표준정규분포표

1. 개요

표준정규분포표는 평균이 0이고 표준 편차가 1인 표준 정규 분포의 누적 확률 값을 Z-점수를 기준으로 표로 나타낸 것이다. Z-점수는 정규 분포에서 특정 값의 위치를 나타내는 값으로, Z-점수에 해당하는 확률 값은 정규분포 곡선 아래의 면적을 의미한다. 표준정규분포표는 Z-점수의 정수 부분과 소수 첫째 자리를 행으로, 소수 둘째 자리를 열로 구성하여, 각 Z-점수에 해당하는 누적 확률 값을 제공한다. 이러한 표는 통계량이 Z보다 작을 확률을 나타내는 누적 분포, Z보다 클 확률을 나타내는 보완 누적 분포 등 여러 유형으로 활용된다. 표준정규분포표는 시험 점수, 키, 몸무게 등 다양한 데이터의 확률을 계산하는 데 사용된다.

2. 표준정규분포와 Z-점수

정규 분포는 실제 데이터를 설명하는 데 유용한 대칭적이고 종 모양의 분포이다. 표준 정규 분포(표준 정규 분포/standard normal distribution^영어)는 평균이 0이고 표준 편차가 1인 정규 분포를 말하며, 로 표시한다.

만약 가 평균 와 표준 편차 를 갖는 정규 분포로부터의 확률 변수라면, 그 Z-점수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$Z\; =\; \backslash frac\{X\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\; \}$

만약 $\backslash overline\{X\}$가 평균이 이고 표준 편차가 인 어떤 모집단에서 크기 의 표본의 평균이라면, 표준 오차는 $\backslash tfrac\{\backslash sigma\}\{\backslash sqrt\; n\}$이다.

:$Z\; =\; \backslash frac\{\backslash overline\{X\}\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\; /\; \backslash sqrt\; n\}$

만약 $\backslash sum\; X$가 평균이 이고 표준 편차가 인 어떤 모집단에서 크기 의 표본의 총합이라면, 기대되는 총합은 이고 표준 오차는 $\backslash sigma\; \backslash sqrt\; n$이다.

:$Z\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\{X\}\; -\; n\backslash mu\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{n\}\}$

2.1. Z-점수 계산

Z-점수는 X에서 평균 μ를 빼고 표준 편차 σ로 나누어 계산할 수 있다.

:$Z\; =\; \backslash frac\{X\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\; \}$

표본 평균의 경우, 표준 오차는 이다.

:$Z\; =\; \backslash frac\{\backslash overline\{X\}\; -\; \backslash mu\}\{\backslash sigma\; /\; \backslash sqrt\; n\}$

표본 총합의 경우, 기대되는 총합은 이고 표준 오차는 이다.

:$Z\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\{X\}\; -\; n\backslash mu\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{n\}\}$

3. 표준정규분포표

wikitext
z보다 작을 값을 가질 확률에 대한 누적 표준정규분포표는 다음과 같다.

3.1. 표준정규분포표의 구조

표준정규분포표는 행과 열로 구성되며, Z-점수를 기준으로 누적 확률 값을 나타낸다. 행은 Z-점수의 정수 부분과 소수 첫째 자리를, 열은 소수 둘째 자리를 나타낸다. 예를 들어, Z-점수가 0.69인 경우, 행에서 0.6을 찾고 열에서 0.09를 찾아 해당 값을 확인한다. 음수 Z-점수의 경우, 표의 대칭성을 이용하여 양수 값으로 변환 후 찾을 수 있다. 예를 들어, -0.83에 대한 확률은 0.83에 대한 누적 확률을 찾은 후, 0.20327과 같이 보완 연산을 통해 계산할 수 있다.

표 안의 값은 특정 Z-점수까지의 누적 확률을 나타내는데, 이는 정규분포 곡선 아래의 면적을 계산한 것이다.

3.2. 표준정규분포표의 유형

표준정규분포표는 확률을 계산하는 방식에 따라 여러 유형으로 나뉜다.

* 평균으로부터 누적: 통계량이 0(평균)과 Z 사이에 있을 확률을 나타낸다.
* 누적: 통계량이 Z보다 작을 확률을 나타낸다. 이는 Z 아래 분포의 면적과 같다.
* 보완 누적: 통계량이 Z보다 클 확률을 나타낸다. 이는 Z 위의 분포 면적과 같으며, 1에서 Z보다 작을 확률을 빼서 계산한다.

Z값에 따른 확률은 다음 표와 같다.

