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큐-팩토리얼

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목차

1. 본문

큐-팩토리얼(q-factorial)은 일반적인 팩토리얼(계승)의 q-아날로그(q-analog)입니다. 즉, 특정 분야에서 사용되는 팩토리얼의 변형된 형태라고 생각할 수 있습니다.
정의


  • 수학적 정의: 큐-팩토리얼은 다음과 같이 정의됩니다.
  • [n]_q! = (1-q)(1-q^2)...(1-q^n) / (1-q)^n
  • [n]_q! = (q;q)_n / (1-q)^n (여기서 (q;q)_n 은 q-포흐하머 기호(q-Pochhammer symbol)입니다.)
  • [k]_q! = 1(1+q)(1+q+q^2)...(1+q+...+q^(k-1))

  • Wolfram Language: 큐-팩토리얼은 `QFactorial[n, q]`로 구현되어 있습니다.

계산 예시

  • [1]_q! = 1
  • [2]_q! = 1 + q
  • [3]_q! = (1+q)(1+q+q^2)

q-감마 함수(q-gamma function)와의 관계

  • k가 자연수일 때, [k]_q! = Gamma_q(k+1) 와 같이 q-감마 함수로 표현할 수 있습니다.

다른 표기법

  • 경우에 따라, 큐-팩토리얼은 ∏_(i=1)^n (q^i - 1) / (q - 1) 로 표현되기도 합니다.

주요 특징

  • 큐-팩토리얼은 조합론, 양자 미적분학 등의 분야에서 활용됩니다.
  • 일반 팩토리얼 함수의 점화식과 비슷한 점화식을 가집니다.
  • 재귀 함수 또는 반복문을 사용하여 구현할 수 있습니다.



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