슈퍼플립

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1. 개요
2. 성질
3. 알고리즘
4. 최단 경로
참조

1. 개요

슈퍼플립은 루빅스 큐브의 특정 상태를 의미하며, 큐브에 슈퍼플립 알고리즘을 적용하면 큐브의 방향에 관계없이 동일한 배치를 얻을 수 있다. 슈퍼플립은 자기 역변환이며, 다른 모든 알고리즘과 교환 가능하다. 슈퍼플립은 20번의 이동으로 만들 수 있으며, 큐브를 슈퍼플립 상태로 변환하는 데 사용되는 여러 알고리즘과 각 알고리즘의 이동 횟수는 회전 척도에 따라 달라진다.

2. 성질

슈퍼플립은 완벽하게 대칭적인 조합, 자기 역변환, 루빅스 큐브의 유일한 비자명한 중심 배치라는 성질을 가진다. 슈퍼플립 알고리즘을 적용하면 큐브를 어느 방향으로 잡고 있든 항상 동일한 배치를 얻을 수 있고, 두 번 수행하면 큐브는 시작 위치로 돌아간다. 슈퍼플립은 다른 모든 알고리즘과 교환 가능하며, 이러한 속성을 가진 유일한 배치이다(자명하게 해결된 상태는 제외). 슈퍼플립과 다른 모든 알고리즘의 교환자는 항상 큐브를 해결된 위치로 되돌린다.

2. 1. 대칭성

슈퍼플립은 완벽하게 대칭적인 조합으로, 큐브에 슈퍼플립 알고리즘을 적용하면 어느 방향으로 큐브를 잡고 있든 항상 동일한 배치를 얻을 수 있다는 것을 의미한다.

슈퍼플립은 자기 역변환이다. 즉, 슈퍼플립 알고리즘을 두 번 수행하면 큐브가 시작 위치로 돌아간다.

또한, 슈퍼플립은 루빅스 큐브의 유일한 비자명한 중심 배치이다. 이는 슈퍼플립이 다른 모든 알고리즘과 교환 가능하다는 것을 의미한다. 다시 말해, 어떤 알고리즘 X를 수행한 다음 슈퍼플립 알고리즘을 수행하는 것은 슈퍼플립 알고리즘을 먼저 수행한 다음 X를 수행하는 것과 정확히 동일한 배치를 생성하며, 이러한 속성을 가진 유일한 배치이다(자명하게 해결된 상태는 제외). 이를 확장하면, 슈퍼플립과 다른 모든 알고리즘의 교환자가 항상 큐브를 해결된 위치로 되돌린다는 것을 의미한다.

2. 2. 자기 역변환

슈퍼플립은 자기 역변환이다. 즉, 슈퍼플립 알고리즘을 두 번 수행하면 큐브가 시작 위치로 돌아간다.

2. 3. 교환 법칙 성립

슈퍼플립은 루빅스 큐브의 유일한 비자명한 중심 배치이다. 이는 슈퍼플립이 다른 모든 알고리즘과 교환 가능하다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 알고리즘 X를 수행한 다음 슈퍼플립 알고리즘을 수행하는 것이나, 슈퍼플립 알고리즘을 먼저 수행한 다음 X를 수행하는 것이나 정확히 동일한 배치가 된다. 이러한 속성을 가진 유일한 배치는 슈퍼플립뿐이다(자명하게 해결된 상태는 제외). 더 나아가, 슈퍼플립과 다른 모든 알고리즘의 교환자는 항상 큐브를 해결된 위치로 되돌린다.^[1]

2. 4. 교환자

슈퍼플립은 완벽하게 대칭적인 조합으로, 큐브에 슈퍼플립 알고리즘을 적용하면 큐브를 어떤 방향으로 잡고 있든 항상 동일한 배치를 얻을 수 있다는 의미이다.

슈퍼플립은 자기 역변환이다. 즉, 슈퍼플립 알고리즘을 두 번 수행하면 큐브가 시작 위치로 돌아간다.

