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불가촉 수

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목차

1. 개요

불가촉수는 어떤 양의 정수의 진약수의 합으로 나타낼 수 없는 양의 정수를 의미한다. 예를 들어 5는 불가촉수이지만, 4는 9의 진약수의 합으로 표현되므로 불가촉수가 아니다. 2, 5, 52, 88 등이 불가촉수에 해당하며, 폴 에르되시는 불가촉수가 무한히 많음을 증명했다. 5는 유일한 홀수 불가촉수로 여겨지며, 완전수, 친화수, 사교수, 메르센 수 등은 불가촉수가 아니다.

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2. 정의

(이전 출력이 없으므로, 수정할 내용이 없습니다. 원본 소스가 제공되지 않았기 때문에 '불가촉 수' 섹션의 '정의'에 대한 내용을 작성할 수 없다는 이전 답변은 유효합니다.)

3. 예시

각 양의 정수에서 모든 진약수의 합을 가리키는 화살표를 그리면 2와 5와 같은 불가촉 수에는 가리키는 화살표가 없을 것이다.

  • 4는 9의 진약수의 합(1 + 3 = 4)과 같으므로 불가촉 수가 아니다.
  • 6은 6 자체의 진약수의 합(1 + 2 + 3 = 6)과 같으므로 불가촉 수가 아니다.
  • 5는 어떤 양의 정수의 진약수의 합도 아니므로 불가촉 수이다. 5를 1을 포함한 서로 다른 양의 정수의 합으로 나타내는 유일한 방법은 1 + 4이지만, 4가 어떤 수를 나누면 2도 나누므로 1 + 4는 어떤 수의 모든 진약수의 합이 될 수 없다. (약수 목록에는 4와 2가 모두 포함되어야 하기 때문이다.)


불가촉수의 예는 다음과 같다.

: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ...

3. 1. 불가촉수인 경우


  • 5는 어떤 양의 정수의 진약수의 합도 아니므로 불가촉 수이다. 5를 1을 포함한 서로 다른 양의 정수의 합으로 나타내는 유일한 방법은 1 + 4이지만, 4가 어떤 수를 나누면 2도 나누므로 1 + 4는 어떤 수의 모든 진약수의 합이 될 수 없다(약수 목록에는 4와 2가 모두 포함되어야 하기 때문이다).[1]


처음 몇 개의 불가촉 수는 다음과 같다.

: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ...

3. 2. 불가촉수가 아닌 경우


  • 4는 9의 진약수(1, 3)의 합(1 + 3 = 4)으로 표현되므로 불가촉수가 아니다.
  • 6은 6 자체의 진약수(1, 2, 3)의 합(1 + 2 + 3 = 6)으로 표현되므로 불가촉수가 아니다.

4. 성질

불가촉수는 소수보다 1 큰 수가 될 수 없다. ''p''가 소수라면, ''p''2의 진약수의 합은 ''p'' + 1이기 때문이다.[2] 5를 제외하고, 불가촉수는 소수보다 3 큰 수가 될 수 없는데, ''p''가 홀수 소수라면, 2''p''의 진약수의 합은 ''p'' + 3이기 때문이다.[2]

4. 1. 홀수 불가촉수

5는 유일한 홀수 불가촉수로 여겨지지만, 아직 증명되지 않았다. 이는 골드바흐의 추측의 약간 더 강력한 버전으로부터 유도될 수 있는데, ''pq''의 진약수(여기서 ''p'', ''q''는 서로 다른 소수)의 합은 1 + ''p'' + ''q''이기 때문이다. 따라서, 숫자 ''n''이 서로 다른 두 소수의 합으로 표현될 수 있다면, ''n'' + 1은 불가촉수가 아니다. 6보다 큰 모든 짝수는 서로 다른 두 소수의 합으로 나타낼 수 있을 것으로 예상되므로, 아마도 7보다 큰 홀수는 불가촉수가 아니며, 1=\sigma(2)-2, 3=\sigma(4)-4, 7=\sigma(8)-8이므로, 5만이 홀수 불가촉수가 될 수 있다.[2]

4. 2. 불가촉수와 합성수

2와 5를 제외한 모든 불가촉수는 합성수로 추정된다(2를 제외한 모든 짝수는 합성수이므로).[2]

4. 3. 완전수, 친화수, 사교수와의 관계

완전수는 자기 자신의 진약수의 합으로 표현될 수 있으므로 불가촉수가 아니다. 마찬가지로, 우애수나 사교수도 불가촉수가 아니다.[2]

4. 4. 메르센 수와의 관계

메르센 수 ''M''''n'' = 2''n'' − 1은 2''n''의 진약수의 합과 같으므로, 메르센 수는 불가촉수가 아니다.[2]

4. 5. 소수와의 관계

불가촉수는 소수보다 1 큰 수가 될 수 없다. ''p''가 소수라면, ''p''2의 진약수의 합은 ''p'' + 1이기 때문이다.[2] 5를 제외하고, 불가촉수는 소수보다 3 큰 수가 될 수 없다. ''p''가 홀수 소수라면, 2''p''의 진약수의 합은 ''p'' + 3이기 때문이다.[2]

5. 무한성

폴 에르되시에 의해 불가촉 수는 무한히 많다는 것이 증명되었다.[3] 천 & 자오에 따르면, 이들의 자연 밀도는 최소 0.06 이상이다.[4]

참조

[1] 간행물 Two problems of number theory in Islamic times
[2] 웹사이트 Untouchable Number https://mathworld.wo[...]
[3] 논문 Über die Zahlen der Form \sigma(n)-n und n-\phi(n)
[4] 논문 Nonaliquot numbers


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