룽게-쿠타-펠베르크 방법

3. 표시

존 찰스 부처가 만든 부처 태블로는 룽게-쿠타 방법을 나타내는 데 사용되며, 한 줄을 추가하는 방식으로 확장할 수 있다.^[2]

기본적인 펠베르크 방법인 RKF45의 부처 태블로는 다음과 같다.

모든 룽게-쿠타 방법은 고유한 부처 테이블로 식별된다. 표의 맨 아래 첫 번째 행의 계수는 5차 정확한 방법을 제공하고, 두 번째 행은 4차 정확한 방법을 제공한다.

3. 1. 부처 테이블

모든 룽게-쿠타 방법은 고유한 부처 테이블로 식별된다. 표의 맨 아래 첫 번째 행의 계수는 5차 정확한 방법을 제공하고, 두 번째 행은 4차 정확한 방법을 제공한다.

4. 알고리즘 구현

페엘베르크^[2]는 다음과 같은 형태의 ''n''개의 미분 방정식 시스템을 푸는 해법을 제시했다.

$$\backslash frac\{dy\_i\}\{dx\}\; =\; f\_i(x,y\_1,y\_2,\; \backslash ldots,\; y\_n),\; i=1,2,\backslash ldots,n$$

반복적으로

$$y\_i(x+h),\; i=1,2,\backslash ldots,n$$

를 구한다. 여기서 ''h''는 알고리즘적으로 결정될 적응형 스텝 사이즈이다.

해는 여섯 개의 증가분의 가중 평균이며, 각 증가분은 간격의 크기인 $h$와 미분 방정식의 오른쪽에 있는 함수 ''f''가 지정한 추정 기울기의 곱이다.

$\backslash begin\{align\}$

k_1&=h\cdot f(x+A(1) \cdot h,y) \\

k_2&=h\cdot f(x+A(2)\cdot h,y+B(2,1)\cdot k_1) \\

k_3&=h\cdot f(x+A(3)\cdot h, y+B(3,1)\cdot k_1+B(3,2)\cdot k_2 ) \\

k_4&=h\cdot f(x+A(4)\cdot h, y+B(4,1)\cdot k_1+B(4,2)\cdot k_2+B(4,3)\cdot k_3 ) \\

k_5&=h\cdot f(x+A(5)\cdot h, y+B(5,1)\cdot k_1+B(5,2)\cdot k_2+B(5,3)\cdot k_3+B(5,4)\cdot k_4 ) \\

k_6&=h\cdot f(x+A(6)\cdot h, y+B(6,1)\cdot k_1+B(6,2)\cdot k_2+B(6,3)\cdot k_3+B(6,4)\cdot k_4+B(6,5) \cdot k_5)

\end{align}

그런 다음 가중 평균은 다음과 같다.

$$y(x+h)=y(x)\; +\; CH(1)\; \backslash cdot\; k\_1\; +\; CH(2)\; \backslash cdot\; k\_2\; +\; CH(3)\; \backslash cdot\; k\_3\; +\; CH(4)\; \backslash cdot\; k\_4\; +\; CH(5)\; \backslash cdot\; k\_5\; +\; CH(6)\; \backslash cdot\; k\_6$$

절단 오차의 추정치는 다음과 같다.

$$\backslash mathrm\{TE\}\; =\; \backslash left|\backslash mathrm\{CT\}(1)\; \backslash cdot\; k\_1\; +\; \backslash mathrm\{CT\}(2)\; \backslash cdot\; k\_2\; +\; \backslash mathrm\{CT\}(3)\; \backslash cdot\; k\_3\; +\; \backslash mathrm\{CT\}(4)\; \backslash cdot\; k\_4\; +\; \backslash mathrm\{CT\}(5)\; \backslash cdot\; k\_5\; +\; \backslash mathrm\{CT\}(6)\; \backslash cdot\; k\_6\backslash right|$$

단계가 완료되면 새로운 스텝 사이즈가 계산된다.^[3]

$$h\_\{\backslash text\{new\}\}\; =\; 0.9\; \backslash cdot\; h\; \backslash cdot\; \backslash left\; (\; \backslash frac\; \{\backslash varepsilon\}\; \{TE\}\; \backslash right\; )^\{1/5\}$$

만약 $\backslash mathrm\{TE\}\; >\; \backslash varepsilon$라면, $h$를 $h\_\{\backslash text\{new\}\}$로 바꾸고 단계를 반복한다. 만약 $TE\backslash leqslant\backslash varepsilon$라면, 단계가 완료된다. 다음 단계를 위해 $h$를 $h\_\{\backslash text\{new\}\}$로 바꾼다.

페엘베르크가 제시한 RK4(5) 공식에 대한 계수는 아래 표와 같다.

페엘베르크의 표 IV^[2]에는 D. Sarafyan이 유도한 RKF4(5)에 대한 계수가 나와 있다.

4. 1. RK4(5) 알고리즘

페엘베르크의 표 IV^[2]에는 D. Sarafyan이 유도한 RKF4(5)에 대한 계수가 나와 있다.

4. 2. 다양한 RK4(5) 계수

표의 맨 아래 첫 번째 행의 계수는 5차 정확한 방법을 제공하고, 두 번째 행은 4차 정확한 방법을 제공한다.

참조

_[1] 논문 method was originally proposed in Fehlberg (1969); Fehlberg (1970) is an extract of the latter publication. 1993
_[2] 논문 1993
_[3] 웹사이트 Appendix A Runge-Kutta Methods https://www.uni-muen[...] 2017
_[4] 간행물 Low-order classical Runge-Kutta formulas with step size control and their application to some heat transfer problems NASA Technical Report 315 1969
_[5] 논문 Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit Schrittweiten-Kontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme 1970
_[6] 서적 Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems Springer-Verlag, Berlin 1993
_[7] 서적 Scientific computing with ordinary differential equations Springer Science & Business Media 2012