중간점 방법

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1. 개요
2. 중간점 방법의 유도
3. 룽게-쿠타 방법과의 관계
4. 한국의 과학기술 응용
- 4.1. 수치 모델링
- 4.2. 시뮬레이션
참조

1. 개요

중간점 방법은 오일러 방법을 개선한 수치 적분 방법으로, 미분 방정식을 풀기 위해 사용된다. 명시적 중간점 방법은 시간 간격의 중간 지점에서 기울기를 계산하여 다음 단계의 함수 값을 예측하고, 암시적 중간점 방법은 현재와 다음 시간 단계의 함수 값 평균을 사용하여 중간 지점의 함수 값을 계산한다. 중간점 방법은 오일러 방법보다 더 정확하며, 룽게-쿠타 방법의 일종으로 볼 수 있다.

2. 중간점 방법의 유도

중간점 방법은 오일러 방법과 유사한 방식으로 유도되지만, 기울기를 계산할 때 시간 간격의 중간 지점을 사용한다는 차이점이 있다.

오일러 방법의 공식은 다음과 같다.

:

y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)

오일러 방법을 유도하는 핵심은 다음 근사식이다.

:

y(t+h) \approx y(t) + hf(t,y(t)) \qquad\qquad (2)

이는 기울기 공식

:

y'(t) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h} \qquad\qquad (3)

과

y' = f(t, y)

임을 이용하여 얻어진다.

중간점 방법에서는 (3) 대신 다음 식을 사용한다.

:

y'\left(t+\frac{h}{2}\right) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h}

따라서 (2)는 다음과 같이 바뀐다.

:

y(t+h) \approx y(t) + hf\left(t+\frac{h}{2},y\left(t+\frac{h}{2}\right)\right) \qquad\qquad (4)

그런데

t + \frac{h}{2}

에서의

y

값을 모르기 때문에, 테일러 급수를 사용하여 다음과 같이 근사한다.

:

y\left(t + \frac{h}{2}\right) \approx y(t) + \frac{h}{2}y'(t)=y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))

이를 (4)에 대입하면 명시적 중간점 방법을 얻는다.

:

y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)

암시적 방법 (1i)은

y(t)

에서

y(t+h)

까지의 선분의 중간점으로

t+h/2

에서의 값을 근사하여 얻는다.

:

y\left(t+\frac h2\right)\approx \frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)

따라서

:

\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y'\left(t+\frac h2\right)\approx k=f\left(t+\frac h2,\frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)\right)

y(t_n+h)

에

y_n+h\,k

를 대입하면 암시적 룽게-쿠타 방법이 된다.

:

\begin{align}k&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2 k\right)\\y_{n+1}&=y_n+h\,k\end{align}

여기에는 단계 크기가

h/2

인 암시적 오일러 방법이 첫 번째 부분으로 포함되어 있다.

암시적 방법의 시간 대칭성 때문에 국부 오차에서

h

의 짝수 차수의 모든 항이 상쇄되어 국부 오차가 자동으로

\mathcal O(h^3)

의 차수가 된다.

k

를 결정할 때 암시적 방법을 명시적 오일러 방법으로 대체하면 다시 명시적 중간점 방법이 된다.

2. 1. 명시적 중간점 방법 (Explicit Midpoint Method)

명시적 중간점 방법은 오일러 방법을 개선한 수치 적분 방법 중 하나이다. 이 방법은 현재 시간 단계의 함수 값과 오일러 방법을 이용해 예측한 중간 지점의 함수 값을 이용하여 다음 시간 단계의 함수 값을 계산한다.

명시적 중간점 방법의 핵심은 다음 근사식에 기반한다.

:

y(t+h) \approx y(t) + hf\left(t+\frac{h}{2},y\left(t+\frac{h}{2}\right)\right)

여기서

y(t)

는 시간 t에서의 함수 값, h는 시간 간격, f(t, y)는 함수의 도함수를 나타낸다. 이 식은 (3)을 더욱 정확하게 대체한 것이다.

:

y'\left(t+\frac{h}{2}\right) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h}

그러나 위 식에서

y(t+h/2)

의 값을 알 수 없기 때문에, 직접 계산할 수 없다. 따라서 테일러 급수 전개를 통해 다음과 같이 근사한다.

:

y\left(t + \frac{h}{2}\right) \approx y(t) + \frac{h}{2}y'(t)=y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))

이 근사값을 원래 식에 대입하면 명시적 중간점 방법의 공식을 얻을 수 있다.

:

y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)

위 그림에서 볼 수 있듯이, 중간점 방법(녹색 선)은 오일러 방법(파란색 선)보다 더 빠르게 정확한 해(빨간색 선)에 수렴한다.

