심플렉틱 리 대수

1. 본문

리 군론에서, 심플렉틱 리 대수(symplectic Lie algebra, 기호 sp(2n, F))는 심플렉틱 군(symplectic group)에 대응되는 리 대수입니다. 심플렉틱 리 대수는 다음 조건을 만족하는 2n x 2n 행렬로 구성됩니다.
정의:체 F에 대한 2n × 2n 행렬 A가 심플렉틱 리 대수 sp(2n, F)의 원소일 조건은 다음과 같습니다.

ΩA + A^TΩ = 0

여기서 A^T는 A의 전치 행렬(transpose)이고, Ω는 다음과 같은 2n × 2n 비대칭 행렬(skew-symmetric matrix)입니다.

Ω =

[-I_n, 0]]

여기서 I_n은 n × n 단위 행렬(identity matrix)입니다.
성질:

• 심플렉틱 리 대수 sp(2n, F)는 (2n)² 차원이 아니라, n(2n+1) 차원의 리 대수입니다.
• F가 실수체(R) 또는 복소수체(C)인 경우, 심플렉틱 리 대수는 단순 리 대수(simple Lie algebra)입니다.
• 심플렉틱 리 대수는 고전역학, 양자역학, 그리고 미분기하학 등 다양한 분야에서 나타납니다. 특히, 해밀턴 역학(Hamiltonian mechanics)에서 심플렉틱 다양체(symplectic manifold)의 무한소 심플렉틱 변환(infinitesimal symplectic transformation)을 기술하는 데 사용됩니다.

다른 표현:심플렉틱 리 대수는 다음과 같이 정의될 수도 있습니다.

• 2n차원 벡터 공간 V 위의 교대 쌍선형 형식(alternating bilinear form) ω를 보존하는 선형 변환들의 집합으로 정의할 수 있습니다. 즉, 모든 x, y ∈ V에 대해 ω(Ax, y) + ω(x, Ay) = 0을 만족하는 A들의 집합입니다.
• (2020-04-25) 비대칭 행렬 S:= (0, I_n], [-I_n, 0)와 가환(commute)하는 모든 비대칭 행렬 A로 구성된다고도 표현합니다.

예시:sp(2, R)는 2 × 2 실수 행렬 중 다음 형태를 갖는 행렬들의 집합입니다.

[c, -a]]

여기서 a, b, c는 실수입니다.
추가 정보:(2022-04-28) 심플렉틱 리 군(symplectic Lie group) (G,Ω)는 왼쪽 불변 심플렉틱 형식(left invariant symplectic form)이 부여된 리 군입니다. G의 리 대수가 (G,ω=Ω(e))일 때, 이를 심플렉틱 리 대수라고 부릅니다.