또한, 슈퍼플립은 루빅스 큐브의 유일한 비자명한 중심 배치이다. 이는 슈퍼플립이 다른 모든 알고리즘과 교환 가능하다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 알고리즘 X를 수행한 다음 슈퍼플립 알고리즘을 수행하는 것은 슈퍼플립 알고리즘을 먼저 수행한 다음 X를 수행하는 것과 정확히 동일한 배치를 생성하며, 이러한 속성을 가진 유일한 배치이다(자명하게 해결된 상태 제외). 확장하면, 이는 슈퍼플립과 다른 모든 알고리즘의 교환자가 항상 큐브를 해결된 위치로 되돌린다는 것을 의미한다.

3. 알고리즘

슈퍼플립을 만드는 알고리즘은 여러 가지가 있으며, 사용되는 척도에 따라 이동 횟수가 달라진다. 해결된 루빅스 큐브를 슈퍼플립 구성으로 변환하는 네 가지 알고리즘과 각 척도에서 갖는 이동 횟수는 아래 표와 같다.

알고리즘	이동 횟수
알고리즘	HTM	QTM	STM
U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U D R2 F R' L B2 U2 F2	20	28	19
R U2 B L F U B D F U D L D2 F R B D F U B' U D'	22	24	22
M2 U R2 D S M2 U M U2 F2 D S M2 U' R2 U'	22	32	16
M U M U M U M U y z M U M U M U M U y z M U M U M U M' U'	36	36	24

반 회전 척도(HTM): 가장 일반적인 척도로, 면(외부 레이어)의 90° 또는 180° 회전을 한 번의 이동으로 계산한다. 슬라이스 회전(중앙 레이어 회전)은 두 번의 이동으로 계산한다.
4분의 1 회전 척도(QTM): 90° 면 회전만 한 번의 이동으로 계산한다. 180° 회전은 두 번, 슬라이스 회전은 슬라이스가 90° 또는 180°로 이동하는지에 따라 두 번 또는 네 번의 이동으로 계산한다.
슬라이스 회전 척도(STM): 90° 면 회전, 180° 면 회전, 슬라이스 회전(90° 및 180° 중앙 레이어 회전 모두)을 모두 한 번의 이동으로 계산한다.

일반적인 믿음과는 달리, 슈퍼플립만이 해결된 큐브에서 가장 먼 위치는 아니다. HTM에서는 20번, QTM에서는 24번의 이동이 필요한 다른 위치들이 존재한다. 슈퍼플립이 "네 점" 또는 "네 자리" 위치와 구성될 때, 결과 위치는 QTM에서 26 이동을 필요로 한다.

표의 마지막 솔루션은 어떤 척도에서도 최적이 아니지만, 일련의 이동이 매우 반복적이므로 사람이 배우고 수행하기에 가장 쉽고 빠르다.

3. 1. 반 회전 척도 (HTM)

(완성된 루빅스 큐브에서 시작해서) 슈퍼플립을 만들 수 있는 싱마스터 표기법으로 쓰여진 수열은 다음과 같다. 이는 절반-회전 측도에서 20번 이동으로 최소 이동이지만, 사분-회전으로는 28번 이동이 필요하다.

: U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U' D' R2 F R' L B2 U2 F2

사분-회전이 24개가 필요한 (절반 회전으로는 22개가 필요한) 솔루션은 다음과 같다.^[7]^[8]

: R' U2 B L' F U' B D F U D' L D2 F' R B' D F' U' B' U D'

다음 표는 해결된 루빅 큐브를 슈퍼플립 구성으로 변환하는 네 가지 가능한 알고리즘과 각 알고리즘이 각 척도에서 갖는 이동 횟수를 보여준다.

가장 일반적으로 사용되는 '''반 회전 척도(HTM)'''는 면(또는 외부 레이어)을 90° 또는 180° 회전하는 것을 단일 이동으로 계산하지만, "슬라이스 회전", 즉 중앙 레이어를 회전하는 것은 두 개의 별도 이동으로 계산된다(두 개의 외부 레이어를 반대 방향으로 회전하는 것과 동일).

