회전체

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1. 개요
2. 회전체의 부피
- 2.1. 원반 적분법 (Disc Method)
  - 2.1.1. x축 중심 회전
- 2.2. 껍질 적분법 (Shell Method)
3. 회전체의 겉넓이
- 3.1. 매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 회전체
  - 3.1.1. x축 중심 회전
  - 3.1.2. y축 중심 회전
- 3.2. 극좌표 형식으로 표현된 곡선의 회전체
  - 3.2.1. x축 중심 회전
  - 3.2.2. y축 중심 회전
4. 극좌표 형식으로 표현된 곡선의 회전체의 부피
참조

1. 개요

회전체는 평면 도형을 한 직선을 축으로 회전시켜 얻는 입체를 의미한다. 회전체의 부피는 원반 적분법과 껍질 적분법을 통해 구할 수 있으며, 겉넓이는 곡선의 회전체에 대한 공식을 이용하여 계산한다. 회전체의 부피와 겉넓이를 계산하기 위한 공식들은 x축 및 y축 중심 회전, 매개변수 방정식, 극좌표 형식 등 다양한 경우에 대해 제시된다.

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회전체
개요
종류	3차원 도형
정의	평면 도형을 회전축을 중심으로 회전시켜 얻는 입체 도형
영어	Solid of revolution
일본어	回転体 (kaitentai)
공식
부피	πr²w (πr²w)
무게 중심	평면 도형의 중심궤적

2. 회전체의 부피

회전체의 부피를 구하는 방법은 크게 원반 적분법과 껍질 적분법(원통 껍질 방법) 두 가지가 있다.

함수 $y=f(x)$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속일 때, $x$ 축에 대하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V=\pi \int_{a}^{b} {f(x)^2 dx}

함수 $x=g(y)$ 가 닫힌구간 $[c,d]$ 에서 연속일 때, $y$ 축에 대하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V=\pi \int_{c}^{d} {g(y)^2 dy}

함수 $y=f(x)$ 가 닫힌구간 $[a,b]$ 에서 연속일 때, $y$ 축에 대하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V=2\pi \int_{a}^{b} {xf(x)dx}

2. 1. 원반 적분법 (Disc Method)

원반 적분법은 회전축에 수직인 단면으로 회전체를 잘라, 그 단면들의 부피를 합하여 전체 부피를 구하는 방법이다.^[1] 이 방법은 회전축에 평행하게 적분할 때 사용된다.^[2]

y축을 중심으로 회전하는 경우, 와 곡선 사이의 영역과 와 선으로 둘러싸인 입체의 부피는 다음과 같이 주어진다.

:

V = \pi \int_a^b \left| f(y)^2 - g(y)^2\right|\,dy\, .

만약 이면 (예: 곡선과 y축 사이의 영역을 회전시키는 경우), 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

:

V = \pi \int_a^b f(y)^2 \,dy\, .

이 방법은 y에서 f(y)가 위에 있고 g(y)가 아래에 있는 얇은 수평 사각형을 y축을 중심으로 회전시켜 시각화할 수 있다. 이는 외부 반경이 f(y)이고 내부 반경이 g(y)인 링(또는 g(y) = 0인 경우 원반)을 형성한다. 각 무한소 원반의 부피는 이며, a와 b 사이의 원반 부피에 대한 리만 합의 극한은 적분 (1)이 된다.^[3]

2. 1. 1. x축 중심 회전

함수

y=f(x)

가 닫힌구간

[a,b]

에서 연속일 때,

x

축에 대하여 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같이 주어진다.

:

V = \pi \int_a^b |f(x)^2 - g(x)^2|\,dx

만약

g(x) = 0

이라면, 즉 회전하는 영역이 x축과 함수

f(x)

사이의 영역이라면, 위 식은 다음과 같이 간단해진다.

:

V = \pi \int_a^b f(x)^2 \,dx

이 방법은

y

에서 바깥쪽에

f(y)

, 안쪽에

g(y)

인 수평으로 뻗은 얇은 직사각형을

x

축 주위로 회전시켜 시각화할 수 있다.

2. 2. 껍질 적분법 (Shell Method)

껍질 적분법(원통 껍질 방법)은 회전축에 평행한 원통형 껍질들로 회전체를 분해하여, 그 껍질들의 부피를 합하여 전체 부피를 구하는 방법이다.

