바리뇽 정리 (역학)

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1. 개요
2. 바리뇽의 정리
- 2.1. 정의
- 2.2. 증명
3. 예시
참조

1. 개요

바리뇽 정리는 여러 힘 벡터의 합력에 대한 정리이다. 공간의 한 점에서 만나는 여러 힘 벡터들의 합력은 각 힘 벡터가 특정 점에 대해 가지는 힘의 모멘트의 합과 같다는 것을 나타낸다. 이 정리는 힘의 모멘트 계산에 유용하게 사용되며, 예시를 통해 실제 문제에 적용되는 방식을 보여준다.

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바리뇽 정리 (역학)
바리뇽 정리 (역학)
바리뇽 정리 설명 그림
종류	역학
분야	정역학
제안자	피에르 바리뇽
설명	힘의 모멘트 계산을 단순화하는 정리
관련 개념	힘의 모멘트 힘 (물리) 위치 벡터 벡터 합 평행사변형법
내용
정리 내용	힘들의 합력에 대한 어떤 점에서의 모멘트는, 각각의 힘에 대한 같은 점에서의 모멘트들의 대수적 합과 같다.
수식	M = ∑ (r × Fᵢ) = r × ∑ Fᵢ
수식 설명	M은 합력에 대한 모멘트 r은 기준점으로부터 힘이 작용하는 점까지의 위치 벡터 Fᵢ는 i번째 힘
활용
활용 분야	정역학 문제 풀이 구조 공학 기계 공학 토목 공학

2. 바리뇽의 정리

바리뇽 정리 예시. 두 힘의 합력의 작용점을 모멘트 평형을 이용해 구하는 과정을 보여준다.

바리뇽의 정리는 어떤 한 점에 작용하는 여러 힘들의 합력이 만드는 힘의 모멘트(토크)는, 같은 점에 대해 각 힘들이 만드는 모멘트의 합과 같다는 원리이다. 즉, 여러 힘을 개별적으로 고려하여 계산한 모멘트의 총합은, 그 힘들을 모두 합친 하나의 힘(합력)이 만드는 모멘트와 동일하다는 것을 의미한다.

예를 들어, 위 그림과 같이 한 물체에 크기가 15N과 20N인 두 힘이 10m 간격을 두고 같은 방향(윗방향)으로 작용한다고 가정해 보자. 이 두 힘의 합력은 방향이 같으므로 단순히 더하여 35N이다. 바리뇽의 정리를 이용하면 이 합력 35N이 어느 지점에 작용해야 원래 두 힘과 동일한 모멘트 효과를 내는지 계산할 수 있다.

모멘트 계산의 기준점은 임의로 설정할 수 있다. 계산의 편의를 위해 왼쪽의 15N 힘이 작용하는 지점을 기준점으로 삼는다. 바리뇽의 정리에 따르면, 기준점에 대한 합력의 모멘트는 기준점에 대한 각 힘들의 모멘트 합과 같아야 한다. 합력 35N이 기준점으로부터 거리 x만큼 떨어진 곳에 작용한다고 가정하면, 합력의 모멘트는 35N × x 이다. 각 힘들의 모멘트 합은 (15N × 0m) + (20N × 10m) = 200 N·m 이다. (기준점 자체에 작용하는 15N 힘의 모멘트는 0이다.)

따라서 다음 등식이 성립한다.

: 35N × x = 200 N·m

이 식을 풀면, x = 200 / 35 ≈ 5.71m 이다. 이는 합력 35N이 왼쪽 15N 힘의 작용점으로부터 약 5.71m 떨어진 지점에 작용할 때, 원래의 두 힘과 동일한 모멘트 효과를 나타낸다는 것을 의미한다. 이처럼 바리뇽의 정리는 여러 힘이 동시에 작용하는 복잡한 상황에서 합력의 작용 위치를 결정하는 데 유용하게 활용될 수 있다.^[4]

2. 1. 정의

N

개의 힘 벡터

\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, ..., \mathbf{f}_N

가 공간 상의 한 점

\mathbf{O}

에서 만난다고 가정하자. 이 힘들의 합력

\mathbf{F}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{F}=\sum_{i=1}^N \mathbf{f}_i

임의의 다른 점

\mathbf{O}_1

에 대한 각 힘 벡터

\mathbf{f}_i

의 힘의 모멘트(토크)

\mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i}

는 다음과 같다.

:

\mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{f}_i

이때, 점

\mathbf{O}_1

에 대한 각 힘의 토크를 모두 더하면 다음과 같이 합력

\mathbf{F}

의 토크와 같아진다.

