까지의 연수
$V$ : 만기까지 자산에서 발생하는 모든 현금 지급액의 현재 가치

수정 듀레이션(Modified duration, MD) 은 수익률에 대한 가격의 백분율 미분으로 정의되는 가격 민감도 측정치이다.^[15] 수익률이 연속 복리로 표시될 때 매콜리 듀레이션과 수정 듀레이션은 수치적으로 같다.^[17]

:

ModD = MacD

.^[1]

그러나 금융 시장에서 수익률은 일반적으로 기간별 복리(예: 연간, 반기)로 표시된다.^[18] 이 경우 수정 듀레이션과 매콜리 듀레이션 간의 관계는 다음과 같다.

:

ModD = \frac{MacD}{(1+y_k/k)}

여기서,

$k$ : 1년당 복리 계산 빈도 (연간 1회, 반기별 2회 등)
$y_k$ : 자산의 만기 수익률 (기간별 복리)

매콜리 듀레이션은 연 단위로 측정되는 반면, 수정 듀레이션은 연간 수익률 변화에 따른 가격 변화 백분율로 측정된다.^[20]
피셔-웨일 듀레이션은 이자율의 기간 구조를 고려하여 매콜리 듀레이션을 개선한 형태이다. 각 만기에 해당하는 무쿠폰 수익률을 사용하여 현금 흐름의 현재 가치를 계산한다.
키 레이트 듀레이션(부분 DV01 또는 부분 듀레이션)은 전체 수정 듀레이션을 확장하여 수익률 곡선의 다양한 부분 이동에 대한 민감도를 측정한다. 토마스 호가 1992년 도입했다.
머니 듀레이션(DV01)은 수익률에 대한 가치의 미분값의 음수로 정의된다.^[26]

:

D_\$ =  DV01 = -\frac{\partial V}{\partial y}.

이는 수정 듀레이션과 가격의 곱이다.

:

D_\$ = DV01 = BPV = V \cdot ModD / 100

(수익률 1%p 변화)

또는

:

D_\$ = DV01 = V \cdot ModD / 10000

(수익률 1bp 변화)

DV01은 이자율 스왑과 같이 선행 가치가 없는 상품에 유용하다.
듀레이션 활용:

금리 민감도 측정: 듀레이션은 금리 변화에 따른 채권 가격 변동성을 측정한다.
포트폴리오 위험 관리: 투자자는 듀레이션을 활용하여 포트폴리오의 금리 리스크를 관리하고, 투자 목표에 맞게 듀레이션을 조절할 수 있다.
투자 전략 수립: 듀레이션은 금리 예측을 바탕으로 한 투자 전략 수립에 활용될 수 있다. 예를 들어, 금리 상승이 예상될 경우 듀레이션이 짧은 채권에 투자하여 금리 리스크를 줄일 수 있다.

예시:액면가 1000USD, 5% 쿠폰 금리, 연간 수익률 6.5%에 만기 5년인 채권의 듀레이션 계산^[26]

1. 채권 가치 추정:

1년: 50USD / (1 + 6.5%) ^ 1 = 46.95USD
2년: 50USD / (1 + 6.5%) ^ 2 = 44.08USD
3년: 50USD / (1 + 6.5%) ^ 3 = 41.39USD
4년: 50USD / (1 + 6.5%) ^ 4 = 38.87USD
5년: 1050USD / (1 + 6.5%) ^ 5 = 766.37USD
채권 가치 = 937.66USD

2. 각 현금 흐름의 현재 가치에 수령 시간을 곱함:

1년: 1 * 46.95USD = 46.95USD
2년: 2 * 44.08USD = 88.17USD
3년: 3 * 41.39USD = 124.18USD
4년: 4 * 38.87USD = 155.46USD
5년: 5 * 766.37USD = 3831.87USD
총계: 4246.63USD

3. 매콜리 듀레이션: 4246.63USD / 937.66USD = 4.53
금리 변화와 채권 가격 변화의 관계:금리 변화와 채권 가격 변화는 반비례 관계이다. 예를 들어, 금리가 1% 상승하면 듀레이션이 7년인 채권 가격은 약 7% 하락한다.
셔먼 비율:더블라인 캐피탈의 제프리 셔먼이 명명한 셔먼 비율은 채권 듀레이션 단위당 제공되는 수익률을 의미한다.^[29] 2020년 12월 31일 블룸버그 바클레이스 미국 회사채 지수에서 사상 최저치인 0.1968을 기록했다.^[30]

4. 2. 포트폴리오 듀레이션

채권 포트폴리오(예: 채권 뮤추얼 펀드)의 금리 변동에 대한 민감도는 중요할 수 있다. 포트폴리오 내 채권의 평균 듀레이션은 자주 보고된다. 포트폴리오의 듀레이션은 포트폴리오 내 모든 현금 흐름의 가중 평균 만기와 같다. 각 채권의 만기 수익률이 동일하다면, 이는 포트폴리오 채권 듀레이션의 가중 평균과 같으며, 가중치는 채권 가격에 비례한다.^[1] 그렇지 않은 경우 채권 듀레이션의 가중 평균은 단지 좋은 근사치일 뿐이지만, 금리 변동에 대한 포트폴리오 가치의 변화를 추론하는 데 여전히 사용할 수 있다.^[28]

