비선형 방정식

1. 본문

비선형 방정식은 변수 간의 관계가 직선이 아닌 곡선으로 나타나는 방정식을 의미합니다. 선형 방정식이 미지수의 차수가 1차인 반면, 비선형 방정식은 2차 이상입니다.
비선형 방정식의 특징:

• 변수들 사이의 관계가 곡선적으로 증가하거나 감소합니다.
• 해석적인 방법으로 해를 구하기 어려운 경우가 많습니다 (예: 2차 함수 제외).
• 초기치 근사 및 반복 계산을 통해 실제 해에 근접한 근사해를 구해야 합니다.
• 해의 수렴성이 항상 보장되지 않을 수 있습니다.

• 기하학적 비선형성, 재료의 비선형성, 경계 조건의 비선형성 등
• $x^2 + 2x + 1 = 0$ (2차 방정식)
• $sin(x) + x = 0$ (삼각 함수 포함)
• $e^x + x^3 - 2 = 0$ (지수 함수 및 다항 함수 포함)

• 구간법 (Braketing Methods):
• 이분법 (Bisection Method): 구간의 중간값을 반복적으로 계산하여 해를 찾습니다.
• 가위치법 (False Position Method): 구간 양 끝점을 연결한 직선과 x축의 교점을 이용하여 해를 찾습니다.
• 개방법 (Open Methods):
• 고정점 반복법 (Fixed-Point Iteration): 방정식을 x = g(x) 형태로 변환하여 반복 계산을 통해 해를 찾습니다.
• Newton-Raphson 법: 함수의 접선을 이용하여 해를 찾습니다. 수렴 속도가 빠르지만, 초기값에 민감할 수 있습니다.
• 할선법 (Secant Method): Newton-Raphson 법의 도함수를 근사하여 사용합니다.