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역삼각함수 적분표

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목차

1. 개요

역삼각함수 적분표는 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 아크코탄젠트, 아크시컨트, 아크코시컨트 함수들의 다양한 형태의 적분 공식을 제공한다. 각 역삼각함수와 관련된 여러 적분 공식들을 제시하며, 일반적인 형태와 변형된 형태의 공식을 포함한다.

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2. 아크사인 함수의 적분

아크사인 함수의 적분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

아래 공식들은 하위 섹션인 "일반적인 적분 공식" 및 "변형된 적분 공식"과 중복되므로 생략한다.

2. 1. 일반적인 적분 공식

다음은 아크사인 함수의 적분 공식들이다.

:\int\arcsin(x)\,dx= x\arcsin(x)+{\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arcsin(ax)\,dx= x\arcsin(ax)+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^2\arcsin(ax)}{2}-\frac{\arcsin(ax)}{4\,a^2}+\frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^3\arcsin(ax)}{3}+\frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsin(ax)}{m+1}-\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arcsin(ax)^2\,dx= -2x+x\arcsin(ax)^2+\frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)}{a}+C

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= x\arcsin(ax)^n+\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n-1}}{a}-n\,(n-1)\int\arcsin(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= \frac{x\arcsin(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}+\frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}-\frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arcsin(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

2. 2. 변형된 적분 공식

arcsin|아크사인영어 함수에 대한 변형된 적분 공식은 다음과 같다.

:\int\arcsin(ax)\,dx= x\arcsin(ax)+ \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^2\arcsin(ax)}{2}- \frac{\arcsin(ax)}{4\,a^2}+ \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^3\arcsin(ax)}{3}+ \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arcsin(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsin(ax)}{m+1}\,-\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arcsin(ax)^2\,dx= -2x+x\arcsin(ax)^2+ \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)}{a}+C

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= x\arcsin(ax)^n\,+\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int\arcsin(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arcsin(ax)^n\,dx= \frac{x\arcsin(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,+\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arcsin(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arcsin(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

3. 아크코사인 함수의 적분

아크코사인 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:\int\arccos(x)\,dx= x\arccos(x)- {\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arccos(ax)\,dx= x\arccos(ax)- \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos(ax)\,dx= \frac{x^2\arccos(ax)}{2}- \frac{\arccos(ax)}{4\,a^2}- \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos(ax)\,dx= \frac{x^3\arccos(ax)}{3}- \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos(ax)}{m+1}\,+\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arccos(ax)^2\,dx= -2x+x\arccos(ax)^2- \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)}{a}+C

:\int\arccos(ax)^n\,dx= x\arccos(ax)^n\,-\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n-1}}{a}\,-\, n\,(n-1)\int\arccos(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arccos(ax)^n\,dx= \frac{x\arccos(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}\,-\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arccos(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

3. 1. 일반적인 적분 공식

:\int\arccos x\,dx= x\arccos x- {\sqrt{1-x^2}}+C

:\int\arccos ax\,dx= x\arccos ax- \frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos ax\,dx= \frac{x^2\arccos ax}{2}- \frac{\arccos ax}{4\,a^2}- \frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos ax\,dx= \frac{x^3\arccos ax}{3}- \frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos ax}{m+1}\,+\, \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int(\arccos ax)^2\,dx= -2x+x(\arccos ax)^2- \frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos ax}{a}+C

:\int(\arccos ax)^n\,dx= x(\arccos ax)^n\,-\, \frac{n\sqrt{1-a^2x^2}(\arccos ax)^{n-1}}{a}\,-\, n(n-1)\int(\arccos ax)^{n-2}\,dx

:\int(\arccos ax)^n\,dx= \frac{x(\arccos ax)^{n+2}}{(n+1)(n+2)}\,-\, \frac{\sqrt{1-a^2x^2}(\arccos ax)^{n+1}}{a(n+1)}\,-\, \frac{1}{(n+1)(n+2)}\int(\arccos ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

3. 2. 변형된 적분 공식

다음은 아크코사인 함수의 변형된 형태의 적분 공식들이다.

