직류 회로

1. 개요

직류 회로는 시간의 변화에 따라 전류의 방향과 크기가 변하지 않는 회로를 의미한다. 직류 회로의 기본 법칙으로는 옴의 법칙, 키르히호프의 법칙, 중첩의 원리, 테브냉의 정리, 노턴의 정리, 밀만의 정리, 상반 정리, 보상 정리 등이 있다. 직류 회로는 저항, 축전기, 코일 등의 구성 요소로 이루어지며, 저항만 연결된 회로, 축전기만 연결된 회로, RC 회로(저항-축전기 회로), RL 회로(저항-코일 회로) 등의 종류가 있다.

2. 직류 회로의 기본 법칙

축전기(콘덴서) 양단에 걸린 전압을 V, 축전기의 전기용량을 C라고 하면 축전기에 저장되는 전하량 Q는 다음과 같이 표현 가능하다.
: $Q\; =\; CV$

RC 회로에서,
: $V\; =\; IR\; +\; \backslash frac\{Q\}\{C\}$
: $I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}$
이므로 다음과 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.
: $V\; =\; R\backslash frac\{dQ\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{Q\}\{C\}$
위 미분방정식의 해를 구하면
: $Q\; =\; CV(1-e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}(t-t\_i)\})\; +\; Q\_i\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}(t-t\_i)\}$
이 때, $t\_i$, $Q\_i$는 각각 처음 시각과 그때에 축전기에 들어있던 전하량이다.
처음 시각을 $t\_i\; =0$, 그때 축전기에 들어있던 전하량을 $Q\_i$, 축전기가 가득 충전되었을 때 축전기의 전하량을 $Q\_0$라 하면 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.
: $Q\; =\; Q\_0\; (1-e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\})\; +\; Q\_i\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$ ---------- (4)
따라서 시간 t일 때 회로에 흐르는 전류의 량은
: $I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{Q\_0-Q\_i\}\{RC\}e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}\; =\; (\backslash frac\{V\}\{R\}\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{RC\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
임을 알 수 있다. 따라서, 저항, 축전기에 걸리는 전압은 각각 다음과 같다.
: $V\_R\; =\; (V\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{C\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
: $V\_C\; =\; V\; -(V\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{C\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
아무리 저항이 작은 물질을 도선으로 사용한다고 하더라도 전원 장치에 축전기를 연결한 회로에는 미량의 저항이 존재한다. 따라서 이 회로는 저항과 축전기가 직렬로 연결된 회로라고 생각할 수 있다. 한편 식 (4)는 축전기에 저장되는 전하량을 표현하고 있는데, 이 때, $Q\_0\; >\; Q\_i$이므로 Q는 언제나 $Q\_0$보다 작다. 즉, 실제 축전기는 이론상으로 축전기에 저장될 수 있는 전하량만큼의 전하를 저장할 수는 없다.

RL 회로에서 미분방정식의 해를 구하면
: $I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}(t-t\_i)\})\; +\; I\_i\; e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}(t-t\_i)\}$
이고 처음 시간을 0, 이 순간의 전류가 0이었다면
: $I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\})$
로 식을 정리할 수 있다.
따라서 저항체 양단에 걸리는 전압과 코일에 걸리는 유도기전력은 다음과 같다.
: $V\_R\; =\; V(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\})$
: $V\_L\; =\; Ve^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\}$

* 회로의 쌍대성(duality)

2.1. 옴의 법칙

전원 장치와 저항만이 연결된 직류 회로는 전기 회로 중 가장 간단한 전기 회로들 중 하나이다. 이때 전원 장치의 기전력을 V, 저항의 저항값을 R이라 하면 회로에 흐르는 전류는 다음과 같이 표현 가능하다.
:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}$

2.2. 키르히호프의 법칙

키르히호프의 법칙은 복잡한 회로를 해석하는 데 사용되는 법칙으로, 전류 법칙과 전압 법칙으로 구성된다. 한국의 대학교 전기/전자 공학 교육 과정에서 회로 이론의 핵심 내용으로 다룬다.

