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불가촉 수

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목차

1. 개요

불가촉수는 어떤 양의 정수의 진약수의 합으로 나타낼 수 없는 양의 정수를 의미한다. 예를 들어 5는 불가촉수이지만, 4는 9의 진약수의 합으로 표현되므로 불가촉수가 아니다. 2, 5, 52, 88 등이 불가촉수에 해당하며, 폴 에르되시는 불가촉수가 무한히 많음을 증명했다. 5는 유일한 홀수 불가촉수로 여겨지며, 완전수, 친화수, 사교수, 메르센 수 등은 불가촉수가 아니다.

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불가촉 수
기본 정보
영어 이름Untouchable number
다른 이름Nonaliquot number
정의자신을 제외한 약수들의 합으로 표현할 수 없는 자연수
예시5는 불가촉수이다. 5의 자신을 제외한 약수는 1이며, 1은 다른 수의 자신을 제외한 약수들의 합으로 표현될 수 없다.
수론적 성질
최소 불가촉수2
발견아랍의 수학자 이븐 알 하이탐 (알하젠으로도 알려짐)이 발견하였다.
밀도불가촉수의 집합은 점근적 밀도를 가진다. 불가촉수의 밀도는 자연수 밀도의 약 0.31 정도이다.
개수1000 미만의 불가촉수는 5개, 10,000 미만의 불가촉수는 81개, 1,000,000 미만의 불가촉수는 7427개 존재한다.
짝수 여부모든 불가촉수는 짝수이다.
홀수 불가촉수 존재 여부홀수 불가촉수는 존재하지 않는다고 추측되지만, 아직 증명되지는 않았다. 만약 홀수 불가촉수가 존재한다면, 10^18보다 큰 수여야 한다.
수열
수열2, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100 (OEIS A005114]])
참고 자료
참고 문헌https://doi.org/10.1007/BF00348408

2. 정의

(이전 출력이 없으므로, 수정할 내용이 없습니다. 원본 소스가 제공되지 않았기 때문에 '불가촉 수' 섹션의 '정의'에 대한 내용을 작성할 수 없다는 이전 답변은 유효합니다.)

3. 예시

각 양의 정수에서 모든 진약수의 합을 가리키는 화살표를 그리면 2와 5와 같은 불가촉 수에는 가리키는 화살표가 없을 것이다.

  • 4는 9의 진약수의 합(1 + 3 = 4)과 같으므로 불가촉 수가 아니다.
  • 6은 6 자체의 진약수의 합(1 + 2 + 3 = 6)과 같으므로 불가촉 수가 아니다.
  • 5는 어떤 양의 정수의 진약수의 합도 아니므로 불가촉 수이다. 5를 1을 포함한 서로 다른 양의 정수의 합으로 나타내는 유일한 방법은 1 + 4이지만, 4가 어떤 수를 나누면 2도 나누므로 1 + 4는 어떤 수의 모든 진약수의 합이 될 수 없다. (약수 목록에는 4와 2가 모두 포함되어야 하기 때문이다.)


불가촉수의 예는 다음과 같다.

: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ...

3. 1. 불가촉수인 경우


  • 5는 어떤 양의 정수의 진약수의 합도 아니므로 불가촉 수이다. 5를 1을 포함한 서로 다른 양의 정수의 합으로 나타내는 유일한 방법은 1 + 4이지만, 4가 어떤 수를 나누면 2도 나누므로 1 + 4는 어떤 수의 모든 진약수의 합이 될 수 없다(약수 목록에는 4와 2가 모두 포함되어야 하기 때문이다).[1]


처음 몇 개의 불가촉 수는 다음과 같다.

: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ...

3. 2. 불가촉수가 아닌 경우


  • 4는 9의 진약수(1, 3)의 합(1 + 3 = 4)으로 표현되므로 불가촉수가 아니다.
  • 6은 6 자체의 진약수(1, 2, 3)의 합(1 + 2 + 3 = 6)으로 표현되므로 불가촉수가 아니다.

4. 성질

불가촉수는 소수보다 1 큰 수가 될 수 없다. ''p''가 소수라면, ''p''2의 진약수의 합은 ''p'' + 1이기 때문이다.[2] 5를 제외하고, 불가촉수는 소수보다 3 큰 수가 될 수 없는데, ''p''가 홀수 소수라면, 2''p''의 진약수의 합은 ''p'' + 3이기 때문이다.[2]

4. 1. 홀수 불가촉수

5는 유일한 홀수 불가촉수로 여겨지지만, 아직 증명되지 않았다. 이는 골드바흐의 추측의 약간 더 강력한 버전으로부터 유도될 수 있는데, ''pq''의 진약수(여기서 ''p'', ''q''는 서로 다른 소수)의 합은 1 + ''p'' + ''q''이기 때문이다. 따라서, 숫자 ''n''이 서로 다른 두 소수의 합으로 표현될 수 있다면, ''n'' + 1은 불가촉수가 아니다. 6보다 큰 모든 짝수는 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있을 것으로 예상되므로, 아마도 7보다 큰 홀수는 불가촉수가 아니며, 1=\sigma(2)-2, 3=\sigma(4)-4, 7=\sigma(8)-8이므로, 5만이 홀수 불가촉수가 될 수 있다.[2]

4. 2. 불가촉수와 합성수

2와 5를 제외한 모든 불가촉수는 합성수로 추정된다(2를 제외한 모든 짝수는 합성수이므로).[2]

4. 3. 완전수, 친화수, 사교수와의 관계

완전수는 자기 자신의 진약수의 합으로 표현될 수 있으므로 불가촉수가 아니다. 마찬가지로, 우애수나 사교수도 불가촉수가 아니다.[2]

4. 4. 메르센 수와의 관계

메르센 수 ''M''''n'' = 2''n'' − 1은 2''n''의 진약수의 합과 같으므로, 메르센 수는 불가촉수가 아니다.[2]

4. 5. 소수와의 관계

불가촉수는 소수보다 1 큰 수가 될 수 없다. ''p''가 소수라면, ''p''2의 진약수의 합은 ''p'' + 1이기 때문이다.[2] 5를 제외하고, 불가촉수는 소수보다 3 큰 수가 될 수 없다. ''p''가 홀수 소수라면, 2''p''의 진약수의 합은 ''p'' + 3이기 때문이다.[2]

5. 무한성

폴 에르되시에 의해 불가촉 수는 무한히 많다는 것이 증명되었다.[3] 천 & 자오에 따르면, 이들의 자연 밀도는 최소 0.06 이상이다.[4]

참조

[1] 간행물 Two problems of number theory in Islamic times
[2] 웹사이트 Untouchable Number https://mathworld.wo[...]
[3] 논문 Über die Zahlen der Form \sigma(n)-n und n-\phi(n)
[4] 논문 Nonaliquot numbers


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