:

\sum_{i=1}^N \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = \sum_{i=1}^N ((\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{f}_i) = (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \left ( \sum_{i=1}^N \mathbf{f}_{i} \right ) = (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{F} = \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{F}}

즉, 어떤 점에 대한 여러 힘들의 토크의 합은, 그 점에 대한 해당 힘들의 합력의 토크와 같다는 것이 바리뇽 정리이다.

2. 2. 증명

바리뇽 정리는 벡터의 외적과 분배 법칙을 이용하여 간단하게 증명할 수 있다.

공간 상의 한 점

\mathbf{O}

에

N

개의 힘 벡터

\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, ..., \mathbf{f}_N

가 작용한다고 가정한다. 이 힘들의 합력

\mathbf{F}

는 다음과 같이 정의된다.

:

\mathbf{F}=\sum_{i=1}^N \mathbf{f}_i

이제, 공간 상의 임의의 다른 점

\mathbf{O}_1

을 기준으로 각 힘 벡터

\mathbf{f}_i

가 만드는 토크(힘의 모멘트)

\mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i}

를 계산한다. 점

\mathbf{O}_1

에서 점

\mathbf{O}

까지의 위치 벡터는

(\mathbf{O}-\mathbf{O}_1)

이므로, 각 힘에 의한 토크는 다음과 같이 벡터 외적으로 표현된다.

:

\mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{f}_i

모든 힘 벡터

\mathbf{f}_i

에 의한 토크의 총합은 각 토크를 더하여 구한다.

:

\sum_{i=1}^N \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = \sum_{i=1}^N \left( (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{f}_i \right)

여기서 벡터 외적의 분배 법칙에 따라 공통 벡터인 위치 벡터

(\mathbf{O}-\mathbf{O}_1)

를 묶어낼 수 있다.

:

\sum_{i=1}^N \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \left( \sum_{i=1}^N \mathbf{f}_i \right)

앞서 정의한 합력

\mathbf{F} = \sum_{i=1}^N \mathbf{f}_i

를 대입하면 다음과 같다.

:

\sum_{i=1}^N \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = (\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{F}

우변

(\mathbf{O}-\mathbf{O}_1) \times \mathbf{F}

는 점

\mathbf{O}_1

에 대한 합력

\mathbf{F}

의 토크

\mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{F}}

와 같다. 즉,

:

\sum_{i=1}^N \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{f}_i} = \mathbf{\Tau}_{O_1}^{\mathbf{F}}

따라서, 점

\mathbf{O}_1

에 대한 각 힘들의 토크의 합은 같은 점

\mathbf{O}_1

에 대한 힘들의 합력의 토크와 같다는 바리뇽 정리가 증명된다.

3. 예시

그림과 같이 한 물체에 15 N과 20 N의 두 힘이 같은 방향(윗방향)으로 작용하는 경우를 통해 바리뇽의 정리를 적용하여 합력의 크기와 작용점 위치를 구할 수 있다.

우선 두 힘이 같은 방향으로 작용하므로, 합력의 크기는 두 힘의 크기를 단순히 더한 값이다.

합력 크기 = 15 N + 20 N = 35 N

다음으로 합력의 작용점 위치를 구하기 위해 모멘트를 계산한다. 모멘트 계산의 기준점은 임의로 정할 수 있으며, 계산의 편의를 위해 왼쪽의 15 N 힘이 작용하는 지점을 기준으로 삼는다. 바리뇽의 정리에 따르면, 합력에 의한 모멘트는 원래 각 힘들에 의한 모멘트의 합과 같다.

왼쪽 기준점에서 20 N 힘까지의 거리가 10m라고 가정하고, 합력의 작용점까지의 거리를 x라고 하면, 모멘트 평형식은 다음과 같이 세울 수 있다.

(합력) × (합력 작용점까지의 거리 x) = Σ (각 힘 × 기준점으로부터의 거리)
35 N × x = (15 N × 0 m) + (20 N × 10m)
35x = 200 N·m

따라서 합력의 작용점까지의 거리 x는 다음과 같이 계산된다.

x = 200 / 35 ≈ 5.71m

결론적으로, 합력 35 N의 작용점은 왼쪽 15 N 힘의 작용점으로부터 오른쪽으로 약 5.71m 떨어진 위치에 있다. 이 예시처럼 바리뇽의 정리를 이용하면 여러 힘이 작용할 때 그 합력의 크기와 작용 위치를 보다 쉽게 계산할 수 있다.^[4]

참조

_[1] 서적 Engineering Mechanics: Statics https://books.google[...] Saunders College Pub.
_[2] 문서 入江
_[3] 서적 토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학 성안당 2015
_[4] 서적 토목기사 과년도 시리즈 - 응용역학 성안당 2015

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