하야시 한계

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1. 개요

하야시 한계는 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 별의 진화 경로를 제한하는 경계선이다. 완전 대류 항성의 모델을 통해 유도되며, 항성의 광도, 온도, 압력 사이의 관계를 분석하여 도출된다. 하야시 한계는 항성이 수축하면서 표면 온도가 일정 수준 이하로 내려가지 못하게 하며, 별의 질량에 따라 위치가 달라진다. 하야시 한계의 왼쪽 영역은 안정적인 영역이고, 오른쪽 영역은 불안정한 영역으로 간주된다.

하야시 한계

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1. 개요
2. 하야시 한계의 유도
3. 하야시 한계를 넘었을 때의 현상

2. 하야시 한계의 유도

완전 대류 항성의 간단한 모델을 바탕으로 광도, 온도, 압력 사이의 관계를 유도하여 하야시 한계를 추론할 수 있다. 이는 대류 항성에서 발생하는 현상에 대한 매우 간략화된 모델이지만, 복잡성이 낮은 완전한 모델과 정성적으로 일치하는 부분이 있다. 키펜한, 바이게르트, 바이스의 유도 방법을 따른다.

정역학적 평형 방정식과 슈테판-볼츠만 법칙을 사용하여 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 하야시 한계에 대한 방정식을 얻을 수 있다. 이러한 예측은 항성의 수치 시뮬레이션으로 뒷받침된다.

2.1. 기본 가정

대류 항성 내부 대부분은 단열 성층화를 가지며, 이상 기체의 단열 팽창을 가정하면 다음과 같다.

: $\frac{\delta ln T}{\delta ln P} = \nabla_{단열} = 0.4$

여기서 P는 압력, T는 온도이다. 이 관계는 항성 내부에서 표면(광구)까지 유지된다고 가정한다. $\nabla_{단열}$ 은 항성 내부 전체에서 0.4로 일정하다고 가정하지만, 이는 실제 거동을 반영한 것이다.

내부에서는 P와 T 사이에 다음과 같은 폴리트로픽 관계를 고려한다.

: $P = C T^{(1+n)}$

여기서 지수 $n = 3/2$ 이다.

위 관계는 광구까지 유지되며, 광구에서는 다음과 같은 간단한 흡수 법칙을 가정한다.

: $\kappa = \kappa_0 P^a T^b$

2.2. 유도 과정

대류 항성의 내부에서는 거의 대부분 단열 성층화가 이루어지며, 다음 식이 성립한다.

: $\frac{\delta \ln T}{\delta \ln P} = \nabla_{단열} = 0.4$

이는 이상 기체의 단열 팽창에 적용되는 식이다. 이 관계는 항성 내부에서 표면(광구)까지 유지된다고 가정하며, $\nabla_{단열}$ 은 항성 내부 전체에서 0.4로 일정하다고 가정한다.

내부에서는 P와 T 사이에 다음과 같은 폴리트로픽 관계를 고려한다.

: $P = C T^{(1+n)}$

여기서 지수 $n = 3/2$ 를 사용한다.

광구에서는 다음과 같은 흡수 법칙을 가정한다.

: $\kappa = \kappa_0 P^a T^b$

정역학적 평형 방정식을 사용하여 반경에 대해 적분하면 다음을 얻는다.

: $P_0 = 상수 * \left(\frac{M}{R^2} T_{eff}^{-b} \right)^{\frac{1}{1+a}}$

내부 해를 위해 $P = P_0$ ; $T = T_{eff}$ 를 P-T 관계에 대입하고 압력을 제거한다. 광도는 슈테판-볼츠만 법칙에 의해 다음과 같이 주어진다.

: $L = 4 \pi R^2 \sigma \, T_{eff}^4$

따라서 R의 모든 값은 헤르츠스프룽-러셀 도표의 특정 지점에 해당한다.

최종적으로, 대수 계산을 거치면 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 하야시 한계에 대한 방정식을 얻는다.

: $\log (T_{eff}) = A \log (L) + B \log (M) + 상수$

계수는 다음과 같다.

: $A = \frac{0.75a - 0.25}{b-5.5a +1.5}$
: $B = \frac{0.5a - 1.5}{b-5.5a +1.5}$

냉각된 수소 이온 지배 대기 불투명도 모델( $T < 5000 K$ )에서 $a \approx 1$ 및 $b \approx 3$ 을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

* 하야시 한계는 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 오른쪽에 멀리 위치해야 하며, 이는 온도가 낮아야 함을 의미한다.
* 하야시 한계는 매우 가파르다. 온도에 대한 광도의 기울기가 커야 한다.
* 하야시 한계는 M이 증가함에 따라 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 약간 왼쪽으로 이동한다.

이러한 예측은 항성의 수치 시뮬레이션으로 뒷받침된다.

2.3. 하야시 한계 방정식

완전 대류 항성의 간단한 모델에서 광도, 온도, 압력 사이의 관계를 통해 하야시 한계를 유도할 수 있다. 비록 대류 항성에서 일어나는 현상에 대한 매우 간략한 모델이지만, 복잡성이 낮은 완전한 모델과 정성적으로 일치하는 부분이 있다.

