절단오차

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1. 개요
2. 무한 급수
- 2.1. 예시: 지수 함수
- 2.2. 예시: 등비 급수
3. 미분
- 3.1. 예시: 다항 함수
4. 적분
- 4.1. 예시: 다항 함수
5. 덧셈
6. 추가 정보 (한국의 관점)
참조

1. 개요

절단 오차는 수학적 계산에서 무한한 과정을 유한하게 제한하거나, 컴퓨터의 유한한 정밀도로 인해 발생하는 오차를 의미한다. 무한 급수의 경우, 무한히 많은 항을 모두 계산할 수 없으므로 유한한 개수의 항만 사용하여 근사값을 구하면서 절단 오차가 발생한다. 미분에서는 극한을 사용하여 도함수를 정의하지만, 수치적으로 계산할 때는 유한한 h 값을 사용해야 하므로 절단 오차가 발생한다. 적분 역시 무한 개의 직사각형을 사용하여 면적을 구하는 것을 유한 개수로 제한하면서 절단 오차가 발생하며, 컴퓨터에서 매우 큰 수와 작은 수를 더할 때 유한 정밀도로 인해 절단 오차가 발생할 수 있다.

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절단오차
개요
정의	참값과 수치적인 방법으로 얻은 근삿값 사이의 차이
발생 원인	수학적인 문제의 해를 유한 번의 계산으로 구하는 과정에서 발생
관련 오차	반올림 오차 이산화 오차
상세 내용
설명	절단 오차는 수학적 모델을 근사하는 데 사용되는 알고리즘에서 발생하는 오차임. 예를 들어, 무한 급수를 유한 개의 항으로 근사하거나, 미분방정식을 유한 차분으로 근사할 때 발생함.
예시	테일러 급수를 사용하여 함수를 근사할 때, 무한 개의 항을 모두 사용할 수 없으므로 유한 개의 항만 사용하여 함수를 근사하게 됨. 이 과정에서 발생하는 오차가 절단 오차임.
절단 오차 감소 방법	더 많은 항을 사용 더 정확한 알고리즘 사용
중요성	수치 해석에서 중요한 오차 원인 중 하나임. 절단 오차를 이해하고 제어하는 것은 정확하고 신뢰할 수 있는 수치 결과를 얻는 데 필수적임.

2. 무한 급수

무한 급수는 무한히 많은 항을 더하는 수식이다. 실제 계산에서는 무한 번 더할 수 없으므로, 유한한 개수의 항만 사용하여 근사값을 구한다.

예를 들어, $e^x$ 에 대한 무한 급수는 다음과 같다.

: $e^x=1+ x+ \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!}+ \cdots$

이 급수의 모든 항을 계산하는 것은 불가능하므로, 유한한 수의 항만 사용하여 $e^x$ 의 근사값을 구한다. 예를 들어, 처음 세 개의 항만 사용하면 다음과 같은 근사식을 얻을 수 있다.

: $e^x\approx 1+x+ \frac{x^2}{2!}$

이 경우, 절단 오차는 $\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+ \cdots$ 이다.

또 다른 예로, 다음 무한 등비수열을 생각해 보자.

: $S = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \qquad \left|x\right|<1.$

이 수열의 처음 세 항만 사용하여 ''x'' = 0.75일 때 절단 오차를 구하면 다음과 같다.

: $\begin{align}S_3 &= \left(1+x+x^2\right)_{x=0.75} \\& = 1+0.75+\left(0.75\right)^2 \\&= 2.3125\end{align}$

무한 등비수열의 합은 다음과 같이 주어진다.

: $S = \frac{a}{1-r}$

위 수열에서 ''a'' = 1, ''r'' = 0.75이므로,

: $S=\frac{1}{1-0.75}=4$

따라서 절단 오차는 다음과 같다.

: $\mathrm{TE} = 4 - 2.3125 = 1.6875$

2. 1. 예시: 지수 함수

2. 2. 예시: 등비 급수

3. 미분

함수의 정확한 1차 도함수는 다음과 같이 극한을 사용하여 정의된다.

