에텐듀

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 자유 공간
3. 에텐듀 보존
- 3.1. 굴절 및 반사
- 3.2. 밝기 정리
4. 기본 휘도 보존
5. 위상 공간에서의 에텐듀
6. 최대 농도
참조

1. 개요

에텐듀는 굴절률 n인 매질에서 빛이 통과하는 면적 dS와 입체각 dΩ의 곱에 굴절률의 제곱을 곱하여 정의되는 물리량이다. 에텐듀는 자유 공간, 굴절, 반사에서 보존되며, 광학 시스템 내에서 전반사 또는 굴절을 겪을 때도 보존된다. 에텐듀는 밝기 정리, 기본 휘도 보존, 위상 공간에서의 표현, 최대 농도 등의 개념과 관련이 있으며, 광학 시스템의 효율을 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

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에텐듀
광학 시스템의 특성
정의	광학 시스템에서 빛의 "퍼짐"을 나타내는 척도
개요
다른 이름	광학적 범위 기하학적 범위 AΩ 제품
어원	프랑스어 etendue (뻗음, 확장)
설명	광학 시스템을 통과하는 빛의 다발이 얼마나 넓게 퍼져 나가는지를 나타내는 값. 광원 면적과 입체각의 곱으로 정의됨.
특징
보존 법칙	이상적인 광학 시스템에서 에텐듀는 보존됨. 즉, 빛이 시스템을 통과하면서 에텐듀 값이 감소하지 않음. 실제 시스템에서는 손실로 인해 감소할 수 있음.
활용	광학 시스템 설계 광원 효율 평가 이미징 시스템 성능 분석
계산
공식	E = n² dA dΩ
변수	E: 에텐듀 n: 굴절률 dA: 면적 요소 dΩ: 입체각 요소
단위
단위	m²⋅sr (제곱미터-스테라디안)

2. 정의

굴절률 n인 매질 속에서, 면적 미분소 dS에 수직한 벡터 '''n'''_S 에 대해 θ 각도를 이루는 입체각 dΩ 영역으로 빛이 통과할 때, 에텐듀는 다음과 같이 정의된다.

$\mathrm{d}G = n^2\, \mathrm{d}S \cos \theta\, \mathrm{d}\Omega.$

각도, 입체각, 굴절률은 차원이 없는 양이기 때문에 에텐듀의 단위는 면적(m²) 또는 면적과 입체각(sr)의 곱으로 표현될 수 있다.^[1]^[6]

2. 1. 자유 공간

광원 Σ와 빛 감지기 S는 굴절률 n을 가진 완벽하게 투명한 매질로 분리되어 있다(그림 참조). 시스템의 에텐듀를 계산하려면, 빛을 수신기로 투사할 때 광원 표면의 각 지점의 기여도를 고려해야 한다.^[7]

dΣ에서 dS로 교차하는 빛의 에텐듀는 다음과 같다.

\mathrm{d}G_\Sigma = n^2\, \mathrm{d}\Sigma \cos \theta_\Sigma\, \mathrm{d}\Omega_\Sigma = n^2\, \mathrm{d}\Sigma \cos \theta_\Sigma \frac{\mathrm{d}S \cos \theta_S}{d^2}\,,

여기서 dΩ_Σ는 면적 dΣ에서 면적 dS에 의해 정의된 입체각이고, d는 두 면적 사이의 거리이다. 유사하게, dΣ에서 오는 dS를 교차하는 빛의 에텐듀는 다음과 같다.

\mathrm{d}G_S = n^2\, \mathrm{d}S \cos \theta_S\, \mathrm{d}\Omega_S = n^2\, \mathrm{d}S \cos \theta_S \frac{\mathrm{d}\Sigma \cos \theta_\Sigma}{d^2}\,,

여기서 dΩ_S는 면적 dS에 의해 정의된 입체각이다. 이러한 표현식은 다음과 같은 결과를 낳는다.

\mathrm{d}G_\Sigma = \mathrm{d}G_S\,,

이는 빛이 자유 공간에서 전파될 때 에텐듀가 보존됨을 보여준다.

전체 시스템의 에텐듀는 다음과 같다.

G = \int_\Sigma\!\int_S \mathrm{d}G\,.