알고리즘	이동 횟수
알고리즘	HTM	QTM	STM
U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U D R2 F R' L B2 U2 F2	20	28	19
R U2 B L F U B D F U D L D2 F R B D F U B' U D'	22	24	22
M2 U R2 D S M2 U M U2 F2 D S M2 U' R2 U'	22	32	16
M U M U M U M U y z M U M U M U M U y z M U M U M U M' U'	36	36	24

해결된 큐브와 슈퍼플립 사이의 최단 경로는 HTM에서 20 이동을 필요로 하며(첫 번째 알고리즘이 그러한 예시이다) 어떤 위치도 더 많은 이동을 필요로 하지 않는 것으로 나타났다.

3. 2. 4분의 1 회전 척도 (QTM)

이것은 (완성된 루빅스 큐브에서 시작해서) 슈퍼플립을 만들 수 있는 싱마스터 표기법으로 쓰여진 수열이다. 이것은 절반-회전 측도에서 20번 이동으로 최소 이동이지만, 사분-회전으로는 28번 이동이 필요하다.

U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U' D' R2 F R' L B2 U2 F2

사분-회전이 24개가 필요한 (절반 회전으로는 22개가 필요한) 솔루션은 다음과 같다.^[7]^[8]

R' U2 B L' F U' B D F U D' L D2 F' R B' D F' U' B' U D'

'''4분의 1 회전 척도(QTM)'''는 90° 면 회전만 단일 이동으로 계산한다. 따라서 180° 회전은 두 개의 별도 이동으로 계산되고, 슬라이스 회전은 두 개 또는 네 개의 이동으로 계산된다(슬라이스가 90° 또는 180°로 이동하는지에 따라).

다음은 해결된 루빅스 큐브를 슈퍼플립 구성으로 변환하는 네 가지 가능한 알고리즘과 각 알고리즘이 각 척도에서 갖는 이동 횟수를 나타낸 표이다. 아래의 모든 알고리즘은 싱마스터 표기법으로 기록되었다.

알고리즘	이동 횟수:
알고리즘	HTM	QTM	STM
U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U D R2 F R' L B2 U2 F2	20	28	19
R U2 B L F U B D F U D L D2 F R B D F U B' U D'	22	24	22
M2 U R2 D S M2 U M U2 F2 D S M2 U' R2 U'	22	32	16
M U M U M U M U y z M U M U M U M U y z M U M U M U M' U'	36	36	24

더 제한적인 QTM에서 슈퍼플립은 최소 24 이동을 필요로 하며(위의 표에서 두 번째 알고리즘이 그러한 시퀀스이다), 해결된 상태에서 최대한 멀리 떨어져 있지 않다. 대신, 슈퍼플립이 "네 점" 또는 "네 자리" 위치와 구성될 때, 즉 네 면이 반대 면의 중앙과 중앙을 교환하는 위치에서, 결과 위치는 QTM에서 26 이동을 필요로 한다.

3. 3. 슬라이스 회전 척도 (STM)

다음 표는 해결된 루빅 큐브를 슈퍼플립 구성으로 변환하는 네 가지 가능한 알고리즘과 각 알고리즘이 각 척도에서 갖는 이동 횟수를 보여준다.

'''슬라이스 회전 척도(STM)'''는 90° 면 회전, 180° 면 회전, ''그리고'' 슬라이스 회전(90° 및 180° 중앙 레이어 회전 모두)을 모두 단일 이동으로 계산한다.

아래의 모든 알고리즘은 싱마스터 표기법으로 기록된다.

알고리즘	이동 횟수:
알고리즘	HTM	QTM	STM
$\text{U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U$ D R2 F R' L B2 U2 F2}	20	28	19
$\text{R$ U2 B L F U B D F U D L D2 F R B D F U B U D}	22	24	22
$\text{M2 U$ R2 D S M2 U M U2 F2 D S M2 U R2 U}	22	32	16
$\text{M$ U M U M U M U y z M U M U M U M U y z M U M U M U M U}	36	36	24

STM에서 슈퍼플립은 최소 16 이동을 필요로 한다(세 번째 알고리즘에서 보여준다).

