72의 법칙

1. 개요

72의 법칙은 복리 이자율을 통해 원금이 두 배로 증가하는 데 걸리는 시간을 근사하는 데 사용되는 방법이다. 이 법칙은 이자율을 72로 나누어 계산하며, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12와 같은 작은 약수를 많이 가지고 있어 사용하기 편리하다. 72의 법칙은 연간 복리에 대해 6%에서 10% 사이의 일반적인 이율 범위에서 효과적이지만, 이자율이 높아질수록 정확도는 떨어진다. 72의 법칙 외에도 69의 법칙, 70의 법칙, E-M 규칙 등 정확도를 높이기 위한 다양한 조정 방법이 존재하며, 1494년 루카 파치올리의 저서에서 처음 언급되었다.

2. 법칙의 선택

72의 법칙은 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12와 같이 많은 약수를 가지고 있어 이용하기 편리한 분자로 간주된다. 72는 일반적인 이율(6%에서 10%)의 복리에 대해 좋은 근사치를 제공하지만, 이자율이 높아질수록 정확도는 떨어진다.

ln(2)는 약 69.3%이므로 연속 복리의 경우 69가 어떤 이율에도 정확한 결과를 제공한다. 일일 복리는 연속 복리에 충분히 가까우므로, 대부분의 경우 69, 69.3 또는 70이 72보다 낫다. 낮은 연간 이율의 경우에도 69.3이 72보다 더 정확하다.

다음 표는 다양한 이율에 대해 원금을 두 배로 늘리는 데 걸리는 실제 기간과 72의 법칙, 70의 법칙, 69.3의 법칙을 비교한 것이다.

* 참고: 각 행에서 더 간단한 규칙 중 가장 정확한 값은 굵은 글씨체로 표시되어 있다.

3. 역사

루카 파치올리가 1494년에 저술한 산술 요약(Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità)에 72의 법칙에 대한 초기 언급이 있다. 파치올리는 투자의 복리 기간 추정에 대한 논의에서 이 규칙을 제시했지만, 규칙을 유도하거나 설명하지 않았다. 따라서 이 규칙은 파치올리 이전부터 알려져 있었던 것으로 추정된다. 파치올리는 그의 저서에서 다음과 같이 72의 법칙을 언급했다.

72의 법칙은 다음 식으로 나타낼 수 있다.

: 연 이율 (%) × 연수 = 72

이 식에서 연 이율(%)에 복리에서의 연 이율을 대입하면 원금이 2배가 되는 데 필요한 연수를 구할 수 있다. 반대로 연수에 운용 연수를 대입하면 원금이 2배가 되는 데 필요한 연 이율을 구할 수 있다. 이 식은 연 이율(%)이 8% 부근에서 오차가 가장 작다.

72가 선택된 이유는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 등 작은 약수를 많이 가지고 있어 계산이 편리하기 때문이다. 또한, 2의 자연 로그 값인 0.693147...에 100을 곱한 값(69.3147...)과 가깝다는 점도 작용했다.

몇몇 연수에 대해 72의 법칙을 적용한 결과는 다음과 같다.

72의 법칙은 알베르트 아인슈타인이 발견했다는 설이 있지만, 이는 사실이 아니다. 15세기 이탈리아에서 이미 알려져 있었다.

4. 정확도 향상을 위한 조정

72의 법칙은 이자율이 6%에서 10% 사이일 때 가장 정확하지만, 이 범위를 벗어나면 오차가 커진다. 이러한 오차를 줄이기 위해 다음과 같은 조정 방법을 사용할 수 있다.

