결정계

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1. 개요
2. 결정의 분류
3. 결정 종류 (Crystal classes)
4. 브라베 격자 (Bravais lattices)
5. 다른 차원에서의 결정
- 5.1. 2차원 공간
- 5.2. 4차원 공간
참조

1. 개요

결정계는 결정의 분류 방법 중 하나로, 격자계, 결정족과 함께 사용된다. 결정은 격자계, 결정계, 결정족으로 분류되며, 특히 삼방정계는 마름모면체 격자계와 혼동될 수 있다. 결정계는 동일한 점군 집합을 갖는 격자들의 그룹인 격자계에 점군과 공간군을 할당하여 결정된다. 3차원에는 7개의 격자계, 32개의 결정학적 점군, 230개의 공간군이 존재하며, 14개의 브라베 격자가 7개의 결정계로 분류된다. 또한 2차원 공간과 4차원 공간에서도 결정계를 정의할 수 있다.

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결정계
결정계
영어	Crystal system
일본어	結晶系
설명	결정질 물질의 3차원 구조 기하학에 따른 분류
브라베 격자
종류
삼사정계 (triclinic)	a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
단사정계 (monoclinic)	a ≠ b ≠ c α = γ = 90° ≠ β
사방정계 (orthorhombic)	a ≠ b ≠ c α = β = γ = 90°
정방정계 (tetragonal)	a = b ≠ c α = β = γ = 90°
삼방정계 (trigonal)	a = b = c α = β = γ ≠ 90°
육방정계 (hexagonal)	a = b ≠ c α = β = 90°, γ = 120°
입방정계 (cubic)	a = b = c α = β = γ = 90°
격자 종류
삼사정계	단순 격자
단사정계	단순 격자, 저심 격자
사방정계	단순 격자, 저심 격자, 면심 격자, 체심 격자
정방정계	단순 격자, 체심 격자
삼방정계	단순 격자
육방정계	단순 격자
입방정계	단순 격자, 면심 격자, 체심 격자

2. 결정의 분류

결정은 격자계, 결정계, 결정족의 세 가지 방식으로 분류할 수 있다. 이들 분류는 종종 혼동되는데, 특히 삼방정계는 마름모면체 격자계와 혼동되기도 하고, '결정계'라는 용어가 '격자계' 또는 '결정족'을 의미하는 데 사용되기도 한다.^[1]

2. 1. 격자계 (Lattice system)

결정은 격자계, 결정계, 결정족의 세 가지 방식으로 분류할 수 있다. 이들 분류는 종종 혼동되는데, 특히 삼방정계는 마름모면체 격자계와 혼동되기도 하고, '결정계'라는 용어가 '격자계' 또는 '결정족'을 의미하는 데 사용되기도 한다.^[1]

결정계는 동일한 점군 집합을 갖는 격자들의 그룹이다. 14가지 브라베 격자는 7가지 결정계(삼사정계, 단사정계, 사방정계, 정방정계, 삼방정계, 육방정계, 입방정계)로 분류된다.^[1]

2. 2. 결정계 (Crystal system)

결정은 격자계, 결정계, 결정족의 세 가지 방식으로 분류할 수 있다. 다양한 분류는 종종 혼동되는데, 특히 삼방정계는 마름모면체 격자계와 종종 혼동되며, "결정계"라는 용어는 때때로 "격자계" 또는 "결정족"을 의미하는 데 사용되기도 한다.^[1]

결정계는 점군 자체와 해당하는 공간군이 격자계에 할당되는 점군의 집합이다. 3차원에 존재하는 32개의 결정학적 점군 중 대부분은 하나의 격자계에만 할당되며, 이 경우 결정계와 격자계는 같은 이름을 갖는다. 그러나 5개의 점군은 마름모면체계와 육방정계의 두 격자계에 할당되는데, 이는 두 격자계 모두 3회 회전 대칭을 나타내기 때문이다. 이러한 점군은 삼방정계에 할당된다.^[1]

2. 3. 결정족 (Crystal family)

결정은 격자계, 결정계, 결정족의 세 가지 방식으로 분류할 수 있다. 다양한 분류는 종종 혼동되는데, 특히 삼방정계는 마름모면체 격자계와 종종 혼동되며, '결정계'라는 용어는 때때로 '격자계' 또는 '결정족'을 의미하는 데 사용되기도 한다.^[1]

결정족은 격자와 점군에 의해 결정된다. 공통된 격자계에 공간군이 할당된 결정계를 결합하여 형성된다. 3차원에서 육방정계와 삼방정계는 하나의 육방 결정족으로 결합된다.^[1]

2. 4. 결정계, 격자계, 결정족의 비교

결정은 격자계, 결정계, 결정족의 세 가지 방식으로 분류할 수 있다. 삼방정계는 마름모면체 격자계와 종종 혼동되는 등 다양한 분류 방식이 혼동되기도 하고, "결정계"라는 용어가 때때로 "격자계" 또는 "결정족"을 의미하는 데 사용되기도 한다.

