초월수

3. 특성

초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 모든 유리수는 대수적 수이므로, 초월수는 무리수이다. 상수가 아닌 일변수 대수함수에 초월수를 대입하면 초월수를 얻는다. 계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다. 모든 리우빌 수는 초월수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.^[79]

구체적으로 살펴보면, 초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 유리 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다. 그러나 칸토어는 대각선 논법을 통해 실수(그리고 복소수)가 셀 수 없다는 것을 증명했다.^[80][81] 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다.

어떠한 유리수도 초월수가 아니며 모든 초월실수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실초월수와 대수적 수의 부분집합을 포함한다.

상수가 아닌 일변수 대수적 함수에 초월수를 대입하면 초월수를 얻는다. 예를 들어 π가 초월수라는 것부터 , , π과 관련된 여러 수들이 초월수임을 알 수 있다.

그러나 다변수 대수적 함수는 초월수를 대입했을 때 대수적 수를 값으로 가질 수도 있다. 예를 들어 π와 (1 - π)는 둘 다 초월적이지만 π + (1 - π) = 1은 그렇지 않다. + e가 초월적인지는 알 수 없지만, + e와 πe 가운데 적어도 하나는 초월수인 것이 알려져 있다. 더 일반적으로 어떤 두 초월수 a와 b에 대해, 적어도 a + b와 ab 가운데 하나는 초월수여야 한다. 그 이유는 다항식 (x - a)(x - b) = x² - (a + b)x + ab를 고려해보면 알 수 있다. 만약 (a + b)와 ab가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 대수적으로 닫힌 체를 형성하기 때문에 다항식의 근인 a와 b가 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이것은 가정과 모순이므로, 적어도 하나의 계수가 초월수라는 것을 알 수 있다.

계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다. 모든 리우빌 수는 초월수이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 무한 연분수 전개에서 부분적인 몫의 상계가 없어야 한다. 대각선 논법을 사용하면 무한 연분수 전개시 부분적인 몫의 상계가 있는 (따라서 리우빌 수도 아니다.) 초월수가 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

e의 명시적인 무한 연분수 전개를 사용하여 e가 리우빌 수가 아니라는 것을 보일 수 있다. (비록 연분수 전개의 부분적인 몫은 상계가 없지만). 쿠르트 말러는 1953년에 π 또한 리우빌 수가 아니라는 것을 증명했다.^[84]

4. 초월수로 입증된 수

• ''e''^''a''영어 (단, 는 0이 아닌 대수적 수) (린데만-Karl Weierstraß|바이어슈트라스^de 정리).
• π (린데만-Karl Weierstraß|바이어슈트라스^de 정리).
• ''e''^''π''영어 (겔폰트 상수) (겔폰트-Theodor Schneider|슈나이더^de 정리).
• (단, 는 0이나 1이 아닌 대수적 수, 는 대수적 무리수) (겔폰트-Theodor Schneider|슈나이더^de 정리). 특히, 는 겔폰트-슈나이더 상수이다.
• 0이 아닌 대수적 수 에 대한 , , 및 이들의 쌍곡선 함수 (린데만-Karl Weierstraß|바이어슈트라스^de 정리).
• 코사인 함수의 고정점, 즉 방정식의 실수해 (린데만-Karl Weierstraß|바이어슈트라스^de 정리).^[85]
• (단, 는 0 또는 1이 아닌 대수적 수) (린데만-Karl Weierstraß|바이어슈트라스^de 정리).
• (단, 와 가 같은 정수가 아닌 경우) (겔폰트-Theodor Schneider|슈나이더^de 정리).
• (단, 는 0이 아닌 대수적 수) (린데만-Karl Weierstraß|바이어슈트라스^de 정리).
• (자연수의 제곱 초근은 정수이거나 초월수) (겔폰트-Theodor Schneider|슈나이더^de 정리).
• ,^[86] ,^[87] .^[87]
• 카앵 상수^[88]
• 챔퍼나운 수^[89][90]
• (차이틴 상수, 계산 불가능한 수).^[91]
• 프레드홀름 상수^[77][92][93]
• 가우스 상수
• 2개의 렘니스케이트 상수 과
• 리우빌 상수
• 프루에-튀에-모르스 상수^[95][96]
• 코모르니크-로레티 상수

