사원수환

1. 본문

사원수환(Quaternion)은 복소수를 확장하여 만든 수 체계입니다. 1843년 윌리엄 로원 해밀턴이 발견했으며, 해밀턴 수라고도 불립니다. 사원수환은 다음과 같이 정의됩니다.
정의:사원수환 H는 집합으로서 R⁴ = {a₀ + a₁i + a₂j + a₃k : a₀, a₁, a₂, a₃ ∈ R} (여기서 R은 실수)로 표현됩니다. 이 집합 위에 다음과 같은 덧셈과 곱셈 연산을 정의하여 환(ring)으로 만듭니다.

• 덧셈: 각 성분의 합으로 정의됩니다.

• 곱셈: 겹선형 연산이며, 기저 {1, i, j, k}에 대하여 다음과 같이 작용합니다.
• i² = j² = k² = -1
• ij = k, jk = i, ki = j
• ji = -k, kj = -i, ik = -j
• ijk = -1

• 사원수환은 덧셈과 곱셈에 대해 결합법칙을 만족하고, 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지만, 곱셈에 대해서는 교환법칙이 성립하지 않습니다(비가환성).
• 0이 아닌 모든 사원수는 곱셈에 대한 역원을 가집니다.
• 사원수의 기저 {1, i, j, k}는 곱셈에 대해 유한군을 이루며, 이를 사원수군(Q₈)이라고 합니다.
• 사원수 q = a₀ + a₁i + a₂j + a₃k의 켤레 사원수는 q̄ = a₀ - a₁i - a₂j - a₃k입니다.

• 3차원 공간에서의 회전을 표현하고 계산하는 데 사용됩니다.
• 컴퓨터 그래픽스, 인공위성 자세 제어, 게임 프로그래밍 등 다양한 분야에서 활용됩니다.