결정계 중 다섯 가지는 격자계 다섯 가지와 본질적으로 동일하다. 육방 및 삼방 결정계는 육방 및 마름모면체 격자계와 다르며, 이들은 육방 결정족으로 통합된다.

3차원 결정족, 결정계 및 격자계의 관계는 다음 표와 같다.

결정족	결정계	점군의 필요한 대칭성	점군	공간군	브라베 격자	격자계
삼사	삼사	없음	2	2	1	삼사
단사	단사	2회 회전축 또는 1개의 거울면	3	13	2	단사
사방	사방	3개의 2회 회전축 또는 1개의 2회 회전축과 2개의 거울면	3	59	4	사방
정방	정방	1개의 4회 회전축	7	68	2	정방
육방	삼방	1개의 3회 회전축	5	7	1	마름모면체
	삼방	1개의 3회 회전축	5	18	1	육방
	육방	1개의 6회 회전축	7	27	1	육방
입방	입방	4개의 3회 회전축	5	36	3	입방
6	7	합계	32	230	14	7

'''참고''': "삼방" 격자계는 없으며, 용어의 혼란을 피하기 위해 "삼방 격자"라는 용어는 사용하지 않는다.

3. 결정 종류 (Crystal classes)

7개의 결정계는 32개의 결정족(32개의 결정학적 점군에 해당)으로 구성되며, 각 결정계에 따른 점대칭, 키랄 또는 극성 여부, 추상군은 아래 표와 같다.

