일반화 운동량

1. 본문

일반화 운동량(generalized momentum)은 라그랑주 역학에서 사용되는 개념으로, 역학계가 움직이는 정도를 나타내는 물리량입니다. 일반화 운동량은 라그랑지언을 일반화 속도에 대해 편미분하여 정의됩니다.
정의:일반화 좌표 $q_i$에 대응되는 일반화 운동량 $p_i$는 다음과 같이 정의됩니다.

$p_i ≡ \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}$

여기서,

• $L$은 라그랑지언 (운동 에너지 - 위치 에너지)
• $\dot{q_i}$는 일반화 속도 (일반화 좌표의 시간 미분)

• 일반화 운동량은 뉴턴 역학에서의 운동량(선운동량, 각운동량)을 일반화한 개념입니다.
• 직교 좌표계에서는 선운동량 $p_i = m \dot{x_i}$ 와 일치하지만, 일반적인 좌표계에서는 다를 수 있습니다. 예를 들어, 극좌표계에서 각운동량은 일반화 운동량의 한 형태입니다.
• 일반화 운동량은 해밀토니안 역학에서 핵심적인 역할을 합니다. 해밀토니안은 일반화 좌표와 일반화 운동량으로 표현되는 함수입니다.
• 일반화 운동량은 좌표계 선택에 의존하지 않는 스칼라 양인 라그랑지안으로부터 유도되므로, 복잡한 좌표계에서도 운동을 쉽게 분석할 수 있게 해줍니다.

• 일반화 운동량은 "켤레 운동량(conjugate momentum)" 또는 "정준 운동량(canonical momentum)"이라고도 불립니다.
• (2021-08-08) 해밀톤 방정식은 라그랑주 방정식을 1차 미분 방정식으로 재구성한 것으로, 일반화 운동량을 사용합니다.
• (2024-11-03) 무한소 변위의 병진은 일반화 운동량 보존을 이끌어냅니다