란다우 토션트 상수
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1. 본문
란다우 토션트 상수(Landau's totient constant)는 수론에서 등장하는 상수입니다. 이 상수는 오일러 토션트 함수(Euler's totient function, φ(n))와 관련이 있습니다.
정의 및 값:란다우 토션트 상수는 다음과 같이 정의됩니다.
```
A = ∏ (1 + 1/(p(p-1))) ≈ 1.943596...
p∈P
```
여기서 p는 모든 소수를 나타냅니다. 즉, 모든 소수 p에 대해 (1 + 1/(p(p-1)))를 곱한 값입니다.
관련된 표현:란다우 토션트 상수는 다음과 같은 다른 표현으로도 나타낼 수 있습니다.
- Totient summatory constant (B):
```
B = ∑_(k=1)^∞ (μ(k))/(k * φ(k)) = ∏_(p∈P) (1 - 1/(p(p-1)))
```
여기서 μ(k)는 뫼비우스 함수(Möbius function)입니다. B는 A의 역수와 관련이 있습니다.
- 리만 제타 함수(Riemann zeta function)를 이용한 표현:
```
A = (315 * ζ(3)) / (2 * π^4) * ∏ (ln(p_k))/(p_k -1)
```
여기서 p_k는 k번째 소수, ζ(z)는 리만 제타 함수입니다.
Totient 상수 C:(4)번 자료에서 언급된 totient 상수 C는 다음과 같이 정의되며, 란다우 토션트 상수와는 다른 상수입니다.
```
C = ∑_(n=1)^∞ 1/(n * φ(n)) ≈ 2.20386...
```
요약:란다우 토션트 상수(A)는 약 1.943596...의 값을 가지며, 오일러 토션트 함수와 관련된 무한 곱으로 정의됩니다. 이 상수는 수론의 여러 분야에서 나타나며, totient summatory constant (B)와 밀접하게 관련되어 있습니다.
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