복소수체
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1. 본문
복소수체(複素數體, field of complex numbers)는 복소수로 이루어진 체(field)를 말합니다. 체는 덧셈과 곱셈에 대해 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하고, 0과 1에 해당하는 항등원과 각 원소에 대한 덧셈과 곱셈의 역원이 존재하는 대수 구조입니다.
복소수체는 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
- 선형대수학적 정의: 실수체 ℝ의 2차원 벡터 공간에 곱셈 연산을 추가하여 정의합니다.
- 가환대수학적 정의: 실수체 ℝ에 허수 단위 i (i² = -1)를 추가하여 확장한 체로 정의합니다.
- 체론적 정의: 실수체의 대수적 폐포(algebraic closure)로 정의합니다.
복소수체는 다음과 같은 특징을 가집니다.
- 대수적으로 닫혀 있음: 복소수 계수를 갖는 모든 다항식은 복소수 근을 가집니다. (대수학의 기본 정리)
- 실수체의 확장: 모든 실수는 복소수의 부분집합입니다.
- 표준적인 전순서(total order)를 줄 수 없음: 실수와 달리 크기 비교를 할 수 있는 자연스러운 방법이 없습니다.
- 복소평면: 복소수는 2차원 평면(복소평면) 위의 점으로 표현될 수 있습니다.
복소수체는 현대 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 특히, 전자기학, 양자역학, 유체역학, 신호 처리 등에서 중요한 역할을 합니다.
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