2.2.1. 키르히호프 전압 법칙 (KVL)

키르히호프의 정리에 의해 회로 내의 임의의 폐회로에서 전압 강하의 합이 0이 된다. 이를 키르히호프 전압 법칙(KVL)이라고 한다.

RC 회로에서 전원 장치의 기전력 V^영어, 저항에서의 전압 강하 V_R^영어, 축전기에서의 전압 강하 V_C^영어 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

:V^영어 = V_R^영어 + V_C^영어

RL 회로에서 코일의 유도용량이 L이고, 코일에 흐르는 전류가 I일 때, 코일에는 전류가 흐르는 방향으로

:V_L^영어 = L^영어 dI/dt^영어

의 유도기전력이 발생하여 전압강하를 일으킨다. 따라서 키르히호프의 정리에 의해 아래와 같은 식이 성립한다.

:V^영어 = V_R^영어 + V_L^영어 = IR^영어 + L^영어dI/dt^영어

2.3. 중첩의 원리

중첩의 원리는 여러 개의 전원을 포함하는 선형 회로에서, 각 전원이 개별적으로 작용할 때의 결과를 합하여 전체 결과를 얻을 수 있다는 원리이다.

2.4. 테브냉의 정리

테브냉의 정리는 복잡한 회로를 하나의 전압원과 직렬 저항으로 등가화하는 방법이다.

2.5. 노턴의 정리

테브냉의 정리의 쌍대이다. 노턴의 정리는 복잡한 회로를 하나의 전류원과 병렬 저항으로 등가화하는 방법이다.

2.6. 밀만의 정리

밀만의 정리는 여러 개의 전압원이 병렬로 연결된 회로에서 전체 전압을 구하는 방법이다.

2.7. 상반 정리 (가역 정리)

상반 정리(가역 정리)는 선형 회로에서 전압원과 전류계의 위치를 바꾸어도 전류계에 흐르는 전류는 변하지 않는다는 정리이다.

2.8. 보상 정리

보상 정리는 회로 내의 특정 소자 값이 변했을 때, 그 변화에 의한 영향을 분석하는 방법이다.

3. 직류 회로의 구성 요소

직류 회로는 전류가 일정한 방향으로 흐르는 회로를 말하며, 일반적으로 다음과 같은 구성 요소들로 이루어져 있다.

* 저항: 전류의 흐름을 방해하는 소자이다. 옴의 법칙에 따라 저항 양단에는 전압 강하가 발생한다.
* 축전기: 전하를 저장하는 소자이다. 축전기에 전압을 가하면 전하가 충전되고, 전압을 제거하면 전하가 방전된다.
* 코일: 자기장의 형태로 에너지를 저장하는 소자이다. 코일에 전류가 흐르면 자기장이 발생하고, 전류의 변화에 따라 유도 기전력이 발생한다.

이러한 구성 요소들은 직렬 또는 병렬로 연결되어 다양한 기능을 수행하는 직류 회로를 구성한다.

3.1. 저항

전원 장치와 저항만이 연결된 직류 회로는 전기 회로 중 가장 간단한 전기 회로들 중 하나이다. 이때 전원 장치의 기전력을 V, 저항의 저항값을 R이라 하면 회로에 흐르는 전류는 다음과 같이 표현 가능하다.
:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}$

3.2. 축전기(콘덴서)

축전기(콘덴서) 양단에 걸린 전압을 V, 축전기의 전기용량을 C라고 하면 축전기에 저장되는 전하량 Q는 다음과 같이 표현 가능하다.
:$Q\; =\; CV$