3. 4. 기타 알고리즘

(완성된 루빅스 큐브에서 시작해서) 슈퍼플립을 만들 수 있는 싱마스터 표기법으로 쓰여진 수열은 다음과 같다. 이것은 절반-회전 측도에서 20번 이동으로 최소 이동이지만, 사분-회전으로는 28번 이동이 필요하다.

: U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U' D' R2 F R' L B2 U2 F2

사분-회전이 24개가 필요한 (절반 회전으로는 22개가 필요한) 솔루션은 다음과 같다.^[7]^[8]

: R' U2 B L' F U' B D F U D' L D2 F' R B' D F' U' B' U D'

다음 표는 해결된 루빅 큐브를 슈퍼플립 구성으로 변환하는 네 가지 가능한 알고리즘과 각 알고리즘이 각 척도에서 갖는 이동 횟수를 보여준다.

가장 일반적으로 사용되는 '''반 회전 척도(HTM)'''는 면(또는 외부 레이어)을 90° 또는 180° 회전하는 것을 단일 이동으로 계산하지만, "슬라이스 회전", 즉 중앙 레이어를 회전하는 것은 두 개의 별도 이동으로 계산된다(두 개의 외부 레이어를 반대 방향으로 회전하는 것과 동일).
'''4분의 1 회전 척도(QTM)'''는 90° 면 회전만 단일 이동으로 계산한다. 따라서 180° 회전은 두 개의 별도 이동으로 계산되고, 슬라이스 회전은 두 개 또는 네 개의 이동으로 계산된다(슬라이스가 90° 또는 180°로 이동하는지에 따라).
'''슬라이스 회전 척도(STM)'''는 90° 면 회전, 180° 면 회전, ''그리고'' 슬라이스 회전(90° 및 180° 중앙 레이어 회전 모두)을 모두 단일 이동으로 계산한다.

아래의 모든 알고리즘은 싱마스터 표기법으로 기록되어 있다.

알고리즘	이동 횟수
알고리즘	HTM	QTM	STM
$\text{U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U$ D R2 F R' L B2 U2 F2}	20	28	19
$\text{R$ U2 B L F U B D F U D L D2 F R B D F U B U D}	22	24	22
$\text{M2 U$ R2 D S M2 U M U2 F2 D S M2 U R2 U}	22	32	16
$\text{M$ U M U M U M U y z M U M U M U M U y z M U M U M U M U}	36	36	24

해결된 큐브와 슈퍼플립 사이의 최단 경로는 HTM에서 20 이동을 필요로 하며(첫 번째 알고리즘이 그러한 예시이다) 어떤 위치도 더 많은 이동을 필요로 하지 않는 것으로 나타났다. 하지만, 일반적인 믿음과는 달리 슈퍼플립은 이 점에서 유일하지 않다. 20 이동을 필요로 하는 다른 많은 위치가 있다.

더 제한적인 QTM에서 슈퍼플립은 최소 24 이동을 필요로 하며(위의 두 번째 알고리즘이 그러한 시퀀스이다), 해결된 상태에서 최대한 멀리 떨어져 있지 않다. 대신, 슈퍼플립이 "네 점" 또는 "네 자리" 위치와 구성될 때, 즉 네 면이 반대 면의 중앙과 중앙을 교환하는 위치에서, 결과 위치는 QTM에서 26 이동을 필요로 한다.

STM에서 슈퍼플립은 최소 16 이동을 필요로 한다(세 번째 알고리즘에서 보여준다).

표의 마지막 솔루션은 어떤 척도에서도 최적이 아니지만, 일련의 이동이 매우 반복적이므로 인간이 배우고 수행하기에 가장 쉽고 빠르다.

4. 최단 경로

(완성된 루빅스 큐브에서 시작해서) 슈퍼플립을 만들 수 있는 싱마스터 표기법으로 쓰여진 수열이 있다. 이것은 절반-회전 측도에서 20번 이동으로 최소 이동이지만, 사분-회전으로는 28번 이동이 필요하다.

