일반 연속체 가설
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1. 본문
일반 연속체 가설(一般連續體假說, Generalized Continuum Hypothesis, GCH)은 게오르크 칸토어가 제시한 가설로, 무한집합의 크기에 관한 명제입니다. 내용은 다음과 같습니다.
일반 연속체 가설: 임의의 무한집합 S에 대하여, S의 기수(cardinality)와 S의 멱집합(power set)의 기수 사이에 다른 기수가 존재하지 않는다.
- 기수(Cardinality): 집합의 크기를 나타내는 개념입니다. 유한집합의 경우 원소의 개수를 의미하며, 무한집합의 경우 ℵ₀ (알레프-제로, 자연수의 집합의 크기), ℵ₁ (알레프-원, ℵ₀ 다음으로 큰 기수) 등과 같이 표현됩니다.
- 멱집합(Power set): 주어진 집합의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합입니다. 집합 S의 멱집합은 P(S) 또는 2S로 표기합니다.
일반 연속체 가설은 |S| = ℵn 이면 |P(S)| = 2ℵn = ℵn+1 이라는 식으로 표현될 수 있습니다. 즉, 어떤 무한 기수 ℵn에 대하여, ℵn 보다 크고 2ℵn 보다 작은 기수는 존재하지 않는다는 것입니다.
연속체 가설 (Continuum Hypothesis, CH): 일반 연속체 가설의 특수한 경우로, 자연수 집합의 크기(ℵ₀)와 실수 집합의 크기(2ℵ₀) 사이에 다른 기수가 존재하지 않는다는 명제입니다. 즉, 2ℵ₀ = ℵ₁ 이 성립한다는 것입니다.
일반 연속체 가설과 관련된 사실들:
- 증명 불가능성: 연속체 가설과 마찬가지로, 일반 연속체 가설은 표준적인 집합론 공리계(ZFC 공리계) 내에서 증명할 수도, 반증할 수도 없습니다. 이는 쿠르트 괴델과 폴 코언에 의해 증명되었습니다.
- 구성 가능성 공리: ZFC 공리계에 구성 가능성 공리(axiom of constructibility, V=L)를 추가하면 일반 연속체 가설이 참이 됩니다.
- 다른 공리계: 일반 연속체 가설을 참 또는 거짓으로 만드는 다른 공리계를 구성할 수 있습니다.
일반 연속체 가설은 집합론의 중요한 미해결 문제 중 하나였으며, 그 자체로도 중요하지만, 다른 수학적 명제들과의 관계 때문에도 많은 연구가 이루어졌습니다.
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