만약 두 표면 dΣ와 dS가 공기(또는 진공)에 잠겨 있다면, n = 1이고, 에텐듀는 다음과 같이 시야율을 이용하여 표현할 수 있다.

\mathrm{d}G = \pi\, \mathrm{d}\Sigma\, F_{\mathrm{d}\Sigma \rarr \mathrm{d}S}\,,

여기서 F_dΣ→dS는 미분 표면 dΣ와 dS 사이의 시야율이다.

3. 에텐듀 보존

에텐듀는 자유 공간, 굴절, 반사 등에서 보존되는 물리량이다. 광학계 내에서 빛이 전반사 또는 굴절을 겪을 때도 에텐듀는 보존된다. 하지만 빛이 확산기를 만나면 입체각이 증가하면서 에텐듀도 증가한다.

에텐듀는 일정하게 유지되거나 증가할 수 있지만, 감소하는 경우는 없다. 이는 엔트로피 증가의 결과 중 하나이다. 예를 들어, 돋보기는 햇빛의 강도를 증가시킬 수 있지만, 빛이 집중되는 지점에서 볼 때 태양의 겉보기 크기가 증가하여 에텐듀는 보존된다.

에텐듀 보존은 해밀턴 광학, 열역학 제2법칙 등 다양한 맥락에서 유도될 수 있다.^[2] 열역학적 관점에서 에텐듀는 엔트로피의 일종으로 볼 수 있다.

자유 공간에서의 에텐듀 보존은 시야율에 대한 상호성 정리와 관련이 있다.

3. 1. 굴절 및 반사

에텐듀는 굴절률이 다른 두 매질 사이의 경계면에서 굴절되거나 반사될 때 보존된다.^[2]

그림 "굴절에서의 에텐듀"는 굴절률이 각각 n_Σ 와 n_S 인 두 매질을 분리하는 x-y 평면 상의 매우 작은 면 dS를 보여준다.

dS에 대한 법선은 z-축 방향을 가리킨다. 입사광은 입체각 dΩ_Σ로 제한되며 법선에 대해 θ_Σ 각도로 dS에 도달한다. 굴절광은 입체각 dΩ_S로 제한되며 법선에 대해 θ_S 각도로 dS를 떠난다. 입사광과 굴절광의 방향은 x-축에 대해 φ 각도를 이루는 평면에 포함되어 있으며, 이는 이러한 방향을 구면 좌표계에서 정의한다. 이러한 정의를 통해, 굴절의 스넬의 법칙은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:n_Σ sin θ_Σ = n_S sin θ_S

θ에 대해 미분하면 다음과 같다.

:n_Σ cos θ_Σ dθ_Σ = n_S cos θ_S dθ_S

위 두 식을 서로 곱하면

:n_Σ² cos θ_Σ (sin θ_Σ dθ_Σ dφ) = n_S² cos θ_S (sin θ_S dθ_S dφ)

여기서, 방정식의 양변은 굴절 시 변경되지 않는 dφ로 곱해졌다. 이 식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:n_Σ² cos θ_Σ dΩ_Σ = n_S² cos θ_S dΩ_S

양변에 dS를 곱하면 다음과 같다.

:n_Σ² dS cos θ_Σ dΩ_Σ = n_S² dS cos θ_S dΩ_S

즉,

:dG_Σ = dG_S

이는 dS에서 굴절된 빛의 에텐듀가 보존됨을 보여준다. 같은 결과가 표면 dS에서의 반사의 경우에도 유효하며, 이 경우 n_Σ = n_S 및 θ_Σ = θ_S.

3. 2. 밝기 정리

선형 광학 시스템은 광원에서 방출되는 빛의 밝기를 그 광원의 표면 밝기보다 높은 값으로 증가시킬 수 없다.^[10]

4. 기본 휘도 보존

표면의 휘도는 에텐듀와 다음과 같은 관계를 갖는다.^[1]

:

여기서

는 방출, 반사, 투과 또는 수신되는 복사속이다.
은 해당 표면이 잠겨있는 굴절률이다.
는 광선의 에텐듀이다.

빛이 이상적인 광학 시스템을 통과할 때 에텐듀와 복사속 모두 보존된다. 따라서 다음과 같이 정의되는 ''기본 휘도''는 보존된다.^[11]

:

실제 시스템에서는 산란이나 흡수 등으로 인해 에텐듀가 증가하거나 복사속이 감소하여 기본 휘도가 감소할 수 있다. 그러나 에텐듀는 감소할 수 없으며 복사속은 증가할 수 없으므로, 기본 휘도는 증가할 수 없다.