4. 1. 특수 함수 관련 초월수

5. 초월수일 가능성이 있는 수

π^영어(원주율)과 e^영어(자연로그의 밑) 사이의 사칙연산 및 거듭제곱으로 표현되는 , , , , , , , , 등은 유리수인지, 무리수인지, 초월수인지 여부가 아직 밝혀지지 않았다.^[101] 다만, }(모든 양의 정수 에 대해)는 초월수임이 증명되었다.^[101]

오일러-마스케로니 상수 는 2010년에 를 포함하는 무한한 수의 목록 중 하나를 제외하고 모두 초월수여야 한다는 것이 증명되었다.^[102][103] 2012년에는 와 오일러-곰페르츠 상수 중 적어도 하나가 초월수라는 것이 밝혀졌다.^[104]

카탈랑 상수, 킨친 상수는 아직 무리수 여부조차 증명되지 않았다.

아페리 상수 는 로제 아페리가 무리수임을 증명했지만, 리만 제타 함수의 다른 홀수 정수 값인 , 등은 무리수인지조차 증명되지 않았다.

파이겐바움 상수 와 , 밀스 상수, 코플랜드 에르되시 상수 역시 무리수인지 여부가 밝혀지지 않았다.

6. 대수적 독립성

여러 개의 초월수가 대수적 독립인 경우들이 알려져 있다. 다음은 그 예시이다.

• $\backslash alpha\_1,\backslash \; \backslash alpha\_2,\backslash cdots,\backslash \; \backslash alpha\_n$을 유리수체 상에서 선형 독립인 대수적 수라고 할 때, $e^\{\backslash alpha\_1\},\backslash \; e^\{\backslash alpha\_2\},\backslash cdots,\backslash \; e^\{\backslash alpha\_n\}$은 대수적으로 독립이다. (린데만-바이어슈트라스 정리)
• $\backslash scriptstyle\; \backslash pi,\backslash \; \backslash Gamma(\backslash tfrac\{1\}\{4\})$ 및 $\backslash scriptstyle\; \backslash pi,\backslash \; \backslash Gamma(\backslash tfrac\{1\}\{3\})$는 각각 대수적으로 독립이다. (추드노프스키)
• $\backslash scriptstyle\; \backslash pi,\backslash \; e^\backslash pi,\backslash \; \backslash Gamma(\backslash tfrac\{1\}\{4\})$는 대수적으로 독립이다. (네스테렌코)
• 대수적 수 를 $\backslash tfrac\{\backslash alpha\_i\}\{\backslash alpha\_j\}$가 1의 거듭제곱근이 아닌 것처럼 취했을 때, $\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\backslash infty\; \{\backslash alpha\_1\}^\{-k!\},\backslash cdots,\backslash \; \backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\backslash infty\; \{\backslash alpha\_n\}^\{-k!\}$는 대수적으로 독립이다. (니시오카)
• 서로 다른 2 이상의 정수 $\backslash scriptstyle\; d\_1,\backslash cdots,\backslash \; d\_n$과 인 대수적 수 $\backslash scriptstyle\; \backslash alpha$에 대해, $\backslash textstyle\backslash sum\backslash limits\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash alpha^$를 포함한 다양한 수가 대수적으로 독립이 될 것으로 예상된다. 그러나, 위의 수 중 $e^e,\backslash \; \backslash pi^\backslash pi,\backslash \; \backslash pi^e,\backslash \; \backslash pi^i,\backslash \; 2^\{\backslash pi\},\backslash \; 2^e,\backslash \; \backslash log\backslash pi,\backslash \; \backslash log\backslash log\; 2,\backslash \; (\backslash log\; 2)^\{\backslash log\; 3\}$는 그 자체가 초월수인지 여부조차 아직 밝혀지지 않았다.