원통 분할(연륜법)은 회전체를 회전축과 '''평행'''하게 슬라이스하고 축에 '''수직'''으로 적분한다.

곡선 f(x)|f(x)^영어와 g(x)|g(x)^영어 , 직선 x = a|x = a^영어, x = b|x = b^영어 로 둘러싸인 면적을 y|y^영어-축 주위로 회전시킨 회전체의 부피는 다음과 같이 주어진다.

:

V = 2\pi \int_a^b x\vert f(x) - g(x)\vert\,dx

g(x)|g(x)^영어 0 일 때는 다음과 같이 간략화할 수 있다.

:

V = 2\pi \int_a^b x \vert f(x) \vert \,dx

이 방법을 시각적으로 보려면, x|x^영어 에서 높이 [f(x) - g(x)]|[f(x) - g(x)]^영어 인 세로로 얇게 뻗은 직사각형을 생각하고, 그것을 y|y^영어-축 주위로 회전시켜 원통 껍질을 그리면 된다. 이 원통의 측면적은 2πrh = 2πx[f(x) − g(x)]|2πrh = 2πx[f(x) − g(x)]^영어 이며, 이 모든 측면적을 해당 구간에서 더하면 위와 같이 부피를 얻는다.

3. 회전체의 겉넓이

회전체의 겉넓이는 회전하는 곡선의 길이를 회전축을 따라 적분하여 구한다. 평면 곡선이 $\langle x(t), y(t) \rangle$ 로 주어질 때, x축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면의 데카르트 좌표는 $\mathbf{r}(t, \theta) = \langle y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta), x(t)\rangle$ 로 주어지며, 여기서 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 이다. 그러면 표면 면적은 다음과 같은 면적분으로 주어진다.^[2]

: $A_x = \iint_S dS = \iint_{[a, b] \times [0, 2\pi]} \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt = \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt.$

편미분을 계산하면

: $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \left\langle \frac{dy}{dt} \cos(\theta), \frac{dy}{dt} \sin(\theta), \frac{dx}{dt} \right\rangle,$

: $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left\langle -y \sin(\theta), y \cos(\theta), 0 \right\rangle$

이고, 외적을 계산하면

: $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left\langle y \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, y \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, y \frac{dy}{dt} \right\rangle = y \left\langle \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right\rangle$

이다. 여기서 삼각 항등식 $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ 이 사용되었다. 이 외적을 사용하면,

: $\begin{align}A_x&= \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|y \left\langle y \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, y \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, y \frac{dy}{dt} \right\rangle\right\|\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b \int_0^{2\pi} y \sqrt{\cos^2(\theta)\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \sin^2(\theta)\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b \int_0^{2\pi} y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2}\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b 2\pi y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt\end{align}$

를 얻는다. 여기서 같은 삼각 항등식이 다시 사용되었다. y축을 중심으로 회전시켜 얻은 표면에 대한 유도는 x축의 경우와 유사하다.

3. 1. 매개변수 방정식으로 표현된 곡선의 회전체

일대일함수

y=f(x)

와 함수

y=g(x)

가 미분가능하고,

f'(x), g'(x)

가 닫힌구간

[a,b]

에서 연속일 때, 곡선

x=f(t), y=g(t), a \le t \le b

이면, x축과 y축에 회전시킨 회전체의 겉넓이, 부피, 표면적은 각각 다음과 같이 주어진다.

x축 회전:
겉넓이: $S_x = 2\pi \int_{a}^{b}{\left| g(t) \right| \sqrt{ \{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2 } }dt$
부피: $V_{x} = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, dt$
표면적: $A_{x} = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$
y축 회전:
겉넓이: $S_y = 2\pi \int_{a}^{b} {\left| f(t) \right| \sqrt{ \{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2 } }dt$
부피: $V_{y} = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, dt$
표면적: $A_{y} = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$

특히

f(x)=y

이면,

x축 회전 겉넓이: $S_x = 2\pi \int_{a}^{b} {\left| f(t) \right| \sqrt{ 1 + \{f'(t)\}^2 } }dx$
y축 회전 겉넓이: $S_y = 2\pi \int_{a}^{b} {\left| x \right| \sqrt{ 1 + \{f'(t)\}^2 } }dx$

3. 1. 1. x축 중심 회전

일대일함수 와 함수 가 미분가능하고, 가 닫힌구간 에서 연속일 때, 곡선 이면, 축에 회전시킨 회전체의 겉넓이는 다음과 같다.

