람베르트 급수

1. 본문

람베르트 급수(Lambert series)는 다음 형태의 급수를 말합니다.

```

F(x) = ∑_(n=1)^∞ a_n * (x^n / (1 - x^n)) (|x| < 1)

```
정의 및 생성 함수:

• 람베르트 급수는 람베르트가 도입한 수열의 합입니다.
• 람베르트 급수 생성 함수는 다음과 같습니다:

```

F(x) = ∑_(n=1)^∞ a_n * (x^n / (1 - x^n))

```

• 이 급수는 다음과 같이 변형될 수 있습니다:

```

F(x) = ∑_(n=1)^∞ a_n ∑_(m=1)^∞ x^(mn) = ∑_(N=1)^∞ b_N * x^N

```

여기서 b_N은 N의 약수 n에 대한 a_n의 합입니다. 즉, b_N = ∑_(n|N) a_n.
특징:

• 람베르트 급수는 제수 함수(divisor function)와 관련된 항들을 생성하기 때문에 수론에서 곱셈적 특수 함수(multiplicative special functions)의 생성 함수를 열거하는 자연스러운 방법입니다.
• a_n이 삼각 함수인 경우, 람베르트 급수는 야코비 세타 함수(Jacobi theta functions)의 로그 도함수의 다양한 조합으로 평가될 수 있습니다.

역사:

• 요한 하인리히 람베르트(Johann Heinrich Lambert, 1728-1777)가 도입했습니다.
• 람베르트는 1761년에 탄젠트 함수의 연분수 전개식을 이용하여 원주율(π)이 무리수임을 증명했습니다.

응용:

• 수론
• 쌍곡선 함수 연구
• 고차 방정식 해 (라그랑주 반전 정리 이용)

람베르트 W 함수:람베르트 W 함수는 지수 함수와 관련된 특수 함수로, 람베르트 급수와는 다른 개념입니다. 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.