* 8% 규칙 변형: 8%에서 이자율이 3%포인트 변동할 때마다 72에서 1을 더하거나 빼는 방법이다. 예를 들어, 이자율이 11%라면 72 + 1 = 73을, 5%라면 72 - 1 = 71을 분자로 사용한다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{72\; +\; (r\; -\; 8)/3\}\{r\}$

* 2% 규칙 변형: 2% 규칙은 8% 규칙과 유사하지만, 기준점을 2%로 잡는다는 차이가 있다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{70\; +\; (r\; -\; 2)/3\}\{r\}$

이 두 방정식은 모두 다음과 같이 단순화할 수 있다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{208\}\{3r\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}$

여기서 $\backslash frac\{208\}\{3\}$은 69.3에 매우 가깝다.

72의 법칙은 다음과 같이 표현할 수도 있다.

: 연 이율 (%) × 연수 = 72

이 식에서 연 이율에 복리 이자율을 대입하면 원금이 두 배가 되는 데 걸리는 기간을, 운용 기간을 대입하면 원금이 두 배가 되는 데 필요한 연 이율을 구할 수 있다.

다음 표는 몇몇 연수에 대해 72의 법칙을 적용하여 계산한 결과와 실제 연 이율을 비교한 것이다.

72의 법칙이 성립하는 이유는 2의 자연 로그가 0.693147... 이고, 여기에 100을 곱한 값(69.3147...)과 가까운 72가 약수를 많이 가지고 있기 때문이다. 72의 법칙은 다음과 같은 단계를 거쳐 유도된다.

1. 원금 가 두 배가 되는 연 이율 과 연수 의 관계식:

:

2. 양변을 로 나누고 자연 로그를 취함:

:

3. 테일러 전개를 통해 로 근사:

:

4.1. E-M 규칙

72라는 값은 분자로 사용하기에 편리한데, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12와 같이 작은 약수를 많이 가지고 있기 때문이다. 연간 복리에 대해서는 좋은 근사치를 제공하며, 일반적인 이율(6%에서 10%)의 복리에 대해서도 좋은 근사치를 제공한다. 하지만 이자율이 높을수록 근사치는 정확도가 떨어진다.

ln(2)가 약 69.3%이므로 연속 복리의 경우, 69는 어떤 이율에도 정확한 결과를 제공한다. 일일 복리가 연속 복리에 충분히 가까우므로, 대부분의 경우 69, 69.3 또는 70이 일일 복리에서는 72보다 낫다. 연간 이율보다 낮은 경우, 69.3도 72보다 더 정확할 것이다.

다음은 다양한 이율에 따른 72 법칙, 70 법칙, 69.3 법칙, 72 조정, E-M 규칙의 정확도를 비교한 표이다.

각 행에서 가장 정확한 값은 이탤릭체로, 더 간단한 규칙 중 가장 정확한 값은 굵은 글씨체로 표시되어 있다.

에카르트-맥헤일 2차 규칙(E-M 규칙)은 69.3의 법칙에 대한 곱셈 보정을 제공하며, 0%에서 20%까지의 이자율에 대해 매우 정확하다. 반면, 69.3의 법칙은 일반적으로 0%에서 약 5% 사이의 낮은 이자율 범위에서만 정확하다.

E-M 근사값을 계산하려면 69.3의 법칙 결과에 $\backslash frac\{200\}\{200-r\}$을 곱한다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{69.3\}\{r\}\; \backslash times\; \backslash frac\{200\}\{200-r\}$.

예를 들어, 이자율이 18%인 경우, 69.3의 법칙은 t = 3.85년을 제공하며, E-M 규칙은 $\backslash frac\{200\}\{182\}$ (즉, 200 / (200−18))를 곱하여 4.23년의 배가 기간을 얻는다. 이 이자율에서의 실제 배가 기간이 4.19년이므로, E-M 규칙은 72의 법칙보다 더 가까운 근사값을 제공한다.

70 또는 72의 법칙에 대한 유사한 보정을 얻으려면 분자 중 하나를 설정하고 다른 분자를 조정하여 곱이 대략 동일하게 유지되도록 할 수 있다. 따라서 E-M 규칙은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{70\}\{r\}\; \backslash times\; \backslash frac\{198\}\{200-r\}$ 또는 $t\; \backslash approx\; \backslash frac\{72\}\{r\}\; \backslash times\; \backslash frac\{192\}\{200-r\}$

5. 응용

72의 법칙은 사용하기 편리한데, 72는 작은 수(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12)로 나누어떨어지기 때문이다.