7. 마르의 분류

:$w(\backslash alpha)\; =\; \backslash limsup\_\{n\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{w\_n(\backslash alpha)\}\{n\}$

로 하여, $w(\backslash alpha)$를 정의한다. 이때, $\backslash scriptstyle\; 0\backslash le\; w(\backslash alpha)\backslash le\backslash infty$가 성립한다.

또한, $\backslash scriptstyle\; \backslash mu(\backslash alpha)\; =\; \backslash inf\backslash \{\; n\; |\; w\_n(\backslash alpha)\; =\; \backslash infty\; \backslash \}$로 한다. 단, 의 경우, $\backslash scriptstyle\; \backslash mu(\backslash alpha)\; =\; \backslash infty$로 한다.

이 $w(\backslash alpha)$와 $\backslash mu(\backslash alpha)$를 사용하여 복소수를 다음과 같이 분류한다.

• $\backslash alpha$는, ''A'' 수 (A-number)이다. $:\backslash Leftrightarrow\; w(\backslash alpha)\; =\; 0,\backslash \; \backslash mu(\backslash alpha)\; =\; \backslash infty$.
• $\backslash alpha$는, ''S'' 수 (S-number)이다. .
• $\backslash alpha$는, ''T'' 수 (T-number)이다. $:\backslash Leftrightarrow\; w(\backslash alpha)\; =\; \backslash infty,\backslash \; \backslash mu(\backslash alpha)\; =\; \backslash infty$.
• $\backslash alpha$는, ''U'' 수 (U-number)이다. .

• ''A'' 수, ''S'' 수, ''T'' 수, ''U'' 수로 이루어진 집합은 모두 공집합이 아니다.
• $\backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$를 대수적 종속인 복소수로 했을 때, $\backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$는 같은 클래스(같은 분류의 수)이다.
• ''A'' 수는 대수적 수 전체의 집합과 같다.
• 거의 모든^[63] 복소수는 ''S'' 수이다.
• *더욱이, 거의 모든 실수는 타입^[64] 1의 ''S'' 수이며, 거의 모든 복소수는 타입 1/2의 ''S'' 수이다.
• 모든 리우빌 수는 ''U'' 수이다.
• 임의의 정수 $n$에 대해, $\backslash mu(\backslash alpha)\; =\; n$을 만족하는 ''U'' 수가 존재한다.

• 자연 로그의 밑 는 타입 1의 ''S'' 수이다.
• 는 ''U'' 수가 아니다.
• 챔퍼나운 상수는 ''S'' 수이다.
• 을 1 이외의 양의 유리수라고 할 때, $\backslash log\; r$는 ''U'' 수가 아니다.

8. 초월 척도

transcendence measure^영어는 초월수 $\backslash alpha$에 대해, $T(\backslash alpha,\; n,\; H)$를 $\backslash scriptstyle\; n\backslash ge\; 1,\backslash \; H\backslash ge\; 1$로 정의된 실숫값을 갖는 함수로 정의한다. 여기서 $n$은 차수를, $H$는 계수의 절댓값의 상한을 나타낸다.

다음 부등식을 만족하는 함수 $T(\backslash alpha,\; n,\; H)$를 $\backslash alpha$의 초월 척도라고 한다.

:$|f(\backslash alpha)|\; \backslash ge\; T(\backslash alpha,\; n,\; H)$

여기서 $f$는 0이 아닌 정수 계수 다항식이며, 차수는 $n$ 이하이고 각 계수의 절댓값은 $H$ 이하이다. 이 부등식은 임의의 $\backslash scriptstyle\; n\backslash ge\; 1,\backslash \; H\backslash ge\; 1$에 대해 성립해야 한다.

쿠르트 마일러의 분류에서 주어진 $w\_\{n,H\}(\backslash alpha)$는 초월 척도의 하나이며, 그 정의로부터 최상의 평가를 제공한다.

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