로그순위법

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 계산 과정
3. 점근적 분포
- 3.1. 표본 크기 계산
4. 다른 통계량과의 관계
5. 가정
- 5.1. 가정 위반 시 문제점
6. 같이 보기
참조

1. 개요

로그순위법은 두 군의 생존률을 비교하기 위해 사용되는 통계적 방법이다. 이 방법은 관찰 기간 동안 사건 발생 시점을 기준으로 각 군의 위험 함수 추정치를 비교하며, 귀무 가설 하에서 각 군의 생존률을 평가한다. 로그순위 통계량은 관찰된 사건 시간에서 두 그룹의 위험 함수 추정치를 비교하며, 점근적으로 표준 정규 분포를 따른다. 로그순위 검정은 중도 절단이 예후와 관련이 없고, 생존 확률이 등록 시점에 관계없이 동일하며, 사건이 특정 시간에 발생한다는 가정을 기반으로 한다.

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로그순위법
일반 정보
종류	통계적 가설 검정
분야	생존 분석
다른 이름
영어 이름	Log-rank test
다른 이름	Mantel–Cox test
개발자
개발자	네이선 맨텔 리처드 피토

2. 정의

로그순위법은 두 집단의 생존 경험을 비교하는 데 사용되는 비모수적 방법이다.^[13] 주로 의학 연구에서 특정 치료법이나 약물의 효과를 평가하기 위해 치료군과 대조군의 생존 시간을 비교할 때 활용된다. 이 검정의 핵심은 각 관찰된 사건 발생 시점에서 두 그룹의 위험 함수(hazard function) 추정치를 비교하는 것이다.

로그순위 검정은 두 그룹의 위험 함수가 동일하다는 귀무 가설( $H_0$ )을 설정하고 시작한다. 즉, $H_0 : h_1(t) = h_2(t)$ 로, 이는 시간에 따른 사건 발생 위험(예: 사망 위험)이 두 그룹 간에 차이가 없다고 가정하는 것이다. 이 가설 하에서, 각 사건 발생 시점( $j$ )에 관찰된 사건들은 각 그룹의 위험군 크기에 비례하여 분포될 것으로 기대한다.

검정 통계량은 각 사건 발생 시점에서 관찰된 그룹별 사건 수( $O_{i,j}$ )와 귀무 가설 하에서 기대되는 사건 수( $E_{i,j}$ )의 차이를 계산하고, 이를 모든 사건 발생 시점에 걸쳐 합산하여 구한다. 기대 사건 수와 그 분산( $V_{i,j}$ )은 초기하분포의 원리를 이용하여 계산된다. 로그순위 검정 통계량 $Z$ 는 관찰된 사건 수와 기대 사건 수의 총 차이를, 그 차이의 표준 오차로 나눈 값으로 다음과 같이 정의된다:

: $Z = \frac {\sum_{j=1}^J (O_{i,j} - E_{i,j})} {\sqrt {\sum_{j=1}^J V_{i,j}}}$

중심 극한 정리에 따라, 사건 발생 시점의 수( $J$ )가 충분히 크면 이 $Z$ 통계량의 분포는 표준 정규 분포( $\mathcal N(0,1)$ )에 근사한다. 이 근사 분포를 이용하여 계산된 $Z$ 값의 통계적 유의성을 평가하고, 귀무 가설의 기각 여부를 판단하여 두 그룹 간 생존 경험에 차이가 있는지를 결론 내린다.^[7]

2. 1. 계산 과정

로그순위법의 계산 과정은 비교하려는 두 그룹(예: 특정 치료를 받은 치료군과 받지 않은 대조군)의 데이터를 통합하여 시작한다. 먼저, 두 그룹의 모든 대상자를 관찰 기간 순서대로 배열한다. 이때 추적 관찰 기간 중 연락 두절이나 다른 원인으로 인해 최종 결과를 알 수 없게 된 경우(이를 '중도절단'(censored)이라고 한다)는 분석에서 제외한다. 그 후, 실제 사건(예: 사망, 질병 재발 등)이 발생한 각 시점(

j

)에 주목한다.^[13]