:\int\arccos(ax)\,dx= x\arccos(ax)-\frac{\sqrt{1-a^2x^2}}{a}+C

:\int x\arccos(ax)\,dx= \frac{x^2\arccos(ax)}{2}-\frac{\arccos(ax)}{4\,a^2}-\frac{x\sqrt{1-a^2x^2}}{4\,a}+C

:\int x^2\arccos(ax)\,dx= \frac{x^3\arccos(ax)}{3}-\frac{\left(a^2x^2+2\right)\sqrt{1-a^2x^2}}{9\,a^3}+C

:\int x^m\arccos(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccos(ax)}{m+1}+\frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{\sqrt{1-a^2x^2}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\arccos(ax)^2\,dx= -2x+x\arccos(ax)^2-\frac{2\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)}{a}+C

:\int\arccos(ax)^n\,dx= x\arccos(ax)^n-\frac{n\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n-1}}{a}-n\,(n-1)\int\arccos(ax)^{n-2}\,dx

:\int\arccos(ax)^n\,dx= \frac{x\arccos(ax)^{n+2}}{(n+1)\,(n+2)}-\frac{\sqrt{1-a^2x^2}\arccos(ax)^{n+1}}{a\,(n+1)}-\frac{1}{(n+1)\,(n+2)}\int\arccos(ax)^{n+2}\,dx\quad(n\ne-1,-2)

4. 아크탄젠트 함수의 적분

아크탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:\int x^m\arctan(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan(ax)}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

위 식은 일반적인 아크탄젠트 함수의 적분 공식에서 m이 -1이 아닐 때(m\ne-1)의 경우를 나타낸다.

4. 1. 일반적인 적분 공식

:\int \arctan x\,dx= x\arctan x- \frac{\ln(x^2+1)}{2}+C

:\int \arctan ax\,dx= x\arctan ax- \frac{\ln(a^2x^2+1)}{2\,a}+C

:\int x\arctan ax\,dx= \frac{x^2\arctan ax}{2}+ \frac{\arctan ax}{2\,a^2}-\frac{x}{2\,a}+C

:\int x^2\arctan ax\,dx= \frac{x^3\arctan ax}{3}+ \frac{\ln(a^2x^2+1)}{6\,a^3}-\frac{x^2}{6\,a}+C

:\int x^m\arctan ax\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan ax}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne -1)

4. 2. 변형된 적분 공식

:\int\arctan(ax)\,dx= x\arctan(ax)- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2a}+C

:\int x\arctan(ax)\,dx= \frac{x^2\arctan(ax)}{2}+ \frac{\arctan(ax)}{2a^2}-\frac{x}{2a}+C

:\int x^2\arctan(ax)\,dx= \frac{x^3\arctan(ax)}{3}+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6a^3}-\frac{x^2}{6a}+C

:\int x^m\arctan(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arctan(ax)}{m+1}- \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

5. 아크코탄젠트 함수의 적분

아크코탄젠트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

하위 섹션에서 일반적인 적분 공식을 다루고 있으므로, 여기서는 간단하게 언급만 하고 넘어가겠다.

5. 1. 일반적인 적분 공식

\int\arccot(x)\,dx= x\arccot(x)+ \frac{\ln\left(x^2+1\right)}{2}+C

\int\arccot(ax)\,dx= x\arccot(ax)+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2\,a}+C

\int x\arccot(ax)\,dx= \frac{x^2\arccot(ax)}{2}+ \frac{\arccot(ax)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C

\int x^2\arccot(ax)\,dx= \frac{x^3\arccot(ax)}{3}- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C

\int x^m\arccot(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccot(ax)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

5. 2. 변형된 적분 공식

:\int\arccot(ax)\,dx= x\arccot(ax)+ \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{2\,a}+C

:\int x\arccot(ax)\,dx= \frac{x^2\arccot(ax)}{2}+ \frac{\arccot(ax)}{2\,a^2}+\frac{x}{2\,a}+C

:\int x^2\arccot(ax)\,dx= \frac{x^3\arccot(ax)}{3}- \frac{\ln\left(a^2x^2+1\right)}{6\,a^3}+\frac{x^2}{6\,a}+C

:\int x^m\arccot(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arccot(ax)}{m+1}+ \frac{a}{m+1}\int \frac{x^{m+1}}{a^2x^2+1}\,dx\quad(m\ne-1)

6. 아크시컨트 함수의 적분

아크시컨트 함수는 시컨트 함수의 역함수이다. 아크시컨트 함수의 적분은 여러 가지 형태로 나타낼 수 있으며, 하위 섹션에서 일반적인 공식과 변형된 공식들을 확인할 수 있다.

