오일러 부등식

1. 본문

오일러 부등식은 다음 두 가지 형태로 표현될 수 있습니다.
1. 기하학적 형태 (Euler's inequality in geometry):임의의 삼각형 ABC에 대해, 외접원의 반지름을 R, 내접원의 반지름을 r이라고 할 때, 다음 부등식이 성립합니다.

R ≥ 2r

등호는 삼각형 ABC가 정삼각형일 때만 성립합니다.
증명:

• 오일러 삼각형 정리 이용: 외심과 내심 사이의 거리 d는 d² = R(R - 2r) 로 주어집니다 (오일러 삼각형 정리). d² ≥ 0 이므로, R(R - 2r) ≥ 0 이고, R ≥ 2r 을 얻습니다.
• 독립적 증명: 삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c, 둘레의 절반을 s = (a + b + c)/2 라고 할 때, abc ≥ 8(s - a)(s - b)(s - c) 와 동치임을 보일 수 있습니다. 이는 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 증명 가능합니다.

2. 파도아 부등식(Padoa's Inequality)과의 동치:삼각형의 세 변의 길이를 a,b,c라 하고, s를 둘레의 절반이라고 하면 오일러 부등식은 다음과 동치입니다.

abc ≥ 8(s-a)(s-b)(s-c)
다른 분야에서의 오일러 부등식/정리:

• 오일러 정리 (수론): 수론에서 서로소인 두 정수 a와 n에 대해, aφ(n) ≡ 1 (mod n) 이 성립합니다. (φ(n)은 오일러 피 함수)
• 오일러 공식: 복소해석학에서, 복소수 z에 대하여, eiz = cos(z) + i sin(z)가 성립
• 오일러 방정식: 유체역학 등에서 사용되는 방정식

어떤 "오일러 부등식"을 찾는지 명확하지 않기 때문에, 가장 널리 알려진 기하학적 형태의 오일러 부등식과 그와 관련된 정보, 그리고 다른 분야에서 사용되는 "오일러"라는 이름이 붙은 식들을 함께 제시했습니다.