제자리 알고리즘
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1. 개요
제자리 알고리즘은 입력 데이터를 수정하여 결과를 생성하며, 추가적인 저장 공간을 최소한으로 사용하는 알고리즘을 의미한다. 배열을 뒤집는 예시와 같이, 입력 배열 내에서 요소들의 위치를 교환하여 역순으로 만드는 알고리즘이 있다. 거품 정렬, 빗질 정렬, 선택 정렬, 삽입 정렬, 힙 정렬, 셸 정렬과 같은 많은 정렬 알고리즘이 제자리 정렬 알고리즘에 속한다. 계산 복잡도 이론에서 엄밀한 의미의 제자리 알고리즘은 O(1) 공간 복잡도를 가지는 알고리즘을 의미하지만, O(log *n*) 추가 공간을 사용하는 알고리즘도 제자리 알고리즘으로 간주한다. 무작위 알고리즘을 사용하면 공간 요구량을 줄일 수 있으며, 함수형 프로그래밍에서는 데이터를 덮어쓰는 것을 지양하지만, 컴파일러 최적화를 통해 제자리 알고리즘과 유사한 효과를 낼 수 있다.
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| 제자리 알고리즘 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 범주 | 컴퓨터 과학 |
| 분야 | 알고리즘 |
| 자료 구조 | 컴퓨터 프로그램이 사용하는 메모리의 양을 최소화하는 알고리즘 |
| 공간 복잡도 | O(log n) |
| 최악의 경우 성능 | O(log n) |
| 평균 성능 | O(log n) |
| 최악의 경우 추가 공간 | o(n) |
| 상세 내용 | |
| 특징 | 입력이 덮어쓰기되는 알고리즘 추가 공간 요구 사항이 작음 (대개 O(log n)이지만, 때로는 상수일 수도 있음) |
| 설명 | 데이터를 변환하기 위해 입력에 추가적인 공간이 거의 필요하지 않은 알고리즘 일반적으로 출력은 입력에 의해 덮어쓰여짐 |
| 장점 | 공간을 절약하여 비용 효율적 |
| 단점 | 읽기/쓰기 권한 필요, 데이터 손상 위험 |
| 예시 | 병합 정렬 (일부 구현) 힙 정렬 퀵 정렬 |
2. 예
n영어개의 요소를 가진 배열이 주어졌을 때, 이를 뒤집는 가장 간단한 방법은 같은 크기의 새 배열을 만들어 원래 배열의 요소를 역순으로 복사하는 것이다. 그러나 이 방법은 추가적인 메모리 공간을 필요로 한다.
메모리 할당 및 해제는 일반적으로 느린 작업이므로, 추가적인 배열을 사용하지 않고 원래 배열 자체를 변경하는 제자리 알고리즘을 사용하는 것이 효율적이다. 예를 들어, 주어진 배열의 요소를 역순으로 정렬할 때, 추가 배열을 생성하지 않고 원래 배열 내에서 요소의 위치를 서로 바꾸는 방식으로 제자리 알고리즘을 구현할 수 있다.
2. 1. 제자리 뒤집기 알고리즘
n영어개의 항목을 가지는 배열 a가 주어졌을 때, 추가 배열을 생성하지 않고 a 내에서 요소들의 위치를 서로 교환하여 역순으로 만드는 알고리즘을 예시로 들 수 있다. 다음은 배열 a를 자신의 뒤집혀진 값으로 덮어쓰는 제자리 알고리즘이다. 이 알고리즘은 보조 변수 tmp와 i라는 고정된(2) 개수의 공간만 있으면 된다.'''function''' 제자리에서뒤집기(a[0..n-1])
'''for''' i '''from''' 0 '''to''' floor((n-2)/2)
tmp := a[i]
a[i] := a[n − 1 − i]
a[n − 1 − i] := tmp
2. 2. 정렬 알고리즘
거품 정렬, 빗질 정렬, 선택 정렬, 삽입 정렬, 힙 정렬, 셸 정렬 등은 대표적인 제자리 정렬 알고리즘이다.[8][1][4] 이들은 몇 개의 포인터만 필요로 하므로 공간 복잡도는 O영어(log ''n'')이다.[8][1]퀵 정렬은 정렬할 데이터에 대해 제자리에서 작동하지만, 분할 정복 전략에서 하위 배열을 추적하기 위해 O영어(log ''n'')만큼의 스택 공간 포인터가 필요하다.[8][1] 결과적으로 퀵 정렬에는 O영어(log2 ''n'')의 추가 공간이 필요하여 엄밀히는 제자리 알고리즘 범주에서 제외되지만, O영어(log ''n'')의 추가 포인터만 필요한 퀵 정렬 및 기타 알고리즘은 일반적으로 제자리 알고리즘으로 간주된다.[8][1]
인트로 정렬은 퀵 정렬과 같이 재귀 깊이를 O영어(log''n'')으로 억제하여, 넓은 의미에서 제자리 알고리즘으로 볼 수 있다.[5]
2. 3. 선택 알고리즘
대부분의 선택 알고리즘은 제자리 알고리즘으로 구현되지만, 일부 알고리즘은 결과를 도출하는 과정에서 입력 배열의 구조를 변경하기도 한다.[1]2. 4. 텍스트 조작 알고리즘
트림 및 문자열 뒤집기와 같은 일부 텍스트 조작 알고리즘은 제자리에서 수행될 수 있다.3. 계산 복잡도 이론
계산 복잡도 이론에서 엄밀한 의미의 제자리 알고리즘은 O(1) 공간 복잡도를 가지는 알고리즘, 즉 DSPACE(1) 클래스에 속하는 알고리즘을 의미한다. 이 클래스는 매우 제한적이며, 정규 언어와 같다.[2]
하지만 일반적으로는 O(log ''n'') 추가 공간을 사용하는 알고리즘도 제자리 알고리즘으로 간주하며, 이는 L 클래스에 해당한다. 이는 크기가 ''n''인 숫자를 포인터나 인덱스로 사용할 수 있기 때문에 실용적인 정의와 더 일치한다.
