맨위로가기

역삼각함수 적분표

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

역삼각함수 적분표는 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트, 아크시컨트, 아크코시컨트 함수들의 다양한 형태의 적분 공식을 제공한다. 각 역삼각함수와 관련된 여러 적분 공식들을 제시하며, 일반적인 형태와 변형된 형태의 공식을 포함한다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 적분 - 가우스 적분
    가우스 적분은 특정한 정적분의 값으로 정의되며, 확률론, 통계학, 물리학 등 여러 분야에서 중요한 역할을 수행하고 정규분포와 관련된 계산에서 핵심적인 역할을 한다.
  • 적분 - 적분표
    적분표는 다양한 함수들의 부정적분과 정적분 예시를 모아 놓은 목록으로, 유리 함수, 무리 함수, 삼각 함수, 지수 함수, 로그 함수 등 여러 함수와 닫힌 형식으로 표현되지 않는 함수의 정적분 값, 절댓값 함수, 곱으로 이루어진 함수를 포함하며, 마이어 히르슈의 적분 목록집에서 시작하여 그라드슈테인과 르지크의 표로 발전했다.
역삼각함수 적분표
역삼각함수 적분표
함수역삼각함수
미분역삼각함수의 도함수
역사인 함수
적분∫ arcsin x dx = x arcsin x + √(1 − x^2) + C
설명C는 적분 상수
역사인 함수의 제곱
적분∫ arcsin^2 x dx = 2x + √(1 − x^2) arcsin x − x arcsin^2 x + C
설명C는 적분 상수
역코사인 함수
적분∫ arccos x dx = x arccos x − √(1 − x^2) + C
설명C는 적분 상수
역탄젠트 함수
적분∫ arctan x dx = x arctan x − ln(1 + x^2) / 2 + C
설명C는 적분 상수
역코탄젠트 함수
적분∫ arccot x dx = x arccot x + ln(1 + x^2) / 2 + C
설명C는 적분 상수
역시컨트 함수
적분∫ arcsec x dx = x arcsec x − ln(x(1 + √((x^2 − 1) / x^2))) + C = x arcsec x − ln(x + √(x^2 − 1)) + C
설명C는 적분 상수
역코시컨트 함수
적분∫ arccsc x dx = x arccsc x + ln(x(1 + √((x^2 − 1) / x^2))) + C = x arccsc x + ln(x + √(x^2 − 1)) + C
설명C는 적분 상수

2. 아크사인 함수의 적분

아크사인 함수의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

아래 공식들은 하위 섹션인 "일반적인 적분 공식" 및 "변형된 적분 공식"과 중복되므로 생략한다.

2. 1. 일반적인 적분 공식

다음은 아크사인 함수의 적분 공식들이다.

:\int\arcsin(x)\,dx= x\arcsin(x)+{\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arcsin(ax)\,dx= x\arcsin(ax)+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^2\arcsin(ax)}{2}-\frac{\arcsin(ax)}{4\,a^2}+\frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^3\arcsin(ax)}{3}+\frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsin(ax)}{m+1}-\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arcsin(ax)^2\,dx= -2x+x\arcsin(ax)^2+\frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)}{a}+C

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= x\arcsin(ax)^n+\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n-1}}{a}-n\,(n-1)\int\arcsin(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= \frac{x\arcsin(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}-\frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arcsin(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

2. 2. 변형된 적분 공식

arcsin|아크사인영어 함수에 대한 변형된 적분 공식은 다음과 같다.

:\int\arcsin(ax)\,dx= x\arcsin(ax)+ \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^2\arcsin(ax)}{2}- \frac{\arcsin(ax)}{4\,a^2}+ \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^3\arcsin(ax)}{3}+ \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsin(ax)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arcsin(ax)^2\,dx= -2x+x\arcsin(ax)^2+ \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)}{a}+C

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= x\arcsin(ax)^n\,+\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int\arcsin(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= \frac{x\arcsin(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arcsin(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

3. 아크코사인 함수의 적분

아크코사인 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:\int\arccos(x)\,dx= x\arccos(x)- {\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arccos(ax)\,dx= x\arccos(ax)- \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos(ax)\,dx= \frac{x^2\arccos(ax)}{2}- \frac{\arccos(ax)}{4\,a^2}- \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos(ax)\,dx= \frac{x^3\arccos(ax)}{3}- \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos(ax)}{m+1}\,+\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arccos(ax)^2\,dx= -2x+x\arccos(ax)^2- \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)}{a}+C

