비가환환

1. 본문

비가환환(Non-commutative ring)은 곱셈에 대한 교환 법칙이 성립하지 않는 환을 의미합니다. 즉, 환의 원소 a와 b에 대해 a * b와 b * a가 항상 같지 않은 경우가 존재합니다.
환(Ring)의 정의:

환은 덧셈과 곱셈 두 가지 연산이 정의된 집합으로, 다음 조건을 만족해야 합니다.

1. 덧셈에 대한 아벨 군(가환군):

• 닫힘: 집합 내 임의의 두 원소 a, b에 대해 a + b도 집합의 원소입니다.
• 결합법칙: (a + b) + c = a + (b + c)
• 항등원: a + 0 = 0 + a = a를 만족하는 0(덧셈에 대한 항등원)이 존재합니다.
• 역원: a + (-a) = (-a) + a = 0을 만족하는 -a(a의 덧셈에 대한 역원)가 존재합니다.
• 교환법칙: a + b = b + a

• 닫힘: 집합 내 임의의 두 원소 a, b에 대해 a * b도 집합의 원소입니다.
• 결합법칙: (a * b) * c = a * (b * c)

• a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
• (a + b) * c = (a * c) + (b * c)

• 가환환(Commutative ring): 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하는 환입니다. 즉, 모든 원소 a, b에 대해 a * b = b * a입니다. (예: 정수, 유리수, 실수, 복소수)
• 비가환환(Non-commutative ring): 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않는 환입니다. 즉, a * b ≠ b * a인 경우가 존재합니다. (예: 행렬, 사원수)

• 행렬: 2x2 이상의 정사각행렬은 일반적으로 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하지 않습니다.
• 사원수(Quaternion): 복소수를 확장한 수 체계로, 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하지 않습니다.

• 나눗셈환(Division ring): 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지는 환입니다. 나눗셈환이 가환이면 체(Field)라고 하고, 비가환이면 비가환체(Skew-field)라고 합니다.
• 비가환 기하학은 양자장론, 끈 이론 등 물리학에서 널리 쓰입니다.