6. 1. 일반적인 적분 공식

:\int\operatorname{arcsec} x\,dx= x\operatorname{arcsec} x-\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+C = x\operatorname{arcsec} x \, - \, \ln\left(\left|x\right|+\sqrt{x^2-1}\right)\,+\,C= x\operatorname{arcsec}x-\operatorname{arcosh}|x|+C

:\int\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= x\operatorname{arcsec} (ax)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C = x\operatorname{arcsec}(ax)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arcosh}|ax|+C

:\int x\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= \frac{x^2\operatorname{arcsec} (ax)}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= \frac{x^3\operatorname{arcsec} (ax)}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C = \frac{x^3\operatorname{arcsec}(ax)}{3}\,-\, \frac{\operatorname{arcosh}|ax|}{6\,a^3}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\operatorname{arcsec} (ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsec} (ax)}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

6. 2. 변형된 적분 공식

다음은 아크시컨트 함수의 변형된 형태의 적분 공식들이다.

:\int\arcsec(ax)\,dx= x\arcsec(ax)- \frac{1}{a}\,\operatorname{arcosh}|ax|+C

:\int x\arcsec(ax)\,dx= \frac{x^2\arcsec(ax)}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\arcsec(ax)\,dx= \frac{x^3\arcsec(ax)}{3}\,-\, \frac{\operatorname{arcosh}|ax|}{6\,a^3}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\arcsec(ax)\,dx= \frac{x^{m+1}\arcsec(ax)}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

:\int\operatorname{arcsec} ax\,dx= x\operatorname{arcsec} ax- \frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\operatorname{arcsec} ax\,dx= \frac{x^2\operatorname{arcsec} ax}{2}- \frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\operatorname{arcsec} ax\,dx= \frac{x^3\operatorname{arcsec} ax}{3}\,-\, \frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,-\, \frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\operatorname{arcsec} ax\,dx= \frac{x^{m+1}\operatorname{arcsec} ax}{m+1}\,-\, \frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

7. 아크코시컨트 함수의 적분

아크코시컨트 함수의 적분 공식은 다음과 같다.

:\int\operatorname{arccsc}(x)\,dx=

x\operatorname{arccsc}(x) \, + \, \ln\left(\left|x\right|+\sqrt{x^2-1}\right)\,+\,C=

x\operatorname{arccsc}(x)\,+\, \operatorname{arcosh}|x|\,+\,C

이 외의 공식들은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

7. 1. 일반적인 적분 공식

:\int\operatorname{arccsc}(x)\,dx=

x\operatorname{arccsc}(x) \, + \, \ln\left(\left|x\right|+\sqrt{x^2-1}\right)\,+\,C=

x\operatorname{arccsc}(x)\,+\, \operatorname{arcosh}|x|\,+\,C

:\int\operatorname{arccsc}(ax)\,dx= x\operatorname{arccsc}(ax)+

\frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\operatorname{arccsc}(ax)\,dx=

\frac{x^2\operatorname{arccsc}(ax)}{2}+

\frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\operatorname{arccsc}(ax)\,dx=

\frac{x^3\operatorname{arccsc}(ax)}{3}\,+\,

\frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,

\frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\operatorname{arccsc}(ax)\,dx=

\frac{x^{m+1}\operatorname{arccsc}(ax)}{m+1}\,+\,

\frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)

7. 2. 변형된 적분 공식

arccsc영어는 아크코시컨트를 의미한다.

:\int\arccsc(ax)\,dx= x\arccsc(ax)+

\frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x\arccsc(ax)\,dx=

\frac{x^2\arccsc(ax)}{2}+

\frac{x}{2\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}+C

:\int x^2\arccsc(ax)\,dx=

\frac{x^3\arccsc(ax)}{3}\,+\,

\frac{1}{6\,a^3}\,\operatorname{arctanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,

\frac{x^2}{6\,a}\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}\,+\,C

:\int x^m\arccsc(ax)\,dx=

\frac{x^{m+1}\arccsc(ax)}{m+1}\,+\,

\frac{1}{a\,(m+1)}\int \frac{x^{m-1}}{\sqrt{1-\frac{1}{a^2x^2}}}\,dx\quad(m\ne-1)


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