:\int\arccos(ax)^n\,dx= x\arccos(ax)^n\,-\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int\arccos(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arccos(ax)^n\,dx= \frac{x\arccos(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,-\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arccos(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

3. 1. 일반적인 적분 공식

:\int\arccos x\,dx= x\arccos x- {\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arccos ax\,dx= x\arccos ax- \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos ax\,dx= \frac{x^2\arccos ax}{2}- \frac{\arccos ax}{4\,a^2}- \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos ax\,dx= \frac{x^3\arccos ax}{3}- \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos ax}{m+1}\,+\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int(\arccos ax)^2\,dx= -2x+x(\arccos ax)^2- \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos ax}{a}+C

:\int(\arccos ax)^n\,dx= x(\arccos ax)^n\,-\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}(\arccos ax)^{n-1}}{a}\,-\, n(n-1)\int(\arccos ax)^{n-2}\,dx

:\int(\arccos ax)^n\,dx= \frac{x(\arccos ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\,-\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}(\arccos ax)^{n+1}}{a(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)(n+2)}\int(\arccos ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

3. 2. 변형된 적분 공식

다음은 아크코사인 함수의 변형된 형태의 적분 공식들이다.

:\int\arccos(ax)\,dx= x\arccos(ax)-\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos(ax)\,dx= \frac{x^2\arccos(ax)}{2}-\frac{\arccos(ax)}{4\,a^2}-\frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos(ax)\,dx= \frac{x^3\arccos(ax)}{3}-\frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos(ax)}{m+1}+\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arccos(ax)^2\,dx= -2x+x\arccos(ax)^2-\frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)}{a}+C

:\int\arccos(ax)^n\,dx= x\arccos(ax)^n-\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n-1}}{a}-n\,(n-1)\int\arccos(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arccos(ax)^n\,dx= \frac{x\arccos(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}-\frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}-\frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arccos(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

4. 아크탄젠트 함수의 적분

아크탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:\int x^m\arctan(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan(ax)}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

위 식은 일반적인 아크탄젠트 함수의 적분 공식에서 m이 -1이 아닐 때(m\ne-1)의 경우를 나타낸다.

4. 1. 일반적인 적분 공식

:\int \arctan x\,dx= x\arctan x- \frac{\ln(x^2+1)}{2}+C

:\int \arctan ax\,dx= x\arctan ax- \frac{\ln(a^2x^2+1)}{2\,a}+C

:\int x\arctan ax\,dx= \frac{x^2\arctan ax}{2}+ \frac{\arctan ax}{2\,a^2}-\frac{x}{2\,a}+C

:\int x^2\arctan ax\,dx= \frac{x^3\arctan ax}{3}+ \frac{\ln(a^2x^2+1)}{6\,a^3}-\frac{x^2}{6\,a}+C

:\int x^m\arctan ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan ax}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne -1)

4. 2. 변형된 적분 공식

:\int\arctan(ax)\,dx= x\arctan(ax)- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2a}+C

:\int x\arctan(ax)\,dx= \frac{x^2\arctan(ax)}{2}+ \frac{\arctan(ax)}{2a^2}-\frac{x}{2a}+C

:\int x^2\arctan(ax)\,dx= \frac{x^3\arctan(ax)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6a^3}-\frac{x^2}{6a}+C

:\int x^m\arctan(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan(ax)}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

5. 아크코탄젠트 함수의 적분

아크코탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

하위 섹션에서 일반적인 적분 공식을 다루고 있으므로, 여기서는 간단하게 언급만 하고 넘어가겠다.

