캣멀롬 스플라인

1. 개요

캣멀롬 스플라인은 네 개의 제어점과 노트를 사용하여 정의되는 곡선이다. 이 곡선은 주어진 점들을 부드럽게 연결하며, 0에서 1 사이의 알파 값을 통해 다양한 형태를 가질 수 있다. 파이썬으로 구현된 코드 예제를 통해 캣멀롬 스플라인의 사용법을 확인할 수 있다.

2. 정의

점은 $\backslash mathbf\{P\}\_i\; =\; [x\_i\; \backslash quad\; y\_i]^T$와 같이 표현하기로 하자. 네 개의 점 $\backslash mathbf\{P\}\_0,\; \backslash mathbf\{P\}\_1,\; \backslash mathbf\{P\}\_2,\; \backslash mathbf\{P\}\_3$과 노트 $t\_0,\; t\_1,\; t\_2,\; t\_3$으로 정의되는 곡선 일부 C(캣멀롬 스플라인)는 다음과 같이 표현할 수 있다:

:$\backslash mathbf\{C\}\; =\; \backslash frac\{t\_\{2\}-t\}\{t\_\{2\}-t\_1\}\backslash mathbf\{B\}\_1+\backslash frac\{t-t\_1\}\{t\_\{2\}-t\_1\}\backslash mathbf\{B\}\_2$

이는 다음과 같다.

:$\backslash mathbf\{B\}\_1\; =\; \backslash frac\{t\_\{2\}-t\}\{t\_\{2\}-t\_0\}\backslash mathbf\{A\}\_1+\backslash frac\{t-t\_0\}\{t\_\{2\}-t\_0\}\backslash mathbf\{A\}\_2$
:$\backslash mathbf\{B\}\_2\; =\; \backslash frac\{t\_\{3\}-t\}\{t\_\{3\}-t\_1\}\backslash mathbf\{A\}\_2+\backslash frac\{t-t\_1\}\{t\_\{3\}-t\_1\}\backslash mathbf\{A\}\_3$
:$\backslash mathbf\{A\}\_1\; =\; \backslash frac\{t\_\{1\}-t\}\{t\_\{1\}-t\_0\}\backslash mathbf\{P\}\_0+\backslash frac\{t-t\_0\}\{t\_\{1\}-t\_0\}\backslash mathbf\{P\}\_1$
:$\backslash mathbf\{A\}\_2\; =\; \backslash frac\{t\_\{2\}-t\}\{t\_\{2\}-t\_1\}\backslash mathbf\{P\}\_1+\backslash frac\{t-t\_1\}\{t\_\{2\}-t\_1\}\backslash mathbf\{P\}\_2$
:$\backslash mathbf\{A\}\_3\; =\; \backslash frac\{t\_\{3\}-t\}\{t\_\{3\}-t\_2\}\backslash mathbf\{P\}\_2+\backslash frac\{t-t\_2\}\{t\_\{3\}-t\_2\}\backslash mathbf\{P\}\_3$

또한

:$t\_\{i+1\}\; =\; \backslash left[\backslash sqrt\{(x\_\{i+1\}-x\_i)^2+(y\_\{i+1\}-y\_i)^2\}\backslash right]^\{\backslash alpha\}\; +\; t\_i$

노트 매개변수화에서 $\backslash alpha$가 0부터 1 사이의 범위를 가지고 $i\; =\; 0,1,2,3$ 일 때 $t\_0\; =\; 0$이다. 구심적(centripetal) 캣멀롬 스플라인에서 $\backslash alpha$ 값은 $0.5$이다. $\backslash alpha\; =\; 0$일 때, 곡선은 표준(uniform) 캣멀롬 스플라인의 모양을 가진다. $\backslash alpha\; =\; 1$일 때, 코달(chordal) 스플라인의 모양을 가진다.

3. 코드 예제

python
import numpy
import pylab as plt

def CatmullRomSpline(P0, P1, P2, P3, nPoints=100):
"""
P0, P1, P2, P3는 캣멀롬 스플라인을 정의하는 (x, y) 점 쌍이어야 합니다.
nPoints는 이 곡선 세그먼트에 포함할 점의 개수입니다.
"""
# 점들을 numpy 배열로 변환하여 배열 곱셈을 할 수 있도록 합니다.
P0, P1, P2, P3 = map(numpy.array, [P0, P1, P2, P3])

# t0부터 t4까지 계산합니다.
alpha = 0.5
def tj(ti, Pi, Pj):
xi, yi = Pi
xj, yj = Pj
return ( ( (xj-xi)2 + (yj-yi)2 )0.5 )alpha + ti

t0 = 0
t1 = tj(t0, P0, P1)
t2 = tj(t1, P1, P2)
t3 = tj(t2, P2, P3)

# P1과 P2 사이의 점만 계산합니다.
t = numpy.linspace(t1,t2,nPoints)

# P0부터 P3까지의 점들과 곱하여 t의 각 값에 대한 점을 얻을 수 있도록 형태를 변경합니다.
t = t.reshape(len(t),1)

A1 = (t1-t)/(t1-t0)*P0 + (t-t0)/(t1-t0)*P1
A2 = (t2-t)/(t2-t1)*P1 + (t-t1)/(t2-t1)*P2
A3 = (t3-t)/(t3-t2)*P2 + (t-t2)/(t3-t2)*P3

B1 = (t2-t)/(t2-t0)*A1 + (t-t0)/(t2-t0)*A2
B2 = (t3-t)/(t3-t1)*A2 + (t-t1)/(t3-t1)*A3

C = (t2-t)/(t2-t1)*B1 + (t-t1)/(t2-t1)*B2
return C

def CatmullRomChain(P):
"""
일련의 점들에 대한 캣멀롬 스플라인을 계산하고 결합된 곡선을 반환합니다.
"""
sz = len(P)

# 곡선 C는 (x, y) 점들의 배열을 포함합니다.
C = []
for i in range(sz-3):
c = CatmullRomSpline(P[i], P[i+1], P[i+2], P[i+3])
C.extend(c)

return C

# 곡선이 통과할 점들의 집합을 정의합니다.
Points = 0,1.5],[2,2],[3,1],[4,0.5],[5,1],[6,2],[7,3

# 점들을 통과하는 캣멀롬 스플라인을 계산합니다.
c = CatmullRomChain(Points)

# 캣멀롬 곡선 점들을 x와 y 배열로 변환하고 플롯합니다.
x,y = zip(*c)
plt.plot(x,y)

# 제어점을 플롯합니다.
px, py = zip(*Points)
plt.plot(px,py,'or')

plt.show()