:

S_x = 2\pi \int_{a}^{b}{\left| g(t) \right| \sqrt{ \{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2 } }dt

특히 이면

:

S_x = 2\pi \int_{a}^{b} {\left| f(t) \right| \sqrt{ 1 + \{f'(t)\}^2 } }dx

어떤 곡선이 구간 에서 매개변수 형태 로 정의될 때, 곡선을 축을 중심으로 회전시켜 생성된 입체의 부피는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

V_x = \int_a^b \pi y^2 \, \frac{dx}{dt} \, dt \, ,

같은 조건에서, 곡선을 축을 중심으로 회전시켜 생성된 입체의 표면의 면적은 다음과 같이 주어진다.^[2]

:

A_x = \int_a^b 2 \pi y \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \, ,

이는 다변수 적분에서 유도될 수도 있다. 평면 곡선이

\langle x(t), y(t) \rangle

로 주어지면, x축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면의 데카르트 좌표는

\mathbf{r}(t, \theta) = \langle y(t)\cos(\theta), y(t)\sin(\theta), x(t)\rangle

로 주어지며, 여기서

0 \leq \theta \leq 2\pi

이다. 그러면 표면 면적은 다음과 같은 면적분으로 주어진다.

:

A_x = \iint_S dS = \iint_{[a, b] \times [0, 2\pi]} \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt = \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt.

편미분을 계산하면

:

\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \left\langle \frac{dy}{dt} \cos(\theta), \frac{dy}{dt} \sin(\theta), \frac{dx}{dt} \right\rangle,

:

\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left\langle -y \sin(\theta), y \cos(\theta), 0 \right\rangle

이고, 외적을 계산하면

:

\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \left\langle y \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, y \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, y \frac{dy}{dt} \right\rangle = y \left\langle \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right\rangle

여기서 삼각 항등식

\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1

이 사용되었다. 이 외적을 사용하면,

:

\begin{align}A_x&= \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\right\|\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b \int_0^{2\pi} \left\|y \left\langle y \cos(\theta)\frac{dx}{dt}, y \sin(\theta)\frac{dx}{dt}, y \frac{dy}{dt} \right\rangle\right\|\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b \int_0^{2\pi} y \sqrt{\cos^2(\theta)\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \sin^2(\theta)\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b \int_0^{2\pi} y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2}\ d\theta\ dt \\[1ex]&= \int_a^b 2\pi y \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2}\ dt\end{align}

여기서 같은 삼각 항등식이 다시 사용되었다.

곡선이 적절한 구간을 움직이는 매개변수 로 와 같이 매개변수 표시되어 있을 때, 이를 -축 중심으로 회전시켜 생성되는 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V_{x} = \int_a^b \, \pi y^2 \frac{dx}{dt} \, dt

같은 상황에서 회전체의 표면적은 동일한 곡선이 생성하는 회전면의 면적이며, -축 중심으로 회전시켰을 경우 다음과 같다.

:

A_{x} = \int_a^b 2 \pi y \sqrt{ \Bigl( \frac{dx}{dt} \Big)^{\!2}\! + \Bigl( \frac{dy}{dt} \Big)^{\!2}} \; dt

3. 1. 2. y축 중심 회전

일대일함수

y=f(x)

와 함수

y=g(x)

가 미분가능하고,

f'(x), g'(x)

가 닫힌구간

[a,b]

에서 연속일 때, 곡선

x=f(t), y=g(t), a \le t \le b

이면,

y

축에 회전시킨 회전체의 겉넓이는 다음과 같다.

:

S_y = 2\pi \int_{a}^{b} {\left| f(t) \right| \sqrt{ \{f'(t)\}^2 + \{g'(t)\}^2 } }dt

특히

f(x)=y

이면

:

S_y = 2\pi \int_{a}^{b} {\left| x \right| \sqrt{ 1 + \{f'(t)\}^2 } }dx

어떤 곡선이 구간

[a,b]

에서 매개변수 형태

(x(t),y(t))

로 정의될 때, 곡선을

y

축을 중심으로 회전시켜 생성된 입체의 부피는 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

V_y = \int_a^b \pi x^2 \, \frac{dy}{dt} \, dt \, .