2. 2. 암시적 중간점 방법 (Implicit Midpoint Method)

암시적 중간점 방법(Implicit Midpoint Method)은 수치적분 방법 중 하나로, 오일러 방법을 개선한 것이다. 이 방법은 현재 시간 단계와 다음 시간 단계의 함수 값의 평균을 이용하여 중간 지점의 함수 값을 계산한다.

암시적 중간점 방법은 다음 식으로 표현된다.

:

\begin{align}k&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2 k\right)\\y_{n+1}&=y_n+h\,k\end{align}

여기서

k

는 중간 지점에서의 기울기를 나타내며,

y_{n+1}

은 다음 시간 단계의 함수 값을 의미한다. 이 식은

y(t_n+h)

를

y_n+h\,k

로 근사하여 얻어진다.

암시적 방법은 시간 대칭성을 가지기 때문에, 지역 오차(local error)에서

h

의 짝수 차수 항이 모두 상쇄된다. 따라서 지역 오차는 자동적으로

O(h^3)

가 된다.

암시적 중간점 방법은 명시적 방법에 비해 안정성이 뛰어나지만, 매 시간 단계마다 비선형 방정식을 풀어야 하므로 계산량이 더 많다는 단점이 있다.

2. 3. 오차 분석

중간점 방법은 오일러 방법을 구체화하여 만든 방법으로, 오일러 방법보다 더 정확한 결과를 제공한다. 이는 중간점 방법이 2차 정확도(second-order accuracy)를 가지기 때문이다.

오일러 방법에서는 다음 근사식을 사용한다.

:

y(t+h) \approx y(t) + hf(t,y(t)) \qquad\qquad (2)

이는 기울기 수식

:

y'(t) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h} \qquad\qquad (3)

에서

y' = f(t, y)

를 대입하여 얻을 수 있다.

중간점 방법에서는 (3)을 다음과 같이 더 정확하게 만든다.

:

y'\left(t+\frac{h}{2}\right) \approx \frac{y(t+h) - y(t)}{h}

이를 (2)에 대입하면,

:

y(t+h) \approx y(t) + hf\left(t+\frac{h}{2},y\left(t+\frac{h}{2}\right)\right) \qquad\qquad (4)

를 얻는다.

하지만,

t+h/2

에서

y

의 값을 모르기 때문에, 오일러 방법을 사용하여

y(t+h/2)

를 테일러 급수로 근사한다.

:

y\left(t + \frac{h}{2}\right) \approx y(t) + \frac{h}{2}y'(t)=y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t)),

이를 (4)에 대입하면 명시적 중간점 방법

:

y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)

를 얻게 된다.

암시적 중간점 방법은

y(t)

에서

y(t+h)

까지의 선분의 중간점인

t+h/2

에서의 값을 근사하여 얻을 수 있다.

:

y\left(t+\frac h2\right)\approx \frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)

따라서

:

\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx y'\left(t+\frac h2\right)\approx k=f\left(t+\frac h2,\frac12\bigl(y(t)+y(t+h)\bigr)\right)

가 되고,

y(t_n+h)

에

y_n+hk

를 대입하면 암시적 룽게-쿠타 방법

:

\begin{align}k&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2 k\right)\\y_{n+1}&=y_n+h\,k\end{align}

를 얻는다.

암시적 방법은 시간 대칭성 덕분에 지역 오차의 짝수 차수 항이 상쇄되어 지역 오차가

O(h^3)

이 된다.

3. 룽게-쿠타 방법과의 관계

중간점 방법은 오일러 방법을 개선한 수치적분 방법으로, 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta method)의 일종으로 볼 수 있다. 오일러 방법은 기울기를 이용하여 근사값을 구하는 반면, 중간점 방법은 구간의 중간점에서의 기울기를 사용한다.

명시적 중간점 방법은 다음과 같이 표현된다.

: $y(t + h) \approx y(t) + hf\left(t + \frac{h}{2}, y(t) + \frac{h}{2}f(t, y(t))\right)$

암시적 중간점 방법은 2차 룽게-쿠타 방법에 해당하며, 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}k&=f\left(t_n+\frac h2,y_n+\frac h2 k\right)\\y_{n+1}&=y_n+h\,k\end{align}$

암시적 방법은 시간 대칭성으로 인해 지역 오차의 짝수 차수 항이 제거되어, 지역 오차가 $O(h^3)$ 이 된다.

4. 한국의 과학기술 응용

4. 1. 수치 모델링

4. 2. 시뮬레이션

참조

_[1] 서적
_[2] 서적
_[3] 서적
_[4] 서적

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