위상다양체

1. 본문

위상 다양체(topological manifold)는 국소적으로 유클리드 공간과 닮은 위상 공간입니다. 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같습니다.

• 국소적 유클리드(Locally Euclidean): 다양체의 각 점 근처를 확대하면 n차원 유클리드 공간(ℝⁿ)과 동일하게 보이는 영역(neighborhood)이 존재합니다. 즉, 각 점마다 ℝⁿ의 열린 부분집합(open subset)과 위상동형(homeomorphic)인 근방이 존재합니다.
• 위상 공간(Topological Space): 위상 공간은 개집합(open set)의 개념이 정의된 공간입니다. 위상 다양체는 이러한 위상 공간의 일종입니다.
• 하우스도르프 공간(Hausdorff space): 서로 다른 두 점을 항상 서로 겹치지 않는 열린 집합으로 분리할 수 있습니다.
• 제2 가산 공간(Second-countable space): 가산개의 열린 집합들로 이루어진 기저(basis)를 갖습니다.

• 위상 다양체(Topological manifold): 추가적인 구조가 없는 다양체입니다.
• 미분 다양체(Differentiable manifold): 미분 구조가 정의된 다양체로, 미적분학을 할 수 있습니다.
• 매끄러운 다양체(Smooth manifold): 무한 번 미분 가능한 미분 구조를 갖는 다양체입니다.
• 복소 다양체(Complex manifold): 국소적으로 복소 공간과 닮은 다양체입니다.

• 유클리드 공간(Euclidean space): ℝⁿ은 n차원 다양체의 가장 기본적인 예시입니다.
• 구(Sphere): 2차원 구(S²)는 2차원 다양체의 예시입니다. 지구 표면을 생각하면, 각 지점 근처는 평평한 2차원 평면(유클리드 공간)처럼 보이지만, 전체적으로는 구의 형태를 가집니다.
• 원환면(Torus): 도넛 모양의 표면은 2차원 다양체의 또 다른 예시입니다.
• 클라인 병(Klein bottle): 뫼비우스의 띠와 비슷하지만 3차원 공간에 자기 교차 없이 표현할 수 없는 2차원 다양체입니다.