실수체

1. 본문

실수(實數, real number)는 실직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계입니다. 예를 들어, -1, 0, 1/2, √2, e, π 등은 모두 실수입니다.
실수의 정의:

• 공리적 정의: 실수는 완비 순서체(complete ordered field)로 정의됩니다. 완비 순서체는 다음의 성질을 만족하는 집합을 의미합니다.
• 체(field): 덧셈과 곱셈 연산에 대해 닫혀있고, 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈에 대한 항등원과 역원이 존재합니다. (단, 0으로 나누는 것은 제외)
• 순서체(ordered field): 임의의 두 원소 간에 순서 관계가 정의되어 있으며, 이 순서 관계는 덧셈, 곱셈 연산과 호환됩니다.
• 완비성(completeness): 공집합이 아닌 실수의 부분집합이 상한(least upper bound) 또는 하한(greatest lower bound)을 가지면, 그 상한 또는 하한은 반드시 그 집합 안에 존재합니다. 이 성질은 유리수와 구별되는 중요한 특징입니다.
• 구성적 정의: 실수는 유리수 코시 수열(Cauchy sequence)의 동치류, 데데킨트 절단(Dedekind cut), 십진법 전개의 동치류 등으로 구성될 수 있습니다.

• 유리수(rational number): 정수의 비율(분수)로 표현 가능한 수입니다.
• 무리수(irrational number): 정수의 비율로 표현 불가능한 수입니다. 무리수는 다시 대수적 수(algebraic number)와 초월수(transcendental number)로 나뉩니다.
• 대수적 수: 정수 계수 다항식의 근이 되는 수입니다. (예: √2)
• 초월수: 정수 계수 다항식의 근이 되지 않는 수입니다. (예: π, e)

• 실수는 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀 있습니다.
• 실수는 크기 비교가 가능하며, 실직선 상에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 작습니다.
• 실수는 양수, 음수, 0으로 분류됩니다.
• 실수 집합은 비가산 집합(uncountable set)입니다. 즉, 자연수 집합과 실수 집합은 모두 무한 집합이지만, 그 사이에 일대일 대응이 존재하지 않습니다. 실수 집합의 크기는 자연수 집합의 크기보다 큽니다.

• 실수체(real number field): 실수 집합과 그 위에서 정의된 연산(+, *)을 통칭하는 용어입니다.
• 초실수체(hyperreal field): 실수를 확장하여 무한소(infinitesimal)와 무한대(infinite)를 포함하는 수 체계입니다.