원금을 두 배로 늘리는 데 필요한 기간을 추정하려면, 예상 성장률(백분율)로 "규칙 수량"을 나눈다.

예를 들어, 연간 9%의 복리 이자율로 100달러를 투자하면, 72의 법칙에 따라 72/9 = 8년 후에 투자가 200달러가 된다. 정확한 계산으로는 ln(2)/ln(1+0.09) = 8.0432년이다.

마찬가지로, 돈의 가치가 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간을 알려면, 규칙 수량을 해당 비율로 나눈다.

* 화폐의 구매력이 절반으로 줄어드는 시간을 계산하기 위해, 금융 전문가들은 규칙 수량을 인플레이션율로 나눈다. 예를 들어, 3.5%의 인플레이션에서 70의 법칙을 사용하면 돈의 가치가 절반으로 줄어드는 데 약 70/3.5 = 20년이 걸린다.
* 금융 정책(예: 뮤추얼 펀드 수수료 및 비용, 변액 유니버설 생명 보험 투자 포트폴리오의 수수료 및 경비)의 추가 수수료 영향을 추정하려면 72를 수수료로 나눈다. 예를 들어, 유니버설 생명 보험 정책이 기본 투자 펀드 비용 외에 연간 3%의 수수료를 부과하면, 총 계정 가치는 72 / 3 = 24년 안에 50%로 감소하고, 48년 안에 25%로 감소한다. 이는 동일한 투자를 정책 외부에 보유하는 경우와 비교된다.

에카르트-맥헤일 2차 규칙(E-M 규칙)은 0%에서 20% 사이의 이자율에 대해 매우 정확한 69.3의 법칙에 대한 곱셈 보정을 제공한다. 69.3의 법칙은 일반적으로 0%에서 약 5% 사이의 낮은 이자율 범위에서만 정확하다.

E-M 근사값을 계산하려면 69.3의 법칙 결과에 200/(200−r)을 곱한다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{69.3\}\{r\}\; \backslash times\; \backslash frac\{200\}\{200-r\}$.

예를 들어, 이자율이 18%인 경우, 69.3의 법칙은 t = 3.85년을 제시하고, E-M 규칙은 $\backslash frac\{200\}\{182\}$ (즉, 200 / (200−18))를 곱하여 4.23년의 배가 기간을 얻는다. 이 이자율에서 실제 배가 기간은 4.19년이므로 E-M 규칙은 72의 법칙보다 더 가깝다.

70 또는 72의 법칙에 대한 유사한 보정을 얻으려면, 분자 중 하나를 설정하고 다른 하나를 조정하여 곱이 거의 동일하게 유지되도록 한다. 따라서 E-M 규칙은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$t\; \backslash approx\; \backslash frac\{70\}\{r\}\; \backslash times\; \backslash frac\{198\}\{200-r\}$ 또는 $t\; \backslash approx\; \backslash frac\{72\}\{r\}\; \backslash times\; \backslash frac\{192\}\{200-r\}$

이러한 변형에서 곱셈 보정은 각각 r=2 및 r=8에 대해 1이 되는데, 이는 70 및 72의 법칙이 가장 정확한 값이기 때문이다.

72의 법칙은 다음 식으로 나타낼 수 있다.
: 연 이율 (%) × 연수 = 72

위 식의 "연 이율 (%)"에 복리에서의 연 이율을 대입하면 원금이 2배가 되는 데 필요한 연수를 구할 수 있다. 반대로 "연수"에 운용 연수를 대입하면 원금이 2배가 되는 데 필요한 연 이율을 구할 수 있다. 위 식은 연 이율 (%)이 8% 부근에서 오차가 가장 작다.

