포이어바흐 정리
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1. 본문
포이어바흐 정리(Feuerbach's theorem)는 기하학의 정리 중 하나로, 삼각형의 구점원(nine-point circle)이 내접원(incircle) 및 세 개의 방접원(excircles)과 각각 접한다는 내용입니다.
- 구점원: 삼각형의 세 변의 중점, 세 수선의 발, 그리고 수심과 각 꼭짓점을 잇는 선분의 중점, 이렇게 9개의 점을 지나는 원입니다.
- 내접원: 삼각형의 세 변에 모두 접하는 원입니다.
- 방접원: 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접하는 원으로, 삼각형마다 3개가 존재합니다.
포이어바흐 정리는 1822년 독일의 수학자 카를 빌헬름 포이어바흐(Karl Wilhelm Feuerbach)에 의해 처음 발표되었습니다. 구점원과 내접원이 접하는 점을 특별히 포이어바흐 점(Feuerbach point)이라고 부릅니다.
포이어바흐 정리의 증명:포이어바흐 정리는 다양한 방법으로 증명될 수 있습니다.
- 반전 기하학: 반전 기하학을 이용하면 구점원의 반전이 직선이 되고, 내접원과 방접원의 반전은 불변하는 것을 이용하여 증명할 수 있습니다.
- 기하학적 증명: 복잡한 기하학적 구성을 통해 증명할 수도 있습니다.
포이어바흐 정리는 단순하면서도 아름다운 기하학적 성질을 보여주는 예시로, 다양한 심화 기하학 문제나 경시 문제에 활용되기도 합니다.
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