키르히호프의 정리에 의해 전원장치의 기전력 $V$, 저항에서의 전압강하 $V\_R$, 축전기에서의 전압강하 $V\_C$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
:$V\; =\; V\_R\; +\; V\_C$
위 식에서
:$V\; =\; IR\; +\; \backslash frac\{Q\}\{C\}$
임을 알 수 있으며,
:$I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}$
이므로 아래와 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.
:$V\; =\; R\backslash frac\{dQ\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{Q\}\{C\}$
위 미분방정식의 해를 구하면
:$Q\; =\; CV(1-e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}(t-t\_i)\})\; +\; Q\_i\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}(t-t\_i)\}$
이다. 이 때, $t\_i$, $Q\_i$는 각각 처음 시각과 그때에 축전기에 들어있던 전하량이다.
처음 시각을 $t\_i\; =0$, 그때 축전기에 들어있던 전하량을 $Q\_i$, 축전기가 가득 충전되었을 때 축전기의 전하량을 $Q\_0$라 하면 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.
:$Q\; =\; Q\_0\; (1-e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\})\; +\; Q\_i\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$ ---------- (4)
따라서 시간 t일 때 회로에 흐르는 전류의 량은
:$I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{Q\_0-Q\_i\}\{RC\}e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}\; =\; (\backslash frac\{V\}\{R\}\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{RC\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
임을 알 수 있다. 따라서, 저항, 축전기에 걸리는 전압은 각각 다음과 같다.
:$V\_R\; =\; (V\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{C\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
:$V\_C\; =\; V\; -(V\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{C\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
아무리 저항이 작은 물질을 도선으로 사용한다고 하더라도 전원장치에 축전기를 연결한 회로에는 미량의 저항이 존재한다. 따라서 이 회로는 저항과 축전기가 직렬로 연결된 회로라고 생각할 수 있다. 한편 식 (4)는 축전기에 저장되는 전하량을 표현하고 있는데, 이 때, $Q\_0\; >\; Q\_i$이므로 Q는 언제나 $Q\_0$보다 작다. 즉, 실제 축전기는 이론상으로 축전기에 저장될 수 있는 전하량만큼의 전하를 저장할 수는 없다.

3.3. 코일 (인덕터)

코일의 유도 용량이 L이고, 코일에 흐르는 전류가 I일 때, 코일에는 전류가 흐르는 방향으로 다음과 같은 유도 기전력이 발생하여 전압 강하를 일으킨다.

:$V\_L\; =\; L\; \backslash frac\{dI\}\{dt\}$

따라서 키르히호프의 정리에 의해 아래와 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.

:$V\; =\; V\_R\; +\; V\_L\; =\; IR\; +\; L\; \backslash frac\{dI\}\{dt\}$

위 미분방정식의 해를 구하면 다음과 같다.

:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}(t-t\_i)\})\; +\; I\_i\; e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}(t-t\_i)\}$

처음 시간을 0, 이 순간의 전류가 0이었다면 다음과 같이 식을 정리할 수 있다.

:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\})$

따라서 저항체 양단에 걸리는 전압과 코일에 걸리는 유도 기전력은 다음과 같다.

:$V\_R\; =\; V(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\})$

:$V\_L\; =\; Ve^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\}$

4. 직류 회로의 종류

직류 회로는 크게 저항만 연결된 회로, 축전기(콘덴서)만 연결된 회로, 저항과 축전기가 함께 연결된 RC 회로, 저항과 코일이 함께 연결된 RL 회로 등으로 나눌 수 있다.

* 저항만 연결된 회로: 전원 장치와 저항만으로 구성된 가장 간단한 형태의 직류 회로이다. 옴의 법칙에 따라 회로에 흐르는 전류가 결정된다.
* 축전기만 연결된 회로: 전원 장치와 축전기만으로 구성된 회로이다. 축전기의 전압과 전기 용량에 따라 축전기에 저장되는 전하량이 결정된다.
* RC 회로 (저항-축전기 회로): 저항과 축전기가 직렬로 연결된 회로이다. 키르히호프의 정리를 이용하여 회로의 동작을 분석할 수 있다. 실제 축전기는 이론적인 최대 전하량만큼 전하를 저장할 수 없다.
* RL 회로 (저항-코일 회로): 저항과 코일이 직렬로 연결된 회로이다. 코일의 유도 기전력에 의한 전압 강하를 고려하여 키르히호프의 정리를 적용하여 해석한다.

