만각형

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1. 개요
2. 기하학적 성질
3. 만리그램
- 3.1. 정규 만리그램
4. 대중문화 속 만각형
- 4.1. 플랫랜드
참조

1. 개요

만각형은 10,000개의 변과 꼭짓점을 가진 다각형을 의미한다. 정만각형은 슐레플리 기호 {10,000}으로 나타내며, 각 내각의 크기는 179.964°이고, 면적은 $A = 2500a^2 \cot \frac{\pi}{10000}$ 으로 계산된다. 변의 수가 2의 거듭제곱이나 페르마 소수의 곱이 아니므로 작도가 불가능하다. 만리그램은 만각형의 별 다각형이며, 소설 《플랫랜드》에서 수장 원이 만각형으로 묘사된다.

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만각형
기본 정보
종류	다각형
변의 수	10,000
슈플리 기호	{10000}
꼭짓점	10000
변	10000
대칭군	이면군 D10000, 차수 20000
회전군	C10000, 차수 10000
특징	볼록, 등각, 등변
성질
내각	179.964°

2. 기하학적 성질

정만각형은 슐레플리 기호 {10,000}으로 표시되며, 절단된 5000각형 t{5000}, 두 번 절단된 2500각형 tt{2500}, 세 번 절단된 1250각형 ttt{1250}, 네 번 절단된 625각형 tttt{625}으로 구성할 수 있다.

2. 1. 기본 성질

정만각형의 내각은 179.964°이다. 중심각과 외각은 0.036°이다. 변의 길이가 ''a''인 정만각형의 면적 S는 다음과 같다.

:

S = 2500a^2 \cot \frac{\pi}{10000}

이 결과는 외접원의 면적과 최대 40 ppb만큼 다르다.

2. 2. 대칭성

정만각형의 대칭. 밝은 파란색 선은 지수 2의 부분군을 나타낸다. 5개의 상자형 부분 그래프는 지수 5 부분군에 의해 위치적으로 관련되어 있다.

정만각형은 이면 대칭인 Dih₁₀₀₀₀, 즉 20000차 대칭을 가지며, 10000개의 반사선으로 표현된다. Dih₁₀₀₀₀은 24개의 이면체 부분군을 갖는다: (Dih₅₀₀₀, Dih₂₅₀₀, Dih₁₂₅₀, Dih₆₂₅), (Dih₂₀₀₀, Dih₁₀₀₀, Dih₅₀₀, Dih₂₅₀, Dih₁₂₅), (Dih₄₀₀, Dih₂₀₀, Dih₁₀₀, Dih₅₀, Dih₂₅), (Dih₈₀, Dih₄₀, Dih₂₀, Dih₁₀, Dih₅), (Dih₁₆, Dih₈, Dih₄, Dih₂, Dih₁). 또한 (Z₁₀₀₀₀, Z₅₀₀₀, Z₂₅₀₀, Z₁₂₅₀, Z₆₂₅), (Z₂₀₀₀, Z₁₀₀₀, Z₅₀₀, Z₂₅₀, Z₁₂₅), (Z₄₀₀, Z₂₀₀, Z₁₀₀, Z₅₀, Z₂₅), (Z₈₀, Z₄₀, Z₂₀, Z₁₀), (Z₁₆, Z₈, Z₄, Z₂, Z₁)과 같이 25개의 순환군 대칭을 부분군으로 갖는데, Z_''n''은 ''π''/''n'' 라디안 회전 대칭을 나타낸다.

존 콘웨이는 이러한 낮은 대칭에 문자를 부여하고, 대칭의 차수는 문자를 따른다.^[6] '''r20000'''은 전체 대칭, '''a1'''은 대칭 없음, 꼭짓점을 통과하는 거울선은 '''d'''(대각선), 변을 통과하는 거울선은 '''p'''(수직), 꼭짓점과 변을 모두 통과하는 거울선은 '''i''', 회전 대칭은 '''g'''로 나타낸다.

이러한 낮은 대칭은 불규칙 만각형을 정의하는 데 자유도를 허용한다. '''g10000''' 부분군만이 자유도가 없지만, 방향 모서리로 볼 수 있다.

2. 3. 작도 가능성

정만각형은 작도 가능한 다각형이 아니다. 10,000 = 2⁴ × 5⁴이므로, 변의 수는 서로 다른 페르마 소수의 곱도 아니고 2의 거듭제곱도 아니다. 따라서 정만각형은 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 없다. 변의 수가 서로 다른 피어퐁 소수의 곱도 아니고, 2와 3의 거듭제곱의 곱도 아니므로 각의 삼등분을 사용해서도 작도할 수 없다.

정만각형은 종이접기로도 작도가 불가능하다.^[2]

3. 만리그램

만리그램은 만각형의 별 다각형이다. 슐레플리 기호 {10000/''n''} 형태 (''n''은 10,000과 서로소인 2에서 5,000 사이의 정수)로 표현되는 1999개의 정규 만리그램과 3000개의 정규 별 모양이 있다.

3. 1. 정규 만리그램

별 다각형인 만각형 중에서 슐레플리 기호 {10000/''n''}로 나타낼 수 있는 정규 만리그램은 1999개가 있다. 여기서 ''n''은 2에서 5,000 사이의 정수이며, 10,000과 서로소이다.

4. 대중문화 속 만각형

소설 플랫랜드에서 수장 원은 10,000개의 면을 가진 만각형으로 묘사된다.^[1]

4. 1. 플랫랜드

소설 플랫랜드에서 수장 원은 10,000개의 면을 가진 만각형으로 묘사된다.

참조

_[1] 문서 Meditation VI https://wikisource.o[...]
_[2] 서적 On Intelligence https://books.google[...]
_[3] 서적 An Introduction to Philosophy https://books.google[...]
_[4] 서적 A Companion to Rationalism https://books.google[...]
_[5] 서적 The Philosophy of the Imagination in Vico and Malebranche https://books.google[...]
_[6] 서적 The Symmetries of Things

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