대수학의 기본정리
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1. 본문
대수학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Algebra)는 복소수 계수를 갖는 다항식에 관한 중요한 정리입니다. 내용은 다음과 같습니다.
대수학의 기본 정리: 차수가 1 이상인 복소수 계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다.
- 복소수 계수: 다항식의 계수가 복소수라는 의미입니다. (실수는 복소수의 특수한 경우이므로, 실수 계수 다항식도 포함됩니다.)
- 차수가 1 이상: 상수항만 있는 다항식(예: f(x) = 3)은 제외됩니다.
- 적어도 하나의 복소수 근: 방정식의 해(근)가 반드시 존재하며, 그 해는 복소수 범위 안에 있다는 뜻입니다.
정리의 의미와 중요성:
- 근의 존재성 보장: 복소수 계수 다항식은 반드시 해를 가진다는 것을 보장합니다.
- 복소수 체의 대수적 닫힘: 복소수 체(field)는 대수적으로 닫혀있다는 것을 의미합니다. 즉, 복소수 계수를 가진 다항식의 모든 근은 복소수이며, 해를 구하기 위해 복소수보다 더 큰 수 체계(예: 사원수)로 확장할 필요가 없습니다.
- n차 다항식은 n개의 복소수 근을 가짐: 중근(중복된 근)을 고려하면, n차 다항식은 정확히 n개의 복소수 근을 가집니다. 예를 들어, 2차 방정식은 항상 2개의 복소수 근을, 3차 방정식은 3개의 복소수 근을 가집니다.
- 인수분해: 모든 다항식은 복소수 범위에서 일차식의 곱으로 인수분해될 수 있음을 의미합니다.
정리의 역사:
- 최초의 증명은 프랑스의 수학자 달랑베르(Jean-Baptiste le Rond D'Alembert)가 1746년에 제시했습니다 (다만, 완전한 증명은 아니었습니다).
- 이후, 가우스(Carl Friedrich Gauss)를 포함한 여러 수학자들이 다양한 증명을 제시했습니다.
참고: 대수학의 기본 정리는 근의 존재성을 보장하지만, 그 근을 구하는 구체적인 방법을 제시하지는 않습니다. 근을 찾는 방법은 별도의 알고리즘(예: 뉴턴-랩슨 방법)이나 근의 공식(2차 방정식의 경우) 등을 통해 이루어집니다.
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