5. 위상 공간에서의 에텐듀

해밀턴 광학에서 광선은 위치 벡터 r = (''x'', ''y'', ''z'')와 광학적 모멘텀 p = (p, q, r)로 정의된다. 여기서 광학적 모멘텀은 굴절률 ''n''과 방향 코사인(cos ''α'', cos ''α'', cos ''α'')으로 표현된다.

구면 좌표계에서 p는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathbf{p} = n\!\left(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta \right)\,,

이를 통해 다음을 얻는다.

:

\mathrm{d}p\, \mathrm{d}q = \frac{\partial(p, q)}{\partial(\theta, \varphi)} \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi = \left(\frac{\partial p}{\partial \theta} \frac{\partial q}{\partial \varphi} - \frac{\partial p}{\partial \varphi} \frac{\partial q}{\partial \theta}\right) \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi = n^2 \cos \theta \sin \theta\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi = n^2 \cos \theta\, \mathrm{d}\Omega\,,

따라서 굴절률 ''n''인 매질 속 ''xy''-평면의 미소 면적 d''S'' = d''x'' d''y''에 대한 에텐듀는 다음과 같이 표현된다.

:

\mathrm{d}G = n^2\, \mathrm{d}S \cos \theta\, \mathrm{d}\Omega = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\, \mathrm{d}p\, \mathrm{d}q\,,

이는 위상 공간 ''x'', ''y'', ''p'', ''q''의 미소 부피(dx dy dp dq)를 나타낸다. 위상 공간에서 에텐듀가 보존된다는 것은 광학에서 리우빌 정리와 같다.^[2] 이러한 위상 공간에서의 부피로서의 에텐듀 표현은 비영상 광학에서 주로 사용된다.

6. 최대 농도

굴절률 $n$ 인 매질에서 각도 $\alpha$ 의 원뿔 내 빛을 교차하는 표면 dS의 에텐듀는 다음과 같이 주어진다.^[2]

: $\mathrm{d}G = \pi\, \mathrm{d}S\, \mathrm{NA}^2\,.$

여기서 NA는 수치 구경이다. 광학 장치의 최대 농도는 다음과 같이 주어진다.^[2]^[3]

: $C_\mathrm{max} = \frac{n^2}{\sin^2 \alpha}\,.$

비영상 광학에서 에텐듀 개념은 집광기의 최대 효율을 계산하는 데 사용된다.

입사 지수가 1이 아닌 경우, 최대 농도는 다음과 같다.

: $C_\mathrm{max} = \frac{n_\mathrm{r}^2}{\mathrm{NA}_\mathrm{i}^2}\,.$

참조

_[1] 웹사이트 Optical extent / Etendue https://cie.co.at/ei[...] International Commission on Illumination 2022-02-19
_[2] 서적 Introduction to Nonimaging Optics https://books.google[...] CRC Press 2015
_[3] 서적 Nonimaging Optics Academic Press 2004
_[4] 서적 Projection Displays John Wiley & Sons 2008
_[5] Lecture notes Basic Optics: Radiance http://www.physics.c[...] College of Saint Benedict and Saint John's University
_[6] 서적 The International System of Units (SI) Brochure https://www.bipm.org[...] International Bureau of Weights and Measures
_[7] 서적 Photographie https://fr.wikibooks[...] Wikibooks 2009-01-27
_[8] 간행물 Beating the optical Liouville theorem: How does geometrical optics know the second law of thermodynamics? http://proceedings.s[...] 2009-08-20
_[9] 간행물 The thermodynamics of optical étendue https://iopscience.i[...] 2008-01-01
_[10] 서적 Photonics and Lasers: An Introduction Wiley Science Library 2022-09-13
_[11] 서적 Introduction to Radiometry and Photometry Artech House 1994
_[12] 문서 Lecture notes on Radiance http://www.physics.c[...]
_[13] 서적 Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition https://books.google[...] CRC Press
_[14] 서적 Introduction to Nonimaging Optics, Second Edition https://books.google[...] CRC Press
_[15] 서적 Projection Displays John Wiley & Sons Ltd 2008

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