윌리엄슨 일반 형식
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1. 본문
윌리엄슨 일반 형식(Williamson's normal form)은 행렬 분해의 한 종류입니다. 2nx2n 차수의 정사각 행렬인 임의의 정부호행렬 A에 대해 적용됩니다.
핵심 내용:
- 정부호행렬: 윌리엄슨 일반 형식은 정부호행렬(positive definite matrix)에 적용됩니다.
- 행렬 분해: 주어진 행렬 A를 다른 형태의 행렬들로 분해합니다.
- 심플렉틱 행렬: 윌리엄슨 정리에 따르면, 2n x 2n 실수 정부호 행렬 A에 대해, 2n x 2n 실수 심플렉틱 행렬(symplectic matrix) S가 존재하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
STAS = D ⊕ D
여기서 D는 양의 대각 성분을 갖는 n x n 대각 행렬입니다. D의 대각 성분은 A의 심플렉틱 고유값(symplectic eigenvalues)이라고 합니다.
윌리엄슨 정리의 일반화:
- 유한 차원뿐 아니라 무한 차원 분리 가능한 힐베르트 공간(separable Hilbert spaces)의 유계 양의 연산자(bounded positive operators)에 대한 윌리엄슨 일반 형식의 일반화도 연구되었습니다.
- 심플렉틱 고유값이 반복되는 경우에도 윌리엄슨 정리가 성립합니다.
응용:
- 무한 모드 가우스 상태(infinite mode Gaussian states) 연구에 응용됩니다.
- 양자역학 등에서 활용될 수 있습니다.
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