오일러-베르누이 보 이론

1. 본문

오일러-베르누이 보 이론(Euler-Bernoulli beam theory)은 고전적인 보 이론으로, 다음과 같은 주요 내용을 포함합니다.
정의 및 기본 가정:

• 얇은 보: 보의 두께가 길이의 1/10보다 작은 경우를 얇은 보로 간주하며, 이 경우 오일러-베르누이 보 이론이 잘 적용됩니다. (2021-11-19)
• 평면 유지 가정: 변형 전 중심축에 수직이었던 평면 횡단면은 변형 후에도 평면을 유지하며 중심축에 수직입니다.
• 전단 변형 무시: 얇은 보에서는 전단 변형의 영향을 무시합니다. 즉, 단면의 회전 관성 효과를 고려하지 않습니다.
• 미소 변형: 변형이 매우 작다고 가정하여, 회전각 θ는 tan(θ)와 근사하고, 이는 처짐(ω)의 기울기(dω/dx)와 같습니다.

• 휨 모멘트와 곡률: 횡하중이 작용하는 보에 휨 모멘트가 발생하면, 중심축에서 y만큼 떨어진 위치의 축방향 변형률 ε(y)는 곡률(κ)과 y의 곱으로 표현됩니다. (ε(y) = yκ)
• 탄성 거동: 탄성 재료의 경우, 변형률에 탄성 계수를 곱하면 단면의 법선 응력을 구할 수 있습니다.
• 처짐 방정식: 보의 처짐(deflection)을 계산하기 위한 미분 방정식을 유도합니다. 이 방정식은 하중, 재료의 탄성 계수, 단면의 기하학적 특성(예: 단면 2차 모멘트)과 관련됩니다.
• 4차 미분 방정식 형태로 표현: (d⁴ω/dx⁴) = -ρAω²/EI (여기서 ω는 처짐, x는 길이 방향 좌표, ρ는 밀도, A는 단면적, E는 탄성 계수, I는 단면 2차 모멘트)

• 오일러-베르누이 보 이론은 다양한 공학 분야에서 구조물의 거동을 예측하고 해석하는 데 사용됩니다.
• 고유 진동수 계산, 응력 해석 등 다양한 문제에 적용됩니다.
• 에펠탑, 관람차 등의 구조물 설계에도 활용되었습니다.

• 두꺼운 보: 두꺼운 보에서는 전단 변형의 영향을 무시할 수 없으므로, 티모셴코 보 이론(Timoshenko beam theory)과 같은 더 정교한 이론을 사용해야 합니다. 티모셴코 보 이론에서는 변형 후 횡단면이 평면은 유지하지만, 중심축에 수직을 유지하지 않는다는 가정을 사용합니다.