3. 1. L 클래스와 제자리 알고리즘
SL (복잡도) 참고계산 복잡도 이론에서 제자리 알고리즘을 L 클래스(즉, O(log *n*)의 추가 공간을 요구하는 문제의 클래스)의 알고리즘으로 정의하면, 몇 가지 흥미로운 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어, 무방향 그래프에서 두 노드 사이에 경로가 존재하는지 여부를 결정하는 제자리 알고리즘이 존재한다.[3] 이는 일반적인 알고리즘(예: 깊이 우선 탐색)에서 각 노드에 대한 방문 여부를 나타내는 비트를 사용하여 O(*n*)의 추가 공간을 필요로 하는 문제이다.
마찬가지로, 다음 문제들에 대한 제자리 알고리즘도 존재한다.
- 그래프가 이분 그래프인지 여부 판별[7]
- 두 그래프가 동일한 수의 연결 요소를 갖는지 여부 판별[7]
4. 무작위성의 역할
많은 경우, 무작위 알고리즘을 사용하면 알고리즘의 공간 요구량을 크게 줄일 수 있다. 예를 들어, 개의 정점을 가진 그래프에서 두 정점이 그래프의 같은 연결 요소에 속하는지 알고 싶을 때, 이를 결정하는 간단하고 결정적인 제자리 알고리즘은 알려져 있지 않다. 그러나 한 정점에서 시작하여 약 단계의 랜덤 워크를 수행하면, 다른 정점이 같은 구성 요소에 있는 경우 우연히 마주칠 가능성이 매우 높다.[8]
마찬가지로, 밀러-라빈 소수 판별법과 같은 소수성 검사를 위한 간단한 제자리 랜덤 알고리즘이 있으며, 폴라드 로 알고리즘과 같은 간단한 제자리 랜덤 인수분해 알고리즘도 있다.[8]
5. 함수형 프로그래밍
함수형 프로그래밍 언어는 데이터를 덮어쓰는 것을 부작용으로 간주하기 때문에 명시적인 제자리 알고리즘을 권장하지 않거나 지원하지 않는 경우가 많다. 대신 새로운 데이터를 생성하도록 하는 것이 일반적이다. 그러나 훌륭한 함수형 언어 컴파일러는 기존 객체와 매우 유사한 객체가 생성되고 이전 객체가 버려지는 경우를 인식하여 이를 간단한 내부적인 변경으로 최적화하는 경우가 많다.[1]
원칙적으로 데이터를 수정하지 않는 제자리 알고리즘(데이터가 더 이상 사용되지 않는 경우 제외)을 신중하게 구성하는 것이 가능하지만, 실제로 이러한 작업은 거의 수행되지 않는다.[1] 데이터 갱신과 이전 데이터의 참조가 앞뒤로 충돌하지 않도록 주의해야 하기 때문에 실제로 제자리 알고리즘을 사용하는 경우는 드물다.[1]
참조
[1]
수학
[2]
논문
The Complexity World below Logarithmic Space
http://citeseer.ist.[...]
Structure in Complexity Theory Conference
1994
[3]
간행물
Undirected connectivity in log-space
[4]
문서
[5]
문서
[6]
논문
The Complexity World below Logarithmic Space
http://citeseer.ist.[...]
Structure in Complexity Theory Conference
1994
[7]
웹사이트
Undirected ST-connectivity in Log-Space
http://www.wisdom.we[...]
Electronic Colloquium on Computational Complexity
[8]
수학
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