3.3. 표준정규분포표 읽는 법

표준정규분포표에서 Z-점수에 해당하는 확률 값을 찾기 위해서는, 먼저 행에서 Z-점수의 정수 부분과 소수 첫째 자리를 찾고, 열에서 소수 둘째 자리를 찾는다. 예를 들어, Z-점수가 0.69인 경우, 행에서 0.6을 찾고 열에서 0.09를 찾으면 0.75490(누적확률)이라는 확률 값을 얻을 수 있다. 음수 Z-점수의 경우, 정규분포의 대칭성을 이용하여 양수 Z-점수 표를 활용할 수 있다.

: 0.75 (z값)- 표준정규분포표 0.7의 행에서 +0.05의 열의 값 0.77337을 확인할 수 있다.
: 0 (z값)- 표준정규분포표 0의 행에서 +0.00의 열의 값 0.5를 확인할 수 있다.
따라서 z값 0 ~ 0.75 사이의 영역 값은 0.77337 - 0.5 = 0.27337 을 확인할 수 있다.

표준정규분포표는 Z-점수의 정수 부분과 소수 첫째 자리는 행에서, 소수 둘째 자리는 열에서 찾도록 구성되어 있다. 표 안의 값은 평균(0)에서 해당 Z-점수까지의 확률을 나타낸다. 음수 Z-점수에 대한 확률은 정규분포의 대칭성을 이용하여 구할 수 있다.

4. 표준정규분포표 예시

z보다 작을 값을 가질 확률에 대한 누적 표준정규분포표는 다음과 같다.

이 표는 통계량이 마이너스 무한대와 사이에 있을 확률을 제공한다.

:$f(z)\; =\; \backslash Phi(z)$

이 값은 평균이 0이고 표준 편차가 1인 표준 정규 분포의 누적 분포 함수를 사용하여 계산되며, 일반적으로 대문자 그리스 문자 $\backslash Phi$ (phi)로 표시되며, 적분은 다음과 같다.

:$\backslash Phi(z)\; =\; \backslash frac\; 1\; \{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^z\; e^\{-t^2/2\}\; \backslash ,\; dt$

$\backslash Phi$(z)는 오차 함수, 또는 와 관련이 있다.

: $\backslash Phi(z)\; =\; \backslash frac12\backslash left[1\; +\; \backslash operatorname\{erf\}\backslash left(\; \backslash frac\; z\; \{\backslash sqrt\; 2\}\; \backslash right)\; \backslash right]$

에 대해, ( 간격을 고려하여

5. 표준정규분포의 활용 (응용)

어떤 교수의 시험 점수는 평균 80점, 표준 편차 5점으로 정규 분포를 따른다고 가정한다.

* 학생이 82점 이하를 받을 확률은 다음과 같이 계산된다.
:$$$$
\begin{align}
P(X \le 82) &= P \!\! \left(Z \le \frac{82 - 80}{5}\right) \\
&= P(Z \le 0.40) \\
&= 0.15542 + 0.5 \\
&= 0.65542
\end{align}

* 학생이 90점 이상을 받을 확률은 다음과 같이 계산된다.
:$$$$
\begin{align}
P(X \ge 90) &= P \!\! \left(Z \ge \frac{90 - 80}{5}\right) \\
&= P(Z \ge 2.00) \\
&= 1 - P(Z \le 2.00) \\
&= 1 - (0.47725 + 0.5) \\
&= 0.02275
\end{align}

* 학생이 74점 이하를 받을 확률은 다음과 같이 계산된다. 이 표에는 음수가 포함되어 있지 않으므로, 다음 단계를 추가해야 한다.
:$$$$
\begin{align}
P(X \le 74) &= P \!\! \left(Z \le \frac{74 - 80}{5}\right) \\
&= P(Z \le - 1.20) \\
\qquad \qquad \quad ={} & P(Z \ge 1.20) \\
={} & 1 - (0.38493 + 0.5) \\
={} & 0.11507
\end{align}

* 학생이 74점과 82점 사이의 점수를 받을 확률은 다음과 같이 계산된다.
:$$$$
\begin{align}
P(74 \le X \le 82) &= P(X \le 82) - P(X \le 74) \\
&= 0.65542 - 0.11507 \\
&= 0.54035
\end{align}

* 세 점수의 평균이 82점 이하일 확률은 다음과 같이 계산된다.
:$$$$
\begin{align}
P(X \le 82) &= P\left(Z \le \frac{82 - 80}{5/\sqrt{3}}\right) \\
&= P(Z \le 0.69) \\
&= 0.2549 + 0.5 \\
&= 0.7549
\end{align}