뮤추얼 펀드 등이 채권에 투자하는 펀드에서 채권 포트폴리오의 금리 변동에 대한 민감도는 중요하다. 포트폴리오의 채권 평균 듀레이션은 보고서에 자주 기재된다. 포트폴리오의 듀레이션은 해당 포트폴리오의 모든 현금 흐름의 가중 평균 잔존 기간과 같다. 개별 채권의 만기 수익률이 동일하다면, 해당 포트폴리오의 채권 듀레이션을 가중 평균한 것과 같아진다. 그 외의 경우에는 채권 듀레이션의 가중 평균은 근사치가 되지만, 금리 변동에 대한 포트폴리오 가치 변화를 추정하는 데 사용된다.

4. 3. 가치 at 리스크 (Value at Risk, VaR)

금액 듀레이션은 가치 at 리스크(VaR) 계산에 사용될 수 있다. VaR은 특정 기간 동안 발생할 수 있는 최대 손실 금액을 추정하는 지표이다. 금액 듀레이션을 활용하여 금리 변동에 따른 포트폴리오의 VaR을 계산할 수 있다.

금액 듀레이션(

D_{\$}

)은 듀레이션과 채권 가격(가치)의 곱으로 정의되며, 금리의 미소 변화에 대한 채권 가격의 변화량을 나타낸다. VaR 계산에 일반적으로 사용되며, 식으로 나타내면 다음과 같다.

:

D_{\$} = -\frac{\partial P}{\partial r}

이때 익스포저의 벡터는 다음과 같이 표현된다.

:

\omega_i = - D_{\$,i} \cdot r_i

5. 듀레이션의 한계와 보완

듀레이션은 금리 변동과 채권 가격 변화의 관계를 단순화하여 예측하지만, 몇 가지 한계점을 가지고 있다.

첫째, 듀레이션은 금리와 채권 가격 간의 관계를 선형으로 가정하지만, 실제 채권 가격은 금리에 대해 볼록한(convex) 곡선 형태로 변동한다. 이러한 차이 때문에 듀레이션은 실제 채권 가격 변동을 정확하게 예측하지 못할 수 있다.

둘째, 듀레이션은 수익률 곡선이 평행하게 이동한다고 가정한다. 즉, 모든 만기의 금리가 동일하게 변동한다고 보지만, 실제로는 단기 금리와 장기 금리가 서로 다르게 움직이는 경우가 많다. 따라서 듀레이션은 채권 가격 변동을 정확하게 예측하는 데 한계가 있다.

셋째, 콜옵션이나 풋옵션과 같이 옵션이 내재된 채권의 경우, 수정 듀레이션은 금리 변동에 따른 가격 변동을 정확하게 반영하지 못한다.^[27] 이러한 채권의 금리 민감도는 실효 듀레이션을 사용하여 분석해야 한다. 예를 들어 채권 만기 전 언제든지 액면가로 채권자가 상환할 수 있는 1,000달러 채권(미국식 풋옵션)을 생각해 보자. 금리가 아무리 높아져도 채권 가격은 1,000달러 아래로 떨어지지 않으므로, 이 채권의 금리 변동에 대한 가격 민감도는 풋옵션이 없는 채권과는 다르다.

이러한 한계를 보완하기 위해 컨벡시티(convexity)라는 개념이 사용된다.^[20] 컨벡시티는 금리 변동에 따른 채권 가격 변화의 곡률을 측정하는 지표로,^[1] 듀레이션이 금리에 대한 채권 가격 함수의 1차 도함수라면, 컨벡시티는 2차 도함수로 나타낼 수 있다. 컨벡시티는 채권의 미래 현금 흐름 분산 정도를 나타내는 지표로도 활용된다.

콜 옵션이 없는 채권은 '''양의 컨벡시티'''를 가지며, 금리가 하락하면 듀레이션과 가격이 모두 상승한다. 반면, 발행자가 채권을 조기에 상환할 수 있는 콜 옵션이 있는 채권은 금리가 옵션 행사 가격에 가까워질수록 '''음의 컨벡시티'''를 갖는다. 금리가 하락하면 듀레이션이 감소하여 가격 상승 속도가 둔화되기 때문이다. 주택저당증권(MBS)은 미국식 15년 또는 30년 고정 금리 모기지를 담보로 하며, 원금 조기 상환이 가능하다는 점에서 콜러블 채권의 예시이다.

