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PSPACE-완전

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목차

1. 개요

PSPACE-완전은 다항식 공간을 사용하여 해결할 수 있고 PSPACE의 모든 문제를 다항 시간 내에 변환할 수 있는 문제들을 의미한다. PSPACE-완전 문제는 P, NP와 같은 다른 복잡도 클래스 외부에 있을 것으로 예상되지만 아직 알려진 바는 없다. PSPACE-완전 문제의 예시로는 정규 표현식이 모든 문자열을 생성하는지 여부를 결정하는 문제, 수량화된 부울식 문제(QBF), 퍼즐 및 게임 등이 있다.

2. 이론

PSPACE-완전 문제는 다항식 양의 메모리를 사용하여 해결할 수 있고(PSPACE에 속함), PSPACE의 모든 문제를 주어진 문제의 동등한 인스턴스로 다항 시간 내에 변환할 수 있는 문제로 정의된다.

PSPACE-완전 문제는 P (다항 시간) 및 NP (비결정적 다항 시간) 외부에 있을 것으로 널리 알려져 있지만, 아직 확실하게 밝혀진 바는 없다. NC의 문제는 입력 크기의 로그에 다항식 양의 공간으로 해결할 수 있으며, 이처럼 적은 양의 공간으로 해결 가능한 문제 클래스는 공간 계층 정리에 의해 PSPACE에 엄격하게 포함된다.

PSPACE-완전 집합에 대한 버먼-하트마니스 추측은 모든 집합이 서로 다항 시간 전단사에 의해 변환될 수 있다는 점에서 모두 동일하게 보인다는 내용을 담고 있다.

2. 1. 환원

PSPACE-완전성을 정의할 때 일반적으로 고려되는 변환은 다항 시간 다대일 환원이다. 다대일 환원은 한 유형의 문제의 단일 인스턴스를 다른 유형의 문제의 동등한 단일 인스턴스로 변환한다. 그러나 튜링 환원을 사용하여 완전성을 정의하는 것도 가능하다. 튜링 환원은 한 문제를 다른 문제의 서브루틴에 대한 다항식 횟수의 호출로 해결할 수 있다. 이 두 가지 유형의 환원이 서로 다른 클래스의 PSPACE-완전 문제를 유발하는지는 알려져 있지 않다. 변환된 입력의 길이를 항상 증가시키는 다대일 환원과 같은 다른 유형의 환원도 고려되었다.

3. 예시

PSPACE-완전 문제의 예시는 다음과 같다:


  • 형식 언어: 주어진 정규 표현식이 해당 알파벳의 모든 문자열을 생성하는지 여부를 결정하는 문제는 PSPACE-완전이다. 결정적 계산 문맥 의존 문법에 대한 단어 문제도 PSPACE-완전 문제에 해당한다.
  • 논리: 수량화된 부울식 문제는 PSPACE-완전 문제의 표준적인 예시이며, 다른 PSPACE-완전성 증명에 많이 사용된다.
  • 재구성: 조합 문제 해의 상태 공간 연결성에 관한 문제인 재구성 문제도 PSPACE-완전의 예시이다. 예를 들어 그래프의 두 가지 4-채색이 한 번에 하나의 정점 색상을 변경하여 서로 연결될 수 있는지 테스트하는 문제는 PSPACE-완전이다.
  • 퍼즐과 게임: 두 명의 플레이어가 하는 조합 게임에서 승패를 결정하는 문제나, 러시 아워, 마작 같은 단일 플레이어 퍼즐도 PSPACE-완전이 될 수 있다. 헥스와 리버시는 (n \times n 보드에서 플레이할 수 있도록 일반화되었을 때) PSPACE-완전인 게임의 예시이다.

3. 1. 형식 언어

주어진 정규 표현식 R이 해당 알파벳의 모든 문자열을 생성하는지 여부를 결정하는 문제는 PSPACE-완전이다.