결정족	결정계	점군 / 결정족	쇤플리스	헤르만-모건	오비폴드	콕세터	점대칭	추상군
삼사정계		페디얼(pedial)	C₁	1	11	[ ]⁺	거울상 이성질체	자명군 $\mathbb{Z}_1$
삼사정계		피나코이달(pinacoidal)	C_i (S₂)	$\overline{1}$	1x	[2,1⁺]	중심 대칭	순환군 $\mathbb{Z}_2$
단사정계		스페노이달(sphenoidal)	C₂	2	22	[2,2]⁺	거울상 이성질체	순환군 $\mathbb{Z}_2$
		도매틱(domatic)	C_s (C_1h)	m	*11	[ ]		순환군 $\mathbb{Z}_2$
		프리즘	C_2h	2/m	2*	[2,2⁺]	중심 대칭	클라인 사원군 $\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
직사정계		로빅-디스페노이달(rhombic-disphenoidal)	D₂ (V)	222	222	[2,2]⁺	거울상 이성질체	클라인 사원군 $\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
		로빅-피라미달(rhombic-pyramidal)	C_2v	mm2	*22	[2]		클라인 사원군 $\mathbb{V} = \mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$
		로빅-디피라미달(rhombic-dipyramidal)	D_2h (V_h)	mmm	*222	[2,2]	중심 대칭	$\mathbb{V}\times\mathbb{Z}_2$
정방정계		정방-피라미달(tetragonal-pyramidal)	C₄	4	44	[4]⁺	거울상 이성질체	순환군 $\mathbb{Z}_4$
		정방-디스페노이달(tetragonal-disphenoidal)	S₄	$\overline{4}$	2x	[2⁺,2]	비중심 대칭	순환군 $\mathbb{Z}_4$
		정방-디피라미달(tetragonal-dipyramidal)	C_4h	4/m	4*	[2,4⁺]	중심 대칭	$\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$
		정방-트라페조헤드럴(tetragonal-trapezohedral)	D₄	422	422	[2,4]⁺	거울상 이성질체	이면체군 $\mathbb{D}_8 = \mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이정방-피라미달(ditetgonal-pyramidal)	C_4v	4mm	*44	[4]		이면체군 $\mathbb{D}_8 = \mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2$
		정방-스칼레노헤드럴(tetragonal-scalenohedral)	D_2d (V_d)	$\overline{4}$ 2m 또는 $\overline{4}$ m2	2*2	[2⁺,4]	비중심 대칭	이면체군 $\mathbb{D}_8 = \mathbb{Z}_4\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이정방-디피라미달(ditetgonal-dipyramidal)	D_4h	4/mmm	*422	[2,4]	중심 대칭	$\mathbb{D}_8\times\mathbb{Z}_2$
육방정계	삼방정계	삼방-피라미달(trigonal-pyramidal)	C₃	3	33	[3]⁺	거울상 이성질체	순환군 $\mathbb{Z}_3$
		롬보헤드럴(rhombohedral)	C_3i (S₆)	$\overline{3}$	3x	[2⁺,3⁺]	중심 대칭	순환군 $\mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2$
		삼방-트라페조헤드럴(trigonal-trapezohedral)	D₃	32 또는 321 또는 312	322	[3,2]⁺	거울상 이성질체	이면체군 $\mathbb{D}_6 = \mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이삼방-피라미달(ditrigonal-pyramidal)	C_3v	3m 또는 3m1 또는 31m	*33	[3]		이면체군 $\mathbb{D}_6 = \mathbb{Z}_3\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이삼방-스칼레노헤드럴(ditrigonal-scalenohedral)	D_3d	$\overline{3}$ m 또는 $\overline{3}$ m1 또는 $\overline{3}$ 1m	2*3	[2⁺,6]	중심 대칭	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
	육방정계	육방-피라미달(hexagonal-pyramidal)	C₆	6	66	[6]⁺	거울상 이성질체	순환군 $\mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2$
		삼방-디피라미달(trigonal-dipyramidal)	C_3h	$\overline{6}$	3*	[2,3⁺]	비중심 대칭	순환군 $\mathbb{Z}_6 = \mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_2$
		육방-디피라미달(hexagonal-dipyramidal)	C_6h	6/m	6*	[2,6⁺]	중심 대칭	$\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_2$
		육방-트라페조헤드럴(hexagonal-trapezohedral)	D₆	622	622	[2,6]⁺	거울상 이성질체	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이육방-피라미달(dihexagonal-pyramidal)	C_6v	6mm	*66	[6]		이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이삼방-디피라미달(ditrigonal-dipyramidal)	D_3h	$\overline{6}$ m2 또는 $\overline{6}$ 2m	*322	[2,3]	비중심 대칭	이면체군 $\mathbb{D}_{12} = \mathbb{Z}_6\rtimes\mathbb{Z}_2$
		이육방-디피라미달(dihexagonal-dipyramidal)	D_6h	6/mmm	*622	[2,6]	중심 대칭	$\mathbb{D}_{12}\times\mathbb{Z}_2$
입방정계		테타르토이달(tetartoidal)	T	23	332	[3,3]⁺	거울상 이성질체	교대군 $\mathbb{A}_4$
		디플로이달(diploidal)	T_h	m $\overline{3}$	3*2	[3⁺,4]	중심 대칭	$\mathbb{A}_4\times\mathbb{Z}_2$
		자이로이달(gyroidal)	O	432	432	[4,3]⁺	거울상 이성질체	대칭군 $\mathbb{S}_4$
		헥사테트라헤드럴(hextetrahedral)	T_d	$\overline{4}$ 3m	*332	[3,3]	비중심 대칭	대칭군 $\mathbb{S}_4$
		헥사옥타헤드럴(hexoctahedral)	O_h	m $\overline{3}$ m	*432	[4,3]	중심 대칭	$\mathbb{S}_4\times\mathbb{Z}_2$

3. 1. 점대칭

구조의 점대칭은 다음과 같이 더 자세히 설명할 수 있다. 구조를 구성하는 점들을 고려하고, 단일 점을 통해 모든 점들을 반사하여 (''x'',''y'',''z'')가 (−''x'',−''y'',−''z'')가 되도록 한다. 이것이 '반전 구조'이다. 원래 구조와 반전 구조가 동일하면 구조는 ''중심 대칭''이다. 그렇지 않으면 ''비중심 대칭''이다. 그러나 비중심 대칭인 경우에도 반전 구조는 원래 구조와 정렬하도록 회전될 수 있다. 이것은 비중심 대칭 ''비키랄'' 구조이다. 반전 구조를 원래 구조와 정렬하도록 회전할 수 없으면 구조는 ''키랄'' 또는 ''거울상 이성질체''이며, 그 대칭군은 ''거울상 이성질체''이다.^[1]