옵션이 내재된 채권의 가격을 산정하기 위해서는 옵션 가격 결정을 사용하여 채권의 가치를 결정하고, 델타를 계산해야 한다. '''유효 듀레이션'''은 델타에 대한 유한 차분 근사치이며, 옵션 가격 결정 모델이 필요하다. 유효 듀레이션은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\text{유효 듀레이션} = \frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_0)\Delta y}$

여기서 Δ ''y''는 수익률 변화량이고, $V_{-\Delta y}$ 와 $V_{+\Delta y}$ 는 각각 수익률이 ''y''만큼 하락하거나 상승할 경우 채권이 가지게 될 가치이다. 이러한 값은 트리 기반 모형을 사용하여 계산할 수 있다.

5. 1. 듀레이션의 한계

듀레이션은 금리 변동과 채권 가격 변화 간의 선형 관계를 가정하지만, 실제 채권 가격은 금리에 대해 볼록(convex)한 곡선 형태로 변동한다. 이러한 차이로 인해 듀레이션은 실제 채권 가격 변동을 정확하게 예측하지 못하는 경우가 발생한다.

듀레이션은 또한 수익률 곡선의 평행 이동, 즉 모든 만기의 금리가 동일하게 변동한다고 가정한다. 그러나 실제로는 단기 금리와 장기 금리가 서로 다르게 변동하는 경우가 많다. 이러한 경우 듀레이션은 채권 가격 변동을 정확하게 예측하는 데 한계가 있다.

금리 변화와 채권 가격의 변화는 반대 부호를 가진다. 이 관계에서 이차항은 컨벡시티(convexity)라고 불린다.^[20]

5. 2. 컨벡시티 (Convexity)

듀레이션은 금리 변화에 따른 채권 가격 변화를 나타내는 선형 지표이지만, 실제 채권 가격은 금리에 대해 볼록 함수를 따른다. 컨벡시티는 이러한 금리 변동에 따른 채권 가격 변화의 곡률을 측정하는 지표이다.^[1] 듀레이션이 금리에 대한 채권 가격 함수의 1차 도함수라면, 컨벡시티는 2차 도함수로 나타낼 수 있다.

컨벡시티는 채권의 미래 현금 흐름 분산 정도를 나타내는 지표로도 활용된다. 듀레이션이 할인된 평균 만기를 나타낸다면, 컨벡시티는 수익률의 할인된 표준 편차를 계산하는 데 사용된다.

컨벡시티는 양수 또는 음수가 될 수 있다. '''양의 컨벡시티'''를 가진 채권은 콜 옵션이 없는 채권으로, 발행자는 만기에 채권을 상환해야 한다. 이러한 채권은 금리가 하락하면 듀레이션과 가격이 모두 상승한다.

반면, 발행자가 채권을 조기에 상환할 수 있는 콜 옵션'''이 있는''' 채권은 금리가 옵션 행사 가격에 가까워질수록 '''음의 컨벡시티'''를 갖는다. 즉, 금리가 하락하면 듀레이션이 감소하여 가격 상승 속도가 둔화된다. 이는 발행자가 높은 이자율의 기존 채권을 상환하고 더 낮은 금리로 새로운 채권을 발행할 수 있기 때문이며, 이러한 옵션은 발행자에게 유리하다. 이 경우에는 유효 컨벡시티를 계산하는 것이 더 정확하다.

주택저당증권(MBS)은 미국식 15년 또는 30년 고정 금리 모기지를 담보로 하며, 원금 조기 상환이 가능하다는 점에서 콜러블 채권의 예시이다.

5. 3. 내재 옵션이 있는 채권

콜옵션이나 풋옵션과 같이 옵션이 내재된 채권의 경우, 수정 듀레이션은 금리 변동에 따른 가격 변동을 정확하게 반영하지 못한다.^[27] 이러한 채권의 경우, 실효 듀레이션을 사용하여 금리 민감도를 분석해야 한다.

예를 들어, 채권 만기 전 언제든지 액면가로 채권자가 상환할 수 있는 1,000달러 채권(미국식 풋옵션)을 생각해 보자. 금리가 아무리 높아지더라도, 채권 가격은 1,000달러 아래로 떨어지지 않을 것이다. 이 채권의 금리 변동에 대한 가격 민감도는 다른 조건은 같지만 풋옵션이 없는 채권과는 다르다.

이러한 채권의 가격을 산정하기 위해서는 옵션 가격 결정을 사용하여 채권의 가치를 결정해야 하며, 그 다음에는 델타를 계산할 수 있는데, 이것이 듀레이션이다. '''유효 듀레이션'''은 후자에 대한 유한 차분 근사치이며, 옵션 가격 결정 모델이 필요하다.

:

\text{유효 듀레이션} = \frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_0)\Delta y}

여기서 Δ ''y''는 수익률 변화의 양이며,

V_{-\Delta y}

와

V_{+\Delta y}

는 각각 수익률이 ''y''만큼 하락하거나 상승할 경우 채권이 가지게 될 가치이다.

이러한 값은 일반적으로 트리 기반 모형을 사용하여 계산되며, 단일 만기 수익률이 아닌 ''전체'' 수익률 곡선에 대해 구축되므로 시간과 금리 모두의 함수로서 옵션 수명의 각 지점에서 행사 행동을 포착한다.

참조

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