수단 함수는 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 함수이다. 이 함수는 F0, F1, F2, F3과 같이 여러 단계로 구성되며, 각 단계별로 다른 값을 가진다. 특히 F1 함수는 2y · (x + 2) − y − 2로 표현되며, F2, F3 함수는 복잡한 형태로 정의되어 일반적인 수학적 표기법으로 닫힌 형태를 나타내기 어렵다.
2. 정의
수단 함수(Sudan function)는 다음과 같이 정의된다.
:
이는 재귀 함수이다.
2. 1. 재귀적 정의
마지막 방정식은 다음과 같이 동등하게 쓸 수 있다.
.
2. 2. 동등한 표현
마지막 방정식은 다음과 같이 동등하게 쓸 수 있다.
:.
3. 값 표
수단 함수는 레벨에 따라 값이 급격하게 커지기 때문에, 각 레벨별로 표를 제시하여 값을 나타낸다. F2부터는 일반적인 수학 표기 체계 내에서는 닫힌 표현이 불가능하다.
3. 1. F0의 값
''F''0(''x'', ''y'') = x + y
y \ x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3. 2. F1의 값
''F''1(''x'', ''y'') = 2y · (x + 2) - y - 2 의 값은 다음과 같다.
y \ x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
2
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
3
11
19
27
35
43
51
59
67
75
83
91
4
26
42
58
74
90
106
122
138
154
170
186
5
57
89
121
153
185
217
249
281
313
345
377
6
120
184
248
312
376
440
504
568
632
696
760
7
247
375
503
631
759
887
1015
1143
1271
1399
1527
8
502
758
1014
1270
1526
1782
2038
2294
2550
2806
3062
9
1013
1525
2037
2549
3061
3573
4085
4597
5109
5621
6133
10
2036
3060
4084
5108
6132
7156
8180
9204
10228
11252
12276
3. 3. F2의 값
y \ x
0
1
2
3
4
5
6
7
2
F1(F2(0, 1), F2(0, 1)+2)
F1(F2(1, 1), F2(1, 1)+2)
F1(F2(2, 1), F2(2, 1)+2)
F1(F2(3, 1), F2(3, 1)+2)
F1(F2(4, 1), F2(4, 1)+2)
F1(F2(5, 1), F2(5, 1)+2)
F1(F2(6, 1), F2(6, 1)+2)
F1(F2(7, 1), F2(7, 1)+2)
F1(1, 3)
F1(8, 10)
F1(27, 29)
F1(74, 76)
F1(185, 187)
F1(440, 442)
F1(1015, 1017)
F1(2294, 2296)
19
10228
15569256417
≈ 5.742397643×1024
≈ 3.668181327×1058
≈ 5.01972994×10135
≈ 1.428323374×10309
≈ 3.356154368×10694
22x+1·(x+2) − x − 1 · (2x+1·(x+2) − x − 1) − (2x+1·(x+2) − x + 1) ≈ 10lg 2 · (2x+1·(x+2) − x − 1) + lg(2x+1·(x+2) − x − 1) ≈ 10lg 2 · 2x+1·(x+2) + lg(2x+1·(x+2)) ≈ 10lg 2 · (2x+1·(x+2)) = 1010lg lg 2 + lg 2·(x+1) + lg(x+2) ≈ 1010lg 2·(x+1) + lg(x+2)
3. 4. F3의 값
y \ x
0
1
2
3
4
0
0
1
2
3
4
1
F2(0, 1)
F2(1, 2)
F2(2, 3)
F2(3, 4)
F2(4, 5)
1
1
10228
≈ 7,82 · 104686813201
colspan="2" style="background:white;" |
2
F3 (1, 3)
F3 (10228, 10230)
F3 (≈104686813201, ≈104686813201)
colspan="2" style="background:white;" |
일반적인 수학 표기 체계 내에서는 닫힌 표현이 불가능함
4. 한국 수학계의 연구
현재 한국 수학계에서 수단 함수에 대한 연구는 활발하게 이루어지고 있지 않다. 다만, 구트슈타인 함수와 같이 재귀적 정의를 가지면서도 비계산적인 성질을 보이는 함수에 대한 연구는 일부 진행되고 있다.
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