각 사건 발생 시점

j

(

j=1, \ldots, J

)마다 다음 값들을 계산한다:

$N_{1,j}$ 와 $N_{2,j}$ : 시점 $j$ 직전에 각 그룹(그룹 1, 그룹 2)에서 아직 사건을 경험하지 않았고 중도절단되지 않아 사건 발생 가능성이 있는 대상자 수('위험군'이라고도 한다).
$O_{1,j}$ 와 $O_{2,j}$ : 시점 $j$ 에 각 그룹에서 실제로 관찰된 사건 수.
$N_j$ : 시점 $j$ 직전에 전체 대상자 중 사건 발생 가능성이 있는 대상자 총수 ( $N_j = N_{1,j} + N_{2,j}$ ).
$O_j$ : 시점 $j$ 에 전체 대상자 중에서 관찰된 사건 총수 ( $O_j = O_{1,j} + O_{2,j}$ ).

로그순위 검정의 핵심 아이디어는 귀무 가설(

H_0

)을 설정하고 이를 검정하는 것이다. 귀무 가설은 "두 그룹의 위험 함수가 동일하다(

H_0 : h_1(t) = h_2(t)

)"는 것으로, 이는 두 그룹 간 생존 경험(사건 발생률)에 차이가 없다고 가정하는 것이다.^[13]

이 귀무 가설이 맞다면, 특정 시점

j

에서 발생한 총 사건 수(

O_j

)는 각 그룹의 위험군 크기(

N_{1,j}, N_{2,j}

)에 비례하여 분포될 것으로 기대할 수 있다. 구체적으로, 각 그룹

i

(

i=1

또는

2

)에서 시점

j

에 관찰된 사건 수

O_{i,j}

는 모수가

N_j

,

N_{i,j}

,

O_j

인 초기하분포를 따른다고 본다. 이 분포로부터 각 그룹별로 기대되는 사건 수(

E_{i,j}

)와 그 분산(

V_{i,j}

)을 계산할 수 있다:

기대 사건 수: $E_{i,j} = N_{i,j} \times \frac{O_j}{N_j}$
이는 시점 $j$ 에서 전체 위험군( $N_j$ ) 중 그룹 $i$ 가 차지하는 비율( $N_{i,j}/N_j$ )만큼 전체 사건( $O_j$ )이 그룹 $i$ 에서 발생할 것이라고 기대하는 값이다.
분산: $V_{i,j} = E_{i,j} \times \left( \frac{N_j - O_j}{N_j} \right) \times \left( \frac{N_j - N_{i,j}}{N_j - 1} \right)$

로그순위 검정 통계량

Z

는 모든 사건 발생 시점(

j=1

부터

J

까지)에 걸쳐 각 그룹에서 관찰된 총 사건 수와 기대된 총 사건 수의 차이를 비교한다. 통계량은 다음과 같이 계산된다 (그룹

i=1

또는

2

중 하나에 대해 계산하며, 다른 그룹은 부호만 반대이다):

:

Z = \frac {\sum_{j=1}^J (O_{i,j} - E_{i,j})} {\sqrt {\sum_{j=1}^J V_{i,j}}}

여기서 분자는 모든 시점에서 관찰된 사건 수와 기대 사건 수의 차이를 합한 것이고, 분모는 모든 시점에서의 분산을 합한 값의 제곱근이다.

