겔폰트-슈나이더 상수

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1. 개요
2. 성질
3. 힐베르트의 7번째 문제
참조

1. 개요

겔폰트-슈나이더 상수는 무리수를 무리수 거듭제곱하면 유리수가 될 수 있음을 증명하는 데 사용되는 수이다. 이 상수의 제곱근은 초월수이며, $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \approx 1.63252691943815284477...$ 이다. 1900년 힐베르트가 제기한 23가지 문제 중 일곱 번째 문제의 일부는 대수적인 a ≠ 0, 1이고 무리수 대수 b에 대해 a^b가 항상 초월수임을 증명하거나 반례를 찾는 것이었다. 겔폰트와 슈나이더는 임의의 대수적 무리수 b에 대해 이 상수가 초월수임을 증명했다.

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겔폰트-슈나이더 상수
기본 정보
명칭	겔폰트-슈나이더 상수
로마자 표기	Gelponteu-Syunaideo Sangu
값	2.6651441426902251886502972498731
성질	초월수

2. 성질

겔폰트-슈나이더 상수의 제곱근은 초월수이다.

: $\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \approx$ 1.63252691943815284477...

이 상수는 "무리수를 무리수 거듭제곱하면 유리수가 될 수 있다"는 것을 증명하는 데 사용될 수 있다. 증명은 다음과 같다. $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ 가 유리수이거나 무리수라면,

: $\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\sqrt{2}^2=2$

는 무리수를 무리수 거듭제곱하여 유리수가 되는 경우이다.^[4]^[5] 이 증명은 두 경우 중 어느 것이 참인지 말하지 않기 때문에 구성적이지는 않다.

3. 힐베르트의 7번째 문제

1900년에 제기된 힐베르트의 23가지 문제 중 일곱 번째 문제는, a ≠ 0, 1이고 b가 무리수인 대수적 수일 때, a^b가 항상 초월수임을 증명하거나 반례를 찾는 것이었다. 힐베르트는 연설에서 두 가지 명시적인 예를 제시했는데, 그 중 하나가 겔폰트-슈나이더 상수 2^√2였다.

1919년 힐베르트는 수론에 대한 강의를 하면서 리만 가설, 페르마의 마지막 정리, 그리고 2^√2의 초월성, 이 세 가지 추측에 대해 이야기했다. 그는 청중에게 이 결과(2^√2의 초월성)에 대한 증명을 볼 만큼 오래 살 사람은 없을 것이라고 언급했다.^[6] 그러나 1930년 쿠즈민이 이 수의 초월성을 증명했으며,^[2] 이는 힐베르트가 살아있는 동안이었다. 쿠즈민은 지수 b가 실수 이차 무리수인 경우를 증명했으며, 이는 나중에 겔폰트와 슈나이더에 의해 임의의 대수적 무리수 b로 확장되었다.

참조

_[1] 서적 What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods Oxford University Press
_[2] 논문 On a new class of transcendental numbers http://mi.mathnet.ru[...]
_[3] 논문 Sur le septième Problème de Hilbert http://mi.mathnet.ru[...]
_[4] 논문 Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational
_[5] 논문 Irrational numbers
_[6] 간행물 Natur und mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920

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