레비의 정리
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1. 본문
레비의 정리(Levi's theorem)는 실해석학 및 복소해석학에서 르베그 적분과 무한급수 연산을 서로 교환할 수 있음을 보장하는 정리입니다. 이탈리아계 아르헨티나 수학자 베포 레비(Beppo Levi)가 증명했습니다.
핵심 내용:
- 단조 수렴 정리 (Monotone Convergence Theorem): 레비의 정리는 주로 단조 수렴 정리의 형태로 알려져 있습니다. 음이 아닌 가측 함수열 {fn}이 단조 증가하면서 f로 수렴하면, 각 함수의 적분값도 f의 적분값으로 수렴한다는 내용입니다.
- 적분과 극한의 교환: 함수열의 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 있는 조건을 제시합니다.
레비의 정리 (단조 수렴 정리):음이 아닌 가측 함수열 {fn}에 대하여,
1. 각 점 x에 대해 fn(x) ≤ fn+1(x) (단조 증가)
2. limn→∞ fn(x) = f(x)
이면, 다음이 성립합니다.
limn→∞ ∫ fn dμ = ∫ f dμ
다른 관련 정리들:
- 파투 보조정리 (Fatou's Lemma): 레비의 정리와 밀접하게 관련된 정리로, 적분과 하극한(liminf)에 대한 부등식을 제공합니다.
- 지배 수렴 정리 (Dominated Convergence Theorem): 적분과 극한의 교환에 대한 또 다른 중요한 정리로, 함수열이 어떤 적분 가능한 함수에 의해 지배될 때 성립합니다.
추가 정보
- 베포 레비는 이 외에도 타원 곡선의 분류, 대수 곡선 및 대수 곡면 연구, 특이점의 해소 등에 기여했습니다.
- 레비-슈타이니츠 정리(Lévy–Steinitz theorem)는 유클리드 공간 위의 급수의 재배열에 관한 정리로, 폴 피에르 레비와 에른스트 슈타이니츠의 이름을 땄습니다. 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
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