중심 극한 정리에 따라, 사건 발생 시점의 수(

J

)가 충분히 크다면 이

Z

통계량의 분포는 평균 0, 분산 1의 표준 정규 분포(

\mathcal N(0,1)

)에 가까워진다. 따라서 계산된

Z

값을 표준 정규 분포와 비교하여 귀무 가설을 기각할지 여부(즉, 두 그룹 간 생존 경험에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지)를 판단할 수 있다. 경우에 따라서는 더 정확한 근사를 위해 피어슨 분포(Pearson type I 또는 II distribution)를 사용하기도 한다.^[7]

3. 점근적 분포

두 그룹의 생존 함수가 동일하다는 귀무 가설 하에서, 로그 순위 통계량 $Z$ 는 표본 크기가 충분히 클 때 근사적으로 표준 정규 분포를 따른다. 이를 이용하여 가설 검정을 수행할 수 있다. 예를 들어, 유의 수준 $\alpha$ 인 단측 검정에서는 로그 순위 통계량 $Z$ 가 표준 정규 분포의 상위 $\alpha$ 분위수인 $z_\alpha$ 보다 크면 ( $Z>z_\alpha$ ) 귀무 가설을 기각한다.

만약 두 그룹 간의 실제 위험비가 $\lambda$ 이고, 총 피험자 수가 $n$ 이며, 각 그룹에 피험자가 50%씩 무작위 배정되고, 연구 기간 동안 사건이 발생할 확률이 $d$ 라고 가정하면, 로그 순위 통계량 $Z$ 는 평균이 $(\log{\lambda}) \, \sqrt {\frac {n \, d} {4}}$ 이고 분산이 1인 정규 분포를 근사적으로 따른다.^[4]^[9] 이 분포적 성질은 연구 설계 시 필요한 표본 크기를 계산하는 데 사용된다.

동일한 임상시험에서 서로 다른 두 시점(사건 발생 확률 $d_1 \leq d_2$ )에서의 로그 순위 통계량을 각각 $Z_1$ (먼저 측정한 값)과 $Z_2$ 라고 하자. 이 경우 $Z_1$ 과 $Z_2$ 는 평균이 각각 $\log{\lambda} \, \sqrt {\frac {n \, d_1} {4}}$ 와 $\log{\lambda} \, \sqrt {\frac {n \, d_2} {4}}$ 이고, 상관계수가 $\sqrt {\frac {d_1} {d_2}}$ 인 근사적인 이변량 정규 분포를 따른다. 임상시험 중간에 데이터를 여러 번 분석하는 경우(예: 데이터 모니터링 위원회의 활동), 전체적인 오류율(type I error rate)을 적절하게 유지하기 위해서는 이러한 통계량들의 동시 분포를 고려한 통계적 분석 방법이 필요하다.

3. 1. 표본 크기 계산

로그 순위 검정의 검정력(

1-\beta

)과 유의 수준(

\alpha

)을 미리 설정하고, 예상되는 위험비(hazard ratio,

\lambda

)를 바탕으로 필요한 표본 크기

n

을 계산할 수 있다.

두 그룹의 생존 함수가 동일하다는 귀무 가설 하에서, 로그 순위 통계량

Z

는 근사적으로 표준 정규 분포를 따른다. 유의 수준

\alpha

인 단측 검정에서는

Z>z_\alpha

일 때 귀무 가설을 기각하며, 여기서

z_\alpha

는 표준 정규 분포의 상위

\alpha

분위수이다.

만약 두 그룹 간의 실제 위험비가

\lambda

이고, 총 피험자 수가

n

이며, 각 그룹에 피험자가 50%씩 무작위 배정되고, 연구 종료 시점까지 사건(예: 사망, 재발 등)이 발생할 것으로 예상되는 피험자의 비율을

d

라고 가정하자 (이 경우 예상되는 총 사건 수는

nd

가 된다). 이러한 조건에서 로그 순위 통계량

Z

는 평균이

(\log{\lambda}) \, \sqrt {\frac {n \, d} {4}}

이고 분산이 1인 정규 분포를 근사적으로 따른다.^[4]^[9]

따라서 유의 수준

\alpha

와 검정력

1-\beta

를 만족시키기 위해 필요한 총 표본 크기

n

은 다음 공식으로 계산할 수 있다:

n = \frac {4 \, (z_\alpha + z_\beta)^2 } {d \, (\log{\lambda})^2}

여기서

z_\alpha

와

z_\beta

는 각각 표준 정규 분포의 상위

\alpha

및 상위

\beta

분위수이다.