약간의 대수 계산을 거치면 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 하야시 한계에 대한 방정식을 얻을 수 있다.

$\log (T_eff) = A \log (L) + B \log (M) + 상수$

계수는 다음과 같다.

$A = \frac{0.75a - 0.25}{b-5.5a +1.5}$ ,
$B = \frac{0.5a - 1.5}{b-5.5a +1.5}$

냉각된 수소 이온 지배 대기 불투명도 모델( $T <$ 5,000,000)에서 $a \approx 1$ 및 $b \approx 3$ 을 대입하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

* 하야시 한계는 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 오른쪽에 멀리 위치해야 하며, 이는 온도가 낮아야 함을 의미한다.
* 하야시 한계는 매우 가파르다. 온도에 대한 광도의 기울기가 커야 한다.
* 하야시 한계는 M (질량)이 증가함에 따라 헤르츠스프룽-러셀 도표에서 약간 왼쪽으로 이동한다.

이러한 예측은 항성의 수치 시뮬레이션으로 뒷받침된다.

3. 하야시 한계를 넘었을 때의 현상

하야시 한계의 오른쪽은 대류가 불안정한 영역이다. 이 영역에서는 $\nabla > \nabla_{adiabatic}$ 이다. 별이 형성될 때 내부 깊은 곳에서 $\nabla - \nabla_{adiabatic}>0$ 이 커지면 큰 대류 플럭스가 발생한다. 에너지 대류 플럭스는 $\nabla = \nabla_{adiabatic}$ 이 될 때까지 내부를 빠르게 냉각시키고, 별은 하야시 한계로 이동한다. 이는 열적 시간 척도와 관련된 유체역학적 조정보다 더 빠른, 짧은 시간 척도 내에서 발생한다.

3.1. 하야시 한계 왼쪽 영역

하야시 한계의 왼쪽에서는 ∇ < ∇(adiabatic)이며 모델의 일부가 복사성이다. 모델은 하야시 한계에서 ∇ = ∇(adiabatic)으로 완전히 대류적이다.

3.2. 하야시 한계

하야시 한계의 왼쪽에서는 $\nabla < \nabla_\text{adiabatic}$ 이며 모델의 일부가 복사성이다. 모델은 하야시 한계에서 $\nabla = \nabla_\text{adiabatic}$ 으로 완전히 대류적이다. 하야시 한계의 오른쪽에 있는 모델은 $\nabla > \nabla_\text{adiabatic}$ 을 가져야 한다.

별이 형성될 때 내부 깊은 영역에서 $\nabla - \nabla_\text{adiabatic} > 0$ 이 커지면, 속도 $v_\text{convective} \approx (\nabla - \nabla_\text{adiabatic}) / 2$ 을 가진 큰 대류 플럭스가 발생한다. 에너지의 대류 플럭스는 $\nabla = \nabla_\text{adiabatic}$ 이 될 때까지 내부를 빠르게 냉각시키고, 별은 하야시 한계로 이동한다. 실제로, 혼합 길이 모형으로부터 작은 초과분조차도 대류 플럭스를 통해 내부 깊숙한 곳에서 표면으로 에너지를 전달할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 이는 별의 비평형 과정, 예를 들어 열적 시간 척도와 관련된 유체역학적 조정보다 여전히 큰 대류의 조정을 위한 짧은 시간 척도 내에서 발생할 것이다. 따라서, 주어진 질량(M)과 조성을 가진 별이 정역학적 평형 상태에 있으며, 완전히 조정된 대류를 가질 때, "허용된" 안정 영역(왼쪽)과 "금지된" 불안정 영역(오른쪽) 사이의 한계가 하야시 한계이다.

3.3. 하야시 한계 오른쪽 영역

하야시 한계의 오른쪽 영역에서는 $\nabla > \nabla_{adiabatic}$ 이다.

별이 형성될 때 내부 깊은 영역에서 $\nabla - \nabla_{adiabatic}>0$ 이 커지면, $v_{convective} \approx (\nabla - \nabla_{adiabatic}) /2$ 의 속도를 가진 큰 대류 플럭스가 발생한다. 에너지의 대류 플럭스는 $\nabla = \nabla_{adiabatic}$ 이 될 때까지 내부를 빠르게 냉각시키고, 별은 하야시 한계로 이동한다. 실제로, 혼합 길이 모형에서 작은 초과분조차도 대류 플럭스를 통해 내부 깊숙한 곳에서 표면으로 에너지를 전달할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다. 이는 별의 비평형 과정, 예를 들어 열적 시간 척도와 관련된 유체역학적 조정보다 여전히 큰 대류의 조정을 위한 짧은 시간 척도 내에서 발생한다. 따라서, 주어진 질량(M)과 조성을 가진 별이 정역학적 평형 상태에 있고, 완전히 조정된 대류를 가질 때, "허용된" 안정 영역(왼쪽)과 "금지된" 불안정 영역(오른쪽) 사이의 한계가 하야시 한계이다.