: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

그러나 수치적으로 도함수를 계산하는 경우, $h$ 는 유한해야 한다. $h$ 를 유한하게 선택함으로써 발생하는 오차는 미분이라는 수학적 과정에서 절단 오차이다.

예를 들어 $f(x)=5x^3$ 의 1차 도함수를 $x=7$ 에서 단계 크기 $h=0.25$ 를 사용하여 계산할 때, 정확한 도함수는 $f'(x) = 15x^2$ 에 따라 $f'(7) = 735$ 이다.

근사값은 다음과 같이 계산된다.

: $f'(7) = \frac{f(7+0.25)-f(7)}{0.25} = 761.5625$

따라서 절단 오차는 다음과 같다.

: $\mathrm{TE} = 735 - 761.5625 = -26.5625$

3. 1. 예시: 다항 함수

4. 적분

정적분은 함수의 그래프와 x축 사이의 면적을 나타내며, 리만 합의 극한으로 정의된다. 수치 적분에서는 무한 개의 직사각형 대신 유한 개의 직사각형을 사용하여 면적의 근사값을 계산한다. 이 과정에서 절단 오차가 발생한다.

실수 $\Reals$ 의 닫힌 구간 $[a,b]$ 에서 정의된 함수 $f: [a,b] \to \Reals$ 에 대해,

$P = \left \{[x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots,[x_{n-1},x_n] \right \},$

를 ''I''의 분할이라고 하면,

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b.$

$\int_{a}^b f(x) \, dx = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\, \Delta x_i$

여기서 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 이고 $x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$ 이다.

이는 무한 개의 직사각형을 사용하여 곡선 아래의 면적을 구하는 것을 의미한다. 그러나 수치적으로 적분을 계산하는 경우, 유한 개의 직사각형만 사용할 수 있다. 무한 개의 직사각형 대신 유한 개의 직사각형을 선택하여 발생하는 오차가 적분 과정에서 절단 오차이다.

예를 들어

$\int_{3}^{9}x^{2}{dx}$

에서 두 개의 구간을 가진 왼쪽 리만 합을 동일한 구간 너비로 사용할 경우, 정확한 값은 다음과 같다.

$\begin{align}\int_{3}^{9}{x^{2}{dx}} &= \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{3}^{9} \\& = \left[ \frac{9^{3} - 3^{3}}{3} \right] \\& = 234\end{align}$

두 개의 직사각형을 사용하여 근사값을 계산하면 다음과 같다.

$\begin{align}\int_3^9 x^2 \, dx &\approx \left. \left(x^2\right) \right|_{x = 3}(6 - 3) + \left. \left(x^2\right) \right|_{x = 6}(9 - 6) \\& = (3^2)3 + (6^2)3 \\&= 27 + 108 \\&= 135\end{align}$

따라서 절단 오차는 다음과 같다.

$\begin{align}\text{절단 오차} &= \text{정확한 값} - \text{근사 값} \\&= 234 - 135 \\&= 99.\end{align}$

4. 1. 예시: 다항 함수

5. 덧셈

컴퓨터는 유한한 정밀도로 숫자를 표현하기 때문에, 매우 큰 수와 매우 작은 수를 더할 때 절단 오차가 발생할 수 있다. 예를 들어, $A = -10^{25}, B = 10^{25}, C = 1$ 일 때, $(A+B)+C$ 와 $A+(B+C)$ 의 계산 결과가 다를 수 있다. 이는 컴퓨터가 매우 큰 정수의 낮은 자릿수를 저장하지 못하기 때문이다. 이러한 문제는 정보 불균형 및 데이터 손실에 대한 사회적 논의와 연결될 수 있다.

6. 추가 정보 (한국의 관점)

참조

_[1] 서적 An Introduction to Numerical Analysis https://www.worldcat[...] Wiley 1989
_[2] 서적 Introduction to Numerical Analysis https://www.worldcat[...] Recording for the Blind & Dyslexic 2002
_[3] 서적 학산미디어 2013

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