4.1. 저항만 연결된 회로

전원 장치와 저항만 연결된 직류 회로는 가장 간단한 전기 회로 중 하나이다. 전원 장치의 기전력을 V, 저항값을 R이라 하면, 회로에 흐르는 전류는 옴의 법칙에 따라 다음과 같이 표현된다.
:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}$

4.2. 축전기만 연결된 회로

축전기(콘덴서) 양단에 걸린 전압을 V, 축전기의 전기용량을 C라고 하면 축전기에 저장되는 전하량 Q는 다음과 같이 표현 가능하다.

: Q = CV

4.3. RC 회로 (저항-축전기 회로)

키르히호프의 정리에 의해 전원장치의 기전력 $V$, 저항에서의 전압강하 $V\_R$, 축전기에서의 전압강하 $V\_C$ 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
:$V\; =\; V\_R\; +\; V\_C$
위 식에서
:$V\; =\; IR\; +\; \backslash frac\{Q\}\{C\}$
임을 알 수 있으며,
:$I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}$
이므로 아래와 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.
:$V\; =\; R\backslash frac\{dQ\}\{dt\}\; +\; \backslash frac\{Q\}\{C\}$
위 미분방정식의 해를 구하면
:$Q\; =\; CV(1-e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}(t-t\_i)\})\; +\; Q\_i\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}(t-t\_i)\}$
이다. 이 때, $t\_i$, $Q\_i$는 각각 처음 시각과 그때에 축전기에 들어있던 전하량이다.
처음 시각을 $t\_i\; =0$, 그때 축전기에 들어있던 전하량을 $Q\_i$, 축전기가 가득 충전되었을 때 축전기의 전하량을 $Q\_0$라 하면 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.
:$Q\; =\; Q\_0\; (1-e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\})\; +\; Q\_i\; e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$ ---------- (4)
따라서 시간 t일 때 회로에 흐르는 전류의 량은
:$I\; =\; \backslash frac\{dQ\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{Q\_0-Q\_i\}\{RC\}e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}\; =\; (\backslash frac\{V\}\{R\}\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{RC\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
임을 알 수 있다. 따라서, 저항, 축전기에 걸리는 전압은 각각 다음과 같다.
:$V\_R\; =\; (V\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{C\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
:$V\_C\; =\; V\; -(V\; -\; \backslash frac\{Q\_i\}\{C\})e^\{-\backslash frac\{1\}\{RC\}t\}$
아무리 저항이 작은 물질을 도선으로 사용한다고 하더라도 전원장치에 축전기를 연결한 회로에는 미량의 저항이 존재한다. 따라서 이 회로는 저항과 축전기가 직렬로 연결된 회로라고 생각할 수 있다. 한편 식 (4)는 축전기에 저장되는 전하량을 표현하고 있는데, 이 때, $Q\_0\; >\; Q\_i$이므로 Q는 언제나 $Q\_0$보다 작다. 즉, 실제 축전기는 이론상으로 축전기에 저장될 수 있는 전하량만큼의 전하를 저장할 수는 없다.

4.4. RL 회로 (저항-코일 회로)

코일의 유도 용량이 L이고, 코일에 흐르는 전류가 I일 때, 코일에는 전류가 흐르는 방향으로
:$V\_L\; =\; L\; \backslash frac\{dI\}\{dt\}$
의 유도 기전력이 발생하여 전압 강하를 일으킨다. 따라서 키르히호프의 정리에 의해 아래와 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.
:$V\; =\; V\_R\; +\; V\_L\; =\; IR\; +\; L\; \backslash frac\{dI\}\{dt\}$
위 미분 방정식의 해를 구하면
:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}(t-t\_i)\})\; +\; I\_i\; e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}(t-t\_i)\}$
이고 처음 시간을 0, 이 순간의 전류가 0이었다면
:$I\; =\; \backslash frac\{V\}\{R\}(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\})$
로 식을 정리할 수 있다.
따라서 저항체 양단에 걸리는 전압과 코일에 걸리는 유도 기전력은 다음과 같다.
:$V\_R\; =\; V(1-e^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\})$
:$V\_L\; =\; Ve^\{-\backslash frac\{R\}\{L\}t\}$