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일반화 (논리학)

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목차

1. 개요

일반화는 논리학에서 특정 진술로부터 더 일반적인 진술을 도출하는 추론 규칙을 의미한다. 전칭 일반화 규칙은 가설을 허용하는 경우 몇 가지 제한을 받는데, 이는 건전성을 확보하기 위함이다. 이러한 제한 조건은 특정 변수가 가설에 언급되지 않아야 하며, 일반화하려는 공식에 나타나지 않아야 함을 의미한다. 일반화 규칙을 이용한 증명 예시가 제시되며, 추론 정리 적용 가능 조건이 설명된다.

2. 가설을 사용한 일반화

턴스타일 왼쪽에 가설을 포함하는 전칭 일반화 규칙은 건전성을 보장하기 위해 몇 가지 제한 조건이 따른다. \Gamma를 공식 집합, \varphi를 공식이라고 가정하고 \Gamma \vdash \varphi(y)가 유도되었다고 가정할 때, 일반화 규칙은 다음 조건 하에 \Gamma \vdash \forall x \, \varphi(x)를 유도할 수 있다고 명시한다.


  • y는 \Gamma에 언급되지 않아야 한다.
  • x는 \varphi에 나타나지 않아야 한다.


이러한 제한이 없다면 가설에서 옳지 않거나 모순된 결론을 도출할 수 있다.

2. 1. 제한 조건

\Gamma \vdash \varphi(y)가 유도되었다고 가정할 때, \Gamma는 논리식 집합이고, \varphi는 논리식이다. 일반화 규칙이 적용되려면 다음 두 가지 제한 조건이 필요하다.

  • y는 \Gamma에서 언급되지 않아야 한다.
  • x는 \varphi에 나타나지 않아야 한다.


이러한 제한 조건은 추론의 건전성을 보장하기 위해 필요하다. 첫 번째 제한 조건이 없다면, 가설 P(y)에서 \forall x P(x)를 결론 내릴 수 있게 된다. 예를 들어, "y는 사람이다"라는 가설에서 "모든 x는 사람이다"를 결론 내릴 수 있게 되는데, 이는 옳지 않다.

두 번째 제한 조건이 없다면 다음과 같은 잘못된 추론이 가능해진다.

1. \exists z \, \exists w \, ( z \not = w) (가설)

2. \exists w \, (y \not = w) (존재 예시화)

3. y \not = x (존재 예시화)

4. \forall x \, (x \not = x) (잘못된 보편적 일반화)

이는 \exists z \, \exists w \, ( z \not = w) \vdash \forall x \, (x \not = x)를 보여주는 것으로, "서로 다른 z와 w가 존재한다"는 가설에서 "모든 x는 자기 자신과 같지 않다"는 모순된 결론을 도출하는 잘못된 추론이다.

2. 2. 제한 조건의 필요성

이러한 제한은 건전성을 위해 필요하다. 첫 번째 제한이 없으면 가설 P(y)에서 \forall x P(x)를 결론지을 수 있다. 두 번째 제한이 없으면 다음과 같은 추론을 할 수 있다.[1]

# \exists z \, \exists w \, ( z \not = w) (가설)

# \exists w \, (y \not = w) (존재 예시화)

# y \not = x (존재 예시화)

# \forall x \, (x \not = x) (잘못된 보편적 일반화)

이것은 \exists z \, \exists w \, ( z \not = w) \vdash \forall x \, (x \not = x)를 보여주는 것으로, 이는 건전하지 않은 추론이다. y가 \Gamma에 언급되지 않으면 \Gamma \vdash \forall y \, \varphi(y)가 허용된다는 점에 유의해야 한다 (두 번째 제한은 \varphi(y)의 의미 구조가 변수의 대체에 의해 변경되지 않으므로 적용될 필요가 없다).[1]

3. 증명의 예시

전칭 일반화를 사용하여 \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) 를 증명하는 예시는 다음과 같다. 이 증명은 \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) 와 \forall x \, P(x) 로부터 유도될 수 있다. 증명 과정은 "증명 과정" 하위 섹션에 상세히 기술되어 있다.

3. 1. 증명 과정

\forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) 는 \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) 와 \forall x \, P(x) 로부터 유도될 수 있다. 증명 과정은 다음과 같다.

증명
단계공식근거
1 \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) 가설
2 \forall x \, P(x) 가설
3 (\forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x))) \rightarrow (P(y) \rightarrow Q(y)) (1)에서 전칭 예화에 의해
4 P(y) \rightarrow Q(y) (1)과 (3)에서 전건 긍정에 의해
5 (\forall x \, P(x)) \rightarrow P(y) (2)에서 전칭 예화에 의해
6 P(y) \ (2)와 (5)에서 전건 긍정에 의해
7 Q(y) \ (6)과 (4)에서 전건 긍정에 의해
8 \forall x \, Q(x) (7)에서 일반화에 의해
9 \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)), \forall x \, P(x) \vdash \forall x \, Q(x) (1)부터 (8)까지 요약
10 \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \vdash \forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x) (9)에서 추론 정리에 의해
11 \vdash \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) (10)에서 추론 정리에 의해



이 증명에서 8단계에서 전칭 일반화가 사용되었다. 추론 정리는 이동되는 공식에 자유 변수가 없기 때문에 10단계와 11단계에서 적용 가능했다.

참조

[1] 문서 Copi and Cohen
[2] 문서 Hurley
[3] 문서 Moore and Parker
[4] 문서 Copi and Cohen
[5] 문서 Hurley
[6] 문서 Moore and Parker
[7] 서적 A mathematical introduction to logic Academic Press(Elsevier) 2002


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