4. 다른 통계량과의 관계

로그순위 통계량은 두 그룹을 비교하는 점수 검정으로 콕스 비례 위험 모형에서 파생될 수 있다. 따라서 해당 모형에서 파생된 우도비 검정 통계량과 점근적으로 동일하다. 또한, 로그순위 통계량은 비례 위험 대안을 가진 모든 분포군에 대한 우도비 검정 통계량과 점근적으로 동일하다. 예를 들어, 두 표본의 데이터가 지수 분포를 갖는 경우가 이에 해당한다.

만약 $Z$ 가 로그순위 통계량이고, $D$ 가 관찰된 사건의 수이며, $\hat {\lambda}$ 가 위험률의 추정치라면, $\log{\hat {\lambda}} \approx Z \, \sqrt{4/D}$ 의 관계가 성립한다. 이 관계는 세 가지 양 중 두 가지가 알려져 있을 때 (예: 발표된 논문에서) 세 번째 값을 추정해야 할 경우 유용하다.

로그순위 통계량은 관측값이 중도 절단되었을 때 사용할 수 있다는 특징이 있다. 데이터에 중도 절단된 관측값이 없는 경우에는 윌콕슨 순위합 검정이 더 적절한 방법일 수 있다.

로그순위 통계량은 사건이 발생하는 시간에 관계없이 모든 계산에 동일한 가중치를 부여한다. 이와 달리 페토 로그순위 검정 통계량은 관측값이 많을 때 초기 사건에 더 많은 가중치를 부여하는 차이가 있다.

5. 가정

로그순위 검정은 카플란-마이어 추정량과 동일한 가정을 기반으로 한다.^[5]^[10] 구체적으로는 중도절단이 예후와 관련이 없어야 하고, 연구 참여 시점에 관계없이 생존 확률이 동일해야 하며, 사건은 특정 시점에 발생한다는 가정을 따른다.^[5]^[10]

5. 1. 가정 위반 시 문제점

로그순위 검정은 카플란-마이어 추정량과 동일한 가정을 기반으로 한다.^[5]^[10] 구체적인 가정은 다음과 같다.

중도절단은 결과 예측(예후)과 관련이 없다.
연구 시작 시점이나 나중에 참여한 사람이나 생존 확률은 동일하다.
사건(예: 사망)은 특정 시간에 발생한다.

이러한 가정이 실제 데이터와 다를 때 문제가 발생할 수 있는데, 특히 비교하는 그룹 간에 가정을 만족하는 정도가 다를 때 문제가 심각해진다. 예를 들어, 특정 그룹에서 중도절단이 다른 그룹보다 더 자주 발생한다면, 검정 결과가 왜곡될 수 있다.^[5]^[10]

6. 같이 보기

생존 분석
카플란-마이어 추정량
위험비

참조

_[1] 논문 Evaluation of survival data and two new rank order statistics arising in its consideration.
_[2] 논문 Asymptotically Efficient Rank Invariant Test Procedures Blackwell Publishing
_[3] 서적 Encyclopedia of Biostatistics Wiley Interscience
_[4] 논문 The asymptotic properties of nonparametric tests for comparing survival distributions
_[5] 논문 The logrank test
_[6] 논문 Evaluation of survival data and two new rank order statistics arising in its consideration.
_[7] 논문 Asymptotically Efficient Rank Invariant Test Procedures Blackwell Publishing
_[8] 서적 Encyclopedia of Biostatistics Wiley Interscience
_[9] 논문 The asymptotic properties of nonparametric tests for comparing survival distributions
_[10] 논문 The logrank test
_[11] 논문 The logrank test 2004-05-01
_[12] 논문 Statistics review 12: Survival analysis 2004
_[13] 서적 닥터 배의 술술 보건의학통계 2012

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