원금 A가 2배가 되는 연 이율 r과 연수 n은 다음 식의 관계가 있다.

:

양변을 A로 나눈 후 양변의 자연 로그를 취하면,

:

테일러 전개에 의해 ln(1+r) ≈ r로 근사할 수 있으므로,

:

72의 법칙이 성립하는 이유는 2의 자연 로그가 0.693147... 이므로 100 ln 2 = 69.3147...라는 데 있다. 72는 이 값과 가깝고 약수가 많기 때문에 채택되었다.

6. 유도

72의 법칙은 이자율을 통해 자산이 두 배로 증가하는 데 걸리는 시간을 어림잡는 방법이다. 72는 약수가 많아(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 등) 계산이 편리하다.

정기 복리에서 미래 가치(FV)는 현재 가치(PV), 기간(t), 기간당 이자율(r)을 사용하여 다음과 같이 계산된다.

:$FV\; =\; PV\; \backslash cdot\; (1+r)^t$

미래 가치가 현재 가치의 두 배가 되려면, $FV\; =\; PV\; \backslash cdot\; 2$, 즉 $(1+r)^t\; =\; 2\backslash ,$ 가 되어야 한다. 이 식은 $t$에 대해 다음과 같이 풀 수 있다.

:$$
\begin{align}
\ln((1+r)^t) & = \ln 2 \\
t\ln(1+r) & = \ln 2 \\
t & = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}
\end{align}


이를 정리하면,

:$$
\frac{\ln{2}}{\ln{(1+r)}}=\bigg(\frac{\ln2}{r}\bigg)\bigg(\frac{r}{\ln(1+r)}\bigg)


r이 작을 때, 테일러 급수의 첫 번째 항에 의해 ln(1 + r)은 r에 근사한다. 즉, $r$이 0에 가까울수록 $\backslash frac\{r\}\{\backslash ln(1+r)\}$는 천천히 증가한다.

$f(r)=\backslash frac\{r\}\{\backslash ln(1+r)\}$라고 하면, $f(r)$은 $r=.08$일 때 $t$의 근사에서 정확하다. $f(.08)\backslash approx1.03949$이므로, 시간 $t$는 다음과 같이 근사된다.

:$$
t=\bigg(\frac{\ln2}{r}\bigg)f(.08) \approx \frac{.72}{r}


백분율로 작성하면,

:$$
\frac{.72}{r}=\frac{72}{100r}


이 근사는 이자 복리가 연속적일수록 정확도가 높아진다. 여기서 $100\; r$은 $r$을 백분율로 표시한 것이다.

72의 법칙은 '연 이율(%) × 연수 = 72'의 관계를 이용한다. 이 식에 연 이율을 대입하면 원금이 두 배가 되는 데 필요한 연수를, 연수를 대입하면 원금이 두 배가 되는 데 필요한 연 이율을 구할 수 있다. 이 법칙은 연 이율이 8% 부근일 때 오차가 가장 작다.

72의 법칙은 2의 자연 로그 값이 약 0.693147...이라는 사실에 기반한다. 72는 이 값과 가깝고, 약수가 많아 계산이 편리하여 채택되었다.

6.1. 주기적 복리

72의 법칙은 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12와 같이 약수가 많아 이용하기 편리하다.

정기 복리에서 미래 가치는 다음과 같다.

:$FV\; =\; PV\; \backslash cdot\; (1+r)^t$

여기서 $PV$는 현재 가치, $t$는 기간, $r$은 기간당 이자율이다.

미래 가치가 현재 가치의 두 배가 되는 조건은 다음과 같다.

:$FV\; =\; PV\; \backslash cdot\; 2$

이는 다음을 의미한다.

:$(1+r)^t\; =\; 2\backslash ,$

이 방정식은 $t$에 대해 다음과 같이 풀 수 있다.

:$$
\begin{align}
\ln((1+r)^t) & = \ln 2 \\
t\ln(1+r) & = \ln 2 \\
t & = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}
\end{align}


간단히 정리하면 다음을 얻는다.