같은 조건에서, 곡선을

y

축을 중심으로 회전시켜 생성된 입체의 표면의 면적은 다음과 같이 주어진다.^[2]

:

A_y = \int_a^b 2 \pi x \, \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \, .

y축을 중심으로 회전시켜 얻은 표면에 대한 유도는 x축을 중심으로 회전시켜 얻은 표면의 면적 유도와 유사하다.

곡선이 적절한 구간을 움직이는 매개변수

t \in [a,b]

로

(x(t),y(t))

와 같이 매개변수 표시되어 있을 때, 이를

y

-축을 중심으로 회전시켜 생성되는 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V_{y} = \int_a^b \pi x^2 \frac{dy}{dt} \, dt

같은 상황에서 회전체의 표면적은 동일한 곡선이 생성하는 회전면의 면적이며,

y

-축을 중심으로 회전시켰을 경우 다음과 같다.

:

A_{y} = \int_a^b 2 \pi x \sqrt{ \Bigl( \frac{dx}{dt} \Big)^{\!2}\! + \Bigl( \frac{dy}{dt} \Big)^{\!2}} \; dt

3. 2. 극좌표 형식으로 표현된 곡선의 회전체

\begin{align}A_x &= \int_\alpha^\beta 2 \pi r\sin{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \, , \\A_y &= \int_\alpha^\beta 2 \pi r\cos{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \, ,\end{align}

회전체의 부피를 구하는 식은 하위 섹션에서 확인할 수 있다.

3. 2. 1. x축 중심 회전

V_x = \int_\alpha^\beta \left(\pi r^2\sin^2{\theta} \cos{\theta}\, \frac{dr}{d\theta}-\pi r^3\sin^3{\theta}\right)d\theta\,.

곡선을 x|x^영어축 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 표면적은 다음과 같다.

:

A_x = \int_\alpha^\beta 2 \pi r\sin{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \,.

3. 2. 2. y축 중심 회전

극좌표 곡선

r=f(\theta)

에 대해

\alpha\leq \theta\leq \beta

이고

f(\theta) \geq 0

일 때, 곡선을 y축을 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V_y = \int_\alpha^\beta \left(\pi r^2\sin{\theta} \cos^2{\theta}\, \frac{dr}{d\theta}+\pi r^3\cos^3{\theta}\right)d\theta \, .

곡선을 y축을 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 표면적은 다음과 같다.

:

A_y = \int_\alpha^\beta 2 \pi r\cos{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \, ,

4. 극좌표 형식으로 표현된 곡선의 회전체의 부피

극좌표 곡선 $r=f(\theta)$ 에 대해 $\alpha\leq \theta\leq \beta$ 이고 $f(\theta) \geq 0$ 일 때, 이 곡선을 x축 또는 y축을 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 부피와 표면적을 구할 수 있다. 구체적인 공식은 하위 섹션에서 설명한다.

4. 0. 1. x축 중심 회전

V_x = \int_\alpha^\beta \left(\pi r^2\sin^2{\theta} \cos{\theta}\, \frac{dr}{d\theta}-\pi r^3\sin^3{\theta}\right)d\theta\,.

곡선을 x축 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 표면적은 다음과 같다.

:

A_x = \int_\alpha^\beta 2 \pi r\sin{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \,.

4. 0. 2. y축 중심 회전

극좌표 곡선

r=f(\theta)

에 대해

\alpha\leq \theta\leq \beta

이고

f(\theta) \geq 0

일 때, 곡선을 y축을 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 부피는 다음과 같다.

:

V_y = \int_\alpha^\beta \left(\pi r^2\sin{\theta} \cos^2{\theta}\, \frac{dr}{d\theta}+\pi r^3\cos^3{\theta}\right)d\theta \, .

y축을 중심으로 회전시켜 생성된 회전체의 표면적은 다음과 같다.

:

A_y = \int_\alpha^\beta 2 \pi r\cos{\theta} \, \sqrt{ r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} \, d\theta \, .

참조

_[1] 서적 Application Of Integral Calculus https://books.google[...] Discovery Publishing House
_[2] 서적 Engineering Mathematics https://books.google[...] Tata McGraw-Hill
_[3] 서적 Application Of Integral Calculus https://books.google[...] Discovery Publishing House
_[4] 서적 Engineering Mathematics https://books.google[...] Tata McGraw-Hill
_[5] 문서 22정적분과 부피 P6

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