위상동형

1. 본문

위상동형(位相同型, homeomorphism)은 위상수학에서 사용하는 개념으로, 두 위상 공간이 '같다'라고 말할 수 있는 조건을 설명합니다. 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같습니다.
위상동형사상 (Homeomorphism)두 위상 공간 X와 Y 사이에 위상동형사상이 존재한다는 것은 다음을 의미합니다.

• 전단사 함수 (Bijective Function): X에서 Y로 가는 함수 f가 존재하여, X의 모든 점이 Y의 점 하나에 대응되고, Y의 모든 점도 X의 점 하나에 대응되어야 합니다. 즉, 일대일 대응(one-to-one correspondence) 관계가 성립해야 합니다.
• 연속 함수 (Continuous Function): 함수 f와 그 역함수 f⁻¹ 모두 연속 함수여야 합니다. 이는 X에서의 열린 집합(open set)이 Y에서의 열린 집합으로, Y에서의 열린 집합이 X에서의 열린 집합으로 대응됨을 의미합니다.

• 변형: 위상동형은 도형을 찢거나 붙이지 않고, 구부리거나 늘려서 다른 모양으로 만들 수 있는지를 봅니다. 예를 들어, 커피 잔과 도넛은 위상동형입니다. 커피 잔의 손잡이 부분을 늘리고 몸통 부분을 줄이면 도넛 모양으로 만들 수 있기 때문입니다.
• 연결성: 위상동형은 도형의 연결 방식을 중요하게 생각합니다. 예를 들어, 알파벳 'A'와 'R'은 위상동형이지만, 'A'와 'P'는 위상동형이 아닙니다. 'A'를 'P'로 변형하려면 선을 끊어야 하기 때문입니다.
• 위상 불변량: 위상동형인 공간들은 위상 불변량(topological invariant)을 공유합니다. 오일러 종수(Euler characteristic number)는 위상 불변량의 예시 중 하나입니다.

• 커피 잔과 도넛
• 알파벳 'A'와 'R'
• 정육면체와 구

• 위상동형은 위상수학에서 가장 중요한 개념 중 하나입니다.
• 위상동형은 "동형(isomorphism)"의 일종이지만, 위상수학에서는 위상동형이라는 용어를 더 일반적으로 사용합니다.
• 위상 공간에 대한 글에서 설명되었듯이, 위상동형(homeomorphism)과 isotopy는 다른 개념이므로 혼동하면 안 됩니다.