크로네커 보조정리
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1. 본문
크로네커 보조정리(Kronecker's lemma)는 무한 급수의 수렴과 수열의 수렴 사이의 관계에 대한 정리입니다. 주로 큰 수의 법칙(law of large numbers)과 같은 확률 이론의 정리 증명에 사용됩니다.
크로네커 보조정리의 내용크로네커 보조정리는 여러 형태로 나타낼 수 있는데, 일반적인 형태는 다음과 같습니다.
- {an}이 실수 수열이고, ∑an 이 수렴한다고 가정합니다.
- {bn}은 0 < b1 ≤ b2 ≤ b3 ... 와 같이 증가하는 양의 실수 수열이고, bn → ∞ (n → ∞)라고 가정합니다.
이때, 다음이 성립합니다.
1/bn * ∑(k=1 to n) (bk * ak) → 0 (n → ∞)
다른 표현
- 만약 ∑xn 이 수렴하고, {an}이 양수이고 단조증가하며 무한대로 발산하는 수열이면, (1/an) * ∑(k=1 to n) akxk = 0 입니다.
- ∑an 이 수렴하고 {pn}이 증가하는 양의 실수들의 수열이고 pn이 무한대로 갈 때, (1/pn)∑(k=1 to n)pkak = 0.
정리의 의미이 정리는 수렴하는 급수의 항들이 0으로 수렴하는 "속도"가 충분히 빨라야 함을 의미하며, 큰 수의 법칙을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.
증명크로네커 보조정리의 증명은 아벨 변환(Abel transformation)과 슈톨츠-체사로 정리(Stolz–Cesàro theorem)를 사용하여 수행할 수 있습니다.
응용
- 확률론에서 강한 대수의 법칙(strong law of large numbers) 증명
- 확률 변수 수열의 연구
- 반대 명제는 {an}이 유계일 때, Hlawka et al에 의해 부분적으로 주어졌고, 여러 응용이 있습니다.
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