:$$
\frac{\ln{2}}{\ln{(1+r)}}=\bigg(\frac{\ln2}{r}\bigg)\bigg(\frac{r}{\ln(1+r)}\bigg)


r이 작으면 ln(1 + r)은 테일러 급수의 첫 번째 항에 의해 r과 거의 같다. 즉, $r$이 0에 가까워질수록 뒤의 항은 천천히 증가한다.

뒤의 항을 $f(r)=\backslash frac\{r\}\{\backslash ln(1+r)\}$이라 하면, 함수 $f(r)$은 $r=.08$에서 $t$를 근사할 때 정확하다. $f(.08)\backslash approx1.03949$이므로, 시간 $t$는 다음과 같이 근사한다.

:$$
t=\bigg(\frac{\ln2}{r}\bigg)f(.08) \approx \frac{.72}{r}


백분율로 나타내면 다음과 같다.

:$$
\frac{.72}{r}=\frac{72}{100r}


이 근사는 이자 복리가 연속적일수록 더 정확하다. $100\; r$은 $r$을 백분율로 나타낸 것이다.

더 정확한 조정을 유도하기 위해, $\backslash ln(1+r)\backslash ,$은 테일러 급수의 두 번째 항을 사용하여 $r\; -\; \backslash frac\{r^2\}\{2\}$에 더 가깝게 근사할 수 있다. 그러면 $\backslash frac\{0.693\}\{r\; -\; r^2/2\}$는 테일러 근사를 통해 다음과 같이 단순화된다.

:$$
\begin{align}
\frac{0.693}{r - r^2/2} & = \frac{69.3}{R - R^2/200} \\ & \\
& = \frac{69.3}{R} \frac{1}{1-R/200} \\ & & \\
& \approx \frac{69.3 (1+R/200)}{R} \\ & & \\
& = \frac{69.3}{R}+\frac{69.3}{200} \\ & & \\
& = \frac{69.3}{R}+0.3465.
\end{align}


세 번째 줄의 R/200에서 R을 7.79로 대체하면 분자가 72가 되어, 72의 법칙이 약 8% 주변의 정기 복리 이자에 가장 정확함을 알 수 있다. R/200에서 R을 2.02로 대체하면 분자가 70이 되어, 70의 법칙이 약 2% 주변의 정기 복리 이자에 가장 정확함을 알 수 있다.

2차 테일러 근사를 직접 사용하면 E-M 규칙을 얻을 수 있다.

6.2. 연속 복리

연속 복리의 경우, 유도는 더 간단하며 더 정확한 규칙을 제공한다.

:$$
\begin{align}
(e^r)^p & = 2 \\
e^{rp} & = 2 \\
\ln e^{rp} & = \ln 2 \\
rp & = \ln 2 \\
p & = \frac{\ln 2}{r} \\
p & \approx \frac{0.693147}{r}
\end{align}


72의 법칙은 다음 식으로 나타낸다.

: 연 이율 (%) × 연수 = 72

위 식의 "연 이율 (%)"에 복리에서의 연 이율을 대입하면 원금이 2배가 되는데 필요한 연수를 구할 수 있다. 반대로 "연수"에 운용 연수를 대입하면 원금이 2배가 되는데 필요한 연 이율을 구할 수 있다. 위 식은 연 이율 (%)이 8% 부근에서 오차가 가장 작다.

원금 가 2배가 되는 연 이율 과 연수 은 다음 식의 관계에 있다.

:

양변을 로 나눈 후 양변의 자연 로그를 취하면,

:

테일러 전개에 의해 로 근사할 수 있으므로,

:

72의 법칙이 성립하는 것은, 2의 자연 로그가 0.693147... 이므로 라는 데 있다. 이 값과 가까운 72가 약수가 많다는 이유로 채택되었다.

몇몇 연수에 대해 계산한 결과를 오른쪽 표에 나타낸다.