시미즈 L-함수

1. 개요

시미즈 L-함수는 완전 실 대수적 수체 K 내의 격자 M과, 이 격자를 보존하는 전체 양의 단원군의 최대 랭크 부분군 V에 대해 정의되는 함수이다. 이 함수는 다음과 같은 식으로 표현된다.

:$L(M,V,s)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mu\backslash in\; \backslash \{M-0\backslash \}/V\}\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sign\}\; N(\backslash mu)\}\{|N(\backslash mu)|^s\}$

2. 정의

K가 완전 실 대수적 수체이고, M이 이 체 내의 격자이며, V가 이 격자를 보존하는 전체 양의 단원군의 최대 랭크 부분군이라고 가정하자. 시미즈 L-함수는 다음과 같이 주어진다.

:$L(M,V,s)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mu\backslash in\; \backslash \{M-0\backslash \}/V\}\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sign\}\; N(\backslash mu)\}\{|N(\backslash mu)|^s\}$

2.1. 기본 정의

K가 완전 실 대수적 수체이고, M이 이 체 내의 격자이며, V가 이 격자를 보존하는 전체 양의 단원군의 최대 랭크 부분군이라고 가정하자. 시미즈 L-함수는 다음과 같이 주어진다.

:$L(M,V,s)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mu\backslash in\; \backslash \{M-0\backslash \}/V\}\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sign\}\; N(\backslash mu)\}\{|N(\backslash mu)|^s\}$

2.2. 관련 개념

K가 완전 실 대수적 수체이고, M이 이 체 내의 격자이며, V가 이 격자를 보존하는 전체 양의 단원군의 최대 랭크 부분군이라고 가정할 때, 시미즈 L-함수는 다음과 같이 주어진다.

:$L(M,V,s)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mu\backslash in\; \backslash \{M-0\backslash \}/V\}\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sign\}\; N(\backslash mu)\}\{|N(\backslash mu)|^s\}$

3. 추가 설명

K^영어가 완전 실수체이고, M^영어이 이 체 안의 격자이며, V^영어가 이 격자를 보존하는 전체 양의 단원군의 최대 랭크 부분군이라고 가정할 때, 시미즈 L-함수는 다음과 같이 주어진다.

:$L(M,V,s)\; =\; \backslash sum\_\{\backslash mu\backslash in\; \backslash \{M-0\backslash \}/V\}\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sign\}\; N(\backslash mu)\}\{|N(\backslash mu)|^s\}$

여기서,

* $\backslash operatorname\{sign\}\; N(\backslash mu)$는 $\backslash mu$의 노름(norm)의 부호이다.
* $|N(\backslash mu)|$는 $\backslash mu$의 노름의 절댓값이다.
* $\backslash \{M-0\backslash \}/V$는 $M$의 0이 아닌 원소들을 $V$에 대한 몫집합(quotient set)으로 나타낸 것이다. 즉, $M$의 0이 아닌 원소들을 $V$의 작용에 따라 동치류(equivalence class)로 묶은 것이다.