여사건

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1. 개요
2. 여사건의 정의
- 2.1. 여사건의 확률
- 2.2. 상호 배타성과 여사건
3. 여사건 개념의 활용
- 3.1. 여사건 활용 예시
참조

1. 개요

여사건은 어떤 사건 A가 일어나지 않는 모든 사건을 의미하며, 표본 공간 전체에서 사건 A를 제외한 나머지 부분에 해당한다. 확률 실험에서, 사건 A의 여사건 확률은 1 - P(A)로 계산되며, 사건과 그 여사건의 확률의 합은 항상 1이다. 여사건은 상호 배타적인 사건의 조건을 충족해야 한다. 여사건 개념은 특정 사건이 적어도 한 번 일어날 확률을 계산하는 데 유용하게 활용된다.

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여사건
확률론 기본
용어	여사건 (Complementary event)
정의	어떤 사건 A에 대하여, A가 일어나지 않을 사건
표기	A^c, A', Ā, ¬A
확률	P(A^c) = 1 - P(A)
예시	동전 던지기에서 앞면이 나오는 사건의 여사건은 뒷면이 나오는 사건
성질	A와 A^c는 서로 상호 배타적이며, 전체 사건을 이룸

2. 여사건의 정의

확률 실험에서 어떤 사건 A가 일어나지 않는 모든 사건을 여사건이라고 한다. 여사건은 전체 표본 공간에서 사건 A를 제외한 나머지 부분에 해당하며, 상호 배타적인 사건의 조건을 충족해야 한다.^[2]

어떤 사건 A의 여사건. 사건 A와 그 여사건은 전체 표본 공간을 채운다.

2. 1. 여사건의 확률

확률 실험에서 가능한 모든 사건(표본 공간)의 확률은 합이 1이어야 한다. 모든 시행에서 어떤 결과가 발생해야 하기 때문이다. 두 사건이 서로 여사건이 되려면, 그 사건들은 전체 집합을 채우는 포괄적인 사건이어야 한다. 따라서 사건의 여사건의 확률은 1에서 사건의 확률을 뺀 값과 같다.^[2] 즉, 사건 ''A''에 대해,

:P(A^c) = 1 - P(A).

마찬가지로, 사건과 그 여사건의 확률은 항상 합이 1이어야 한다. 그러나 확률의 합이 1인 두 사건이 서로 여사건이라는 것을 의미하는 것은 아니다. 여사건은 또한 상호 배타적인 사건의 조건을 충족해야 한다.

2. 2. 상호 배타성과 여사건

확률 실험에서 가능한 모든 사건(표본 공간)의 확률은 합이 1이어야 한다. 즉, 모든 시행에서 어떤 결과가 발생해야 한다. 두 사건이 서로 여사건이 되려면, 그 사건들은 전체 집합을 채우는 포괄적인 사건이어야 한다.^[2] 따라서 사건의 여사건의 확률은 사건의 확률을 1에서 뺀 값과 같다. 즉, 사건 ''A''에 대해,

:

P(A^c) = 1 - P(A).

마찬가지로, 사건과 그 여사건의 확률은 항상 합이 1이어야 한다. 그러나 확률의 합이 1인 두 사건이 서로 여사건이라는 것을 의미하는 것은 아니다. 여사건은 또한 상호 배타적인 사건의 조건을 충족해야 한다.

3. 여사건 개념의 활용

여사건 개념은 특정 사건의 확률을 직접 구하기 어려울 때 유용하게 활용될 수 있다. 예를 들어, 여섯 면을 가진 일반 주사위를 8번 던졌을 때 "1"이 적어도 한 번 나올 확률을 구하는 문제는, 확률이 더해진 8개의 사건이 상호 배타적이지 않기 때문에 포함-배제 원리를 이용하거나 여사건을 활용하여 해결할 수 있다.

3. 1. 여사건 활용 예시

여섯 면을 가진 일반 주사위를 8번 던졌을 때 "1"이 적어도 한 번 나올 확률을 구하는 경우를 생각해 보자.

"1"이 적어도 한 번 나올 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다.

: Pr("1"이 첫 번째 시도에서 나옴) + Pr("1"이 두 번째 시도에서 나옴) + ... + Pr("1"이 8번째 시도에서 나옴)

:= 1/6 + 1/6 + ... + 1/6

:= 8/6

:= 1.3333...

그러나 이 결과는 1보다 크므로 확률이 될 수 없다. 왜냐하면 확률이 더해진 8개의 사건이 서로 배타적이지 않기 때문이다.

이러한 중첩은 포함-배제 원리를 사용하여 해결할 수 있지만, 이 경우에는 여사건의 확률을 구하여 1에서 빼는 것이 더 간단하다.

: Pr(적어도 한 번의 "1") = 1 - Pr(어떠한 "1"도 나오지 않음)

:= 1 - Pr([첫 번째 시도에서 "1"이 나오지 않음] 및 [두 번째 시도에서 "1"이 나오지 않음] 및 ... 및 [8번째 시도에서 "1"이 나오지 않음])

:= 1 - Pr("1"이 첫 번째 시도에서 나오지 않음) × Pr("1"이 두 번째 시도에서 나오지 않음) × ... × Pr("1"이 8번째 시도에서 나오지 않음)

:= 1 - (5/6) × (5/6) × ... × (5/6)

:= 1 - (5/6)⁸

:= 0.7674...

참조

_[1] 서적 Elementary Statistics https://books.google[...] Cengage Learning 2007
_[2] 서적 The Practice of Statistics http://bcs.whfreeman[...] Freeman 2013-07-18
_[3] 서적 Elementary Statistics https://books.google[...] Cengage Learning 2007

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