: U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U' D' R2 F R' L B2 U2 F2

사분-회전이 24개가 필요한 (절반 회전으로는 22개가 필요한) 솔루션은 다음과 같다.^[7]^[8]

: R' U2 B L' F U' B D F U D' L D2 F' R B' D F' U' B' U D'

해결된 루빅 큐브를 슈퍼플립 구성으로 변환하는 네 가지 가능한 알고리즘과 각 알고리즘이 각 척도에서 갖는 이동 횟수는 아래 표와 같다.

가장 일반적으로 사용되는 '''반 회전 척도(HTM)'''는 면(또는 외부 레이어)을 90° 또는 180° 회전하는 것을 단일 이동으로 계산하지만, "슬라이스 회전", 즉 중앙 레이어를 회전하는 것은 두 개의 별도 이동으로 계산한다(두 개의 외부 레이어를 반대 방향으로 회전하는 것과 동일).
'''4분의 1 회전 척도(QTM)'''는 90° 면 회전만 단일 이동으로 계산한다. 따라서 180° 회전은 두 개의 별도 이동으로 계산되고, 슬라이스 회전은 두 개 또는 네 개의 이동으로 계산된다(슬라이스가 90° 또는 180°로 이동하는지에 따라).
'''슬라이스 회전 척도(STM)'''는 90° 면 회전, 180° 면 회전, ''그리고'' 슬라이스 회전(90° 및 180° 중앙 레이어 회전 모두)을 모두 단일 이동으로 계산한다.

아래의 모든 알고리즘은 싱마스터 표기법으로 기록되어 있다.

알고리즘	이동 횟수
알고리즘	HTM	QTM	STM
U R2 F B R B2 R U2 L B2 R U D R2 F R' L B2 U2 F2	20	28	19
R U2 B L F U B D F U D L D2 F R B D F U B' U D'	22	24	22
M2 U R2 D S M2 U M U2 F2 D S M2 U' R2 U'	22	32	16
M U M U M U M U y z M U M U M U M U y z M U M U M U M' U'	36	36	24

해결된 큐브와 슈퍼플립 사이의 최단 경로는 HTM에서 20 이동을 필요로 하며(첫 번째 알고리즘이 그러한 예시이다) 어떤 위치도 더 많은 이동을 필요로 하지 않는 것으로 나타났다. 하지만, 일반적인 믿음과는 달리 슈퍼플립은 이 점에서 유일하지 않다. 20 이동을 필요로 하는 다른 많은 위치가 있다.

더 제한적인 QTM에서 슈퍼플립은 최소 24 이동을 필요로 하며(위의 두 번째 알고리즘이 그러한 시퀀스이다), 해결된 상태에서 최대한 멀리 떨어져 있지 않다. 대신, 슈퍼플립이 "네 점" 또는 "네 자리" 위치와 구성될 때, 즉 네 면이 반대 면의 중앙과 중앙을 교환하는 위치에서, 결과 위치는 QTM에서 26 이동을 필요로 한다.

STM에서 슈퍼플립은 최소 16 이동을 필요로 한다(세 번째 알고리즘에서 보여준다).

표의 마지막 솔루션은 어떤 척도에서도 최적이 아니지만, 일련의 이동이 매우 반복적이므로 인간이 배우고 수행하기에 가장 쉽고 빠르다.

참조

_[1] 웹사이트 God's Number is 20 http://www.cube20.or[...]
_[2] 웹사이트 Pretty Patterns Rubik's Cube http://www.randelsho[...]
_[3] 웹사이트 God's Number is 26 in the Quarter-Turn Metric http://www.cube20.or[...]
_[4] 웹인용 God's Number is 20 http://www.cube20.or[...]
_[5] 웹사이트 The first algorithm is one of several 24 qtm solutions http://www.randelsho[...]
_[6] 웹인용 God's Number is 26 in the Quarter-Turn Metric http://www.cube20.or[...]
_[7] 서적 Joyner 2008, p.100
_[8] 웹인용 M-symmetric positions http://cflmath.com/R[...] 2005-05-24

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