가장 먼저 알려진 PSPACE-완전 문제는 결정적 계산 문맥 의존 문법에 대한 단어 문제였다. 문맥 의존 문법의 단어 문제에서, 문장의 길이를 늘릴 수 있지만 줄일 수는 없는 문법적 변환 집합이 주어지며, 주어진 문장이 이러한 변환을 통해 생성될 수 있는지 여부를 결정하고자 한다. "결정성"이라는 기술적 조건(대략 각 변환이 사용되었음을 명백히 암시)은 이 과정이 다항 공간 내에서 해결될 수 있도록 보장하며, 구로다(Kuroda)는 1964년에 선형 공간에서 계산 가능한 모든 (가능성은 비결정적인) 프로그램을 결정성을 유지하는 방식으로 문맥 의존 문법의 파싱으로 변환할 수 있음을 보였다. 1970년에, 새비치 정리는 PSPACE가 비결정성에 닫혀 있음을 보여주었고, 이는 비결정적 문맥 의존 문법조차도 PSPACE에 속함을 의미한다.

3. 2. 논리

수량화된 부울식 문제는 PSPACE-완전 문제의 표준으로, 다른 많은 PSPACE-완전성 결과에 사용된다. 수량화된 부울식 문제는 부울 만족 가능성 문제의 일반화이다. 모든 변수가 전칭 또는 존재적으로 수량화된 부울 표현식을 입력으로 받는다. 예를 들어:

:\exists x_1 \, \forall x_2 \, \exists x_3 \, \forall x_4: (x_1 \lor \neg x_3 \lor x_4) \land (\neg x_2 \lor x_3 \lor \neg x_4).

문제의 출력은 수량화된 표현식의 값이다. 이 값을 찾는 것은 PSPACE-완전이다.

3. 3. 재구성

재구성 문제는 조합 문제 해의 상태 공간 연결성에 관한 것이다. 예를 들어, 그래프의 두 가지 4-채색이 한 번에 하나의 정점 색상을 변경하는 움직임으로 서로 연결될 수 있는지 테스트하는 것은 각 단계에서 유효한 4-채색을 유지하면서 PSPACE-완전이다. 동일한 문제가 3-채색의 경우 다항 시간 내에 해결될 수 있음에도 불구하고, 이 분야의 다른 많은 문제에 대한 PSPACE-완전성 증명의 기초로서 정량화된 부울 식과 유사하게 사용되는 또 다른 재구성 문제군은 비결정적 제약 논리를 포함하며, 여기서 상태는 각 정점에서 얼마나 많은 가장자리가 안쪽으로 지향되어야 하는지에 대한 특정 제약 조건을 받는 제약 그래프의 방향이며, 상태에서 상태로의 움직임은 단일 가장자리의 방향을 반전시킨다.

3. 4. 퍼즐과 게임

정량화된 부울 공식 문제는 검증자와 반증자 두 명의 플레이어가 하는 게임으로 해석될 수 있다. 플레이어는 정량화된 변수에 값을 채워넣는 동작을 중첩된 순서대로 수행하며, 검증자는 존재적으로 정량화된 변수를, 반증자는 보편적으로 정량화된 변수를 채운다. 채워진 공식이 참이 되면 검증자가 이기고, 그렇지 않으면 반증자가 이긴다. 정량화된 공식은 검증자에게 승리 전략이 있을 때만 참이다. 마찬가지로, 많은 조합 게임의 승패를 결정하는 문제는 PSPACE-완전으로 밝혀졌다. PSPACE-완전인 게임의 예로는 (n \times n 보드에서 플레이할 수 있도록 일반화되었을 때) 헥스와 리버시가 있다. 체스, 체커, 바둑과 같은 다른 일반화된 게임은 완벽한 두 플레이어 간의 게임이 매우 길어질 수 있으므로 PSPACE에 속할 가능성이 낮기 때문에 EXPTIME-완전이다. 그러나 이동 횟수에 대한 다항식 제한이 적용되면 PSPACE-완전이 된다.

단일 플레이어가 하는 퍼즐도 PSPACE-완전이 될 수 있다. 이것들은 종종 재구성 문제로 해석될 수 있으며, 러시 아워, 마작, 아토믹스, 소코반, 기계식 컴퓨터 튜링 텀블 등이 이에 해당한다.


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