5. 1. 일반적인 적분 공식

\int\arccot(x)\,dx= x\arccot(x)+ \frac{\ln\left(x^2+1\right)}{2}+C

\int\arccot(ax)\,dx= x\arccot(ax)+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2\,a}+C

\int x\arccot(ax)\,dx= \frac{x^2\arccot(ax)}{2}+ \frac{\arccot(ax)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C

\int x^2\arccot(ax)\,dx= \frac{x^3\arccot(ax)}{3}- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C

\int x^m\arccot(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccot(ax)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

5. 2. 변형된 적분 공식

:\int\arccot(ax)\,dx= x\arccot(ax)+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2\,a}+C

:\int x\arccot(ax)\,dx= \frac{x^2\arccot(ax)}{2}+ \frac{\arccot(ax)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C

:\int x^2\arccot(ax)\,dx= \frac{x^3\arccot(ax)}{3}- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C

:\int x^m\arccot(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccot(ax)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

6. 아크시컨트 함수의 적분

아크시컨트 함수는 시컨트 함수의 역함수이다. 아크시컨트 함수의 적분은 여러 가지 형태로 나타낼 수 있으며, 하위 섹션에서 일반적인 공식과 변형된 공식들을 확인할 수 있다.

6. 1. 일반적인 적분 공식

:\int\operatorname{arcsec} x\,dx= x\operatorname{arcsec} x-\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+C = x\operatorname{arcsec} x \, - \, \ln\left(\left|x\right|+\sqrt{x^2-1}\right)\,+\,C= x\operatorname{arcsec}x-\operatorname{arcosh}|x|+C

:\int\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= x\operatorname{arcsec} (ax)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C = x\operatorname{arcsec}(ax)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arcosh}|ax|+C

:\int x\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= \frac{x^2\operatorname{arcsec} (ax)}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= \frac{x^3\operatorname{arcsec} (ax)}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C = \frac{x^3\operatorname{arcsec}(ax)}{3}\,-\, \frac{\operatorname{arcosh}|ax|}{6\,a^3}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsec} (ax)}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

6. 2. 변형된 적분 공식

다음은 아크시컨트 함수의 변형된 형태의 적분 공식들이다.

:\int\arcsec(ax)\,dx= x\arcsec(ax)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arcosh}|ax|+C

:\int x\arcsec(ax)\,dx= \frac{x^2\arcsec(ax)}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\arcsec(ax)\,dx= \frac{x^3\arcsec(ax)}{3}\,-\, \frac{\operatorname{arcosh}|ax|}{6\,a^3}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\arcsec(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsec(ax)}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\operatorname{arcsec} ax\,dx= x\operatorname{arcsec} ax- \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\operatorname{arcsec} ax\,dx= \frac{x^2\operatorname{arcsec} ax}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\operatorname{arcsec} ax\,dx= \frac{x^3\operatorname{arcsec} ax}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\operatorname{arcsec} ax\,dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsec} ax}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

7. 아크코시컨트 함수의 적분

아크코시컨트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:\int\operatorname{arccsc}(x)\,dx=

x\operatorname{arccsc}(x) \, + \, \ln\left(\left|x\right|+\sqrt{x^2-1}\right)\,+\,C=

x\operatorname{arccsc}(x)\,+\, \operatorname{arcosh}|x|\,+\,C

이 외의 공식들은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

7. 1. 일반적인 적분 공식

:\int\operatorname{arccsc}(x)\,dx=

x\operatorname{arccsc}(x) \, + \, \ln\left(\left|x\right|+\sqrt{x^2-1}\right)\,+\,C=

x\operatorname{arccsc}(x)\,+\, \operatorname{arcosh}|x|\,+\,C

:\int\operatorname{arccsc}(ax)\,dx= x\operatorname{arccsc}(ax)+

\frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\operatorname{arccsc}(ax)\,dx=

\frac{x^2\operatorname{arccsc}(ax)}{2}+

\frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\operatorname{arccsc}(ax)\,dx=

\frac{x^3\operatorname{arccsc}(ax)}{3}\,+\,

\frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,

\frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\operatorname{arccsc}(ax)\,dx=

\frac{x^{m+1}\operatorname{arccsc}(ax)}{m+1}\,+\,

\frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

7. 2. 변형된 적분 공식

arccsc영어는 아크코시컨트를 의미한다.

:\int\arccsc(ax)\,dx= x\arccsc(ax)+

\frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\arccsc(ax)\,dx=

\frac{x^2\arccsc(ax)}{2}+

\frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\arccsc(ax)\,dx=

\frac{x^3\arccsc(ax)}{3}\,+\,

\frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,

\frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\arccsc(ax)\,dx=

\frac{x^{m+1}\arccsc(ax)}{m+1}\,+\,

\frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com