방향(화살표가 없는 선을 의미)은 그 두 방향 감각이 기하학적으로 또는 물리적으로 다르면 ''극성''이라고 한다. 극성인 결정의 대칭 방향을 ''극축''이라고 한다. 극축을 포함하는 군을 ''극성''이라고 한다. 극성 결정은 고유한 극축(더 정확하게는 모든 극축은 평행함)을 가지고 있다. 이 축의 양 끝에서 어떤 기하학적 또는 물리적 특성이 다릅니다. 예를 들어, 초전성 결정에서와 같이 유전 분극이 발생할 수 있다. 극축은 비중심 대칭 구조에서만 발생할 수 있다. 거울면이나 극축에 수직인 이중축은 있을 수 없다. 왜냐하면 이것들은 축의 두 방향을 동등하게 만들기 때문이다.

키랄 생물 분자(예: 단백질 구조)의 결정 구조는 65개의 거울상 이성질체 공간군에서만 발생할 수 있다(생물 분자는 일반적으로 키랄임).

3. 2. 극성 점군

결정 구조에서 방향(화살표가 없는 선)의 두 방향 감각이 기하학적 또는 물리적으로 다르면 '극성'이라고 한다. 극성인 결정의 대칭 방향을 '극축'이라고 하며, 극축을 포함하는 군을 ''극성''이라고 한다. 극성 결정은 고유한 극축(더 정확하게는 모든 극축은 평행함)을 가지는데, 이 축의 양 끝에서 어떤 기하학적 또는 물리적 특성이 다르다. 예를 들어, 초전성 결정에서와 같이 유전 분극이 발생할 수 있다. 극축은 비중심 대칭 구조에서만 발생할 수 있으며, 거울면이나 극축에 수직인 이중축은 있을 수 없다. 왜냐하면 이것들은 축의 두 방향을 동등하게 만들기 때문이다.^[1]

32개의 결정학적 점군 중 아래의 10개의 점군이 극성 점군에 해당한다.

결정계	점군	쇤플리스 표기법	헤르만-모건 표기법	오비폴드 표기법	콕세터 표기법	차수
삼사정계	페디얼	C₁	1	11	[ ]⁺	1
단사정계	스페노이달	C₂	2	22	[2,2]⁺	2
단사정계	도매틱	C_s (C_1h)	m	*11	[ ]	2
직사정계	로빅-피라미달	C_2v	mm2	*22	[2]	4
정방정계	정방-피라미달	C₄	4	44	[4]⁺	4
정방정계	이정방-피라미달	C_4v	4mm	*44	[4]	8
육방정계(삼방정계)	삼방-피라미달	C₃	3	33	[3]⁺	3
육방정계(삼방정계)	이삼방-피라미달	C_3v	3m 또는 3m1 또는 31m	*33	[3]	6
육방정계	육방-피라미달	C₆	6	66	[6]⁺	6
육방정계	이육방-피라미달	C_6v	6mm	*66	[6]	12

3. 3. 키랄성과 생물 분자

단백질 구조와 같은 키랄 생물 분자의 결정 구조는 65개의 거울상 이성질체 공간군에서만 발생할 수 있다. 왜냐하면 생물 분자는 일반적으로 키랄이기 때문이다.^[1]

4. 브라베 격자 (Bravais lattices)

(쇼엔플리스 표기법)14개의 브라베 격자단순 (P)저면심 (S)체심 (I)면심 (F)단사정계 (a)C_i

사방정계 (m)C_2h

직교정계 (o)D_2h

정방정계 (t)D_4h

육방정계 (h)삼방정계D_3d

육방정계D_6h

입방정계 (c)O_h

결정족	결정계	결정학적 점군	평면군의 수	브라베 격자
사방정계(단사정계)	사방정계	1, 2	2	mp
직사정계(사방정계)	직사정계	m, 2mm	7	op, oc
정방정계(정방정계)	정방정계	4, 4mm	3	tp
육방정계	육방정계	3, 6, 3m, 6mm	5	hp
합계	4	10	17	5

번호	족	모서리 길이	축 간 각도
1	삼사정계 (Hexaclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	삼사정계 (Triclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	이사정계 (Diclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	단사정계 (Monoclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	직교정계 (Orthogonal)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	정방 단사정계 (Tetragonal monoclinic)	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	육방 단사정계 (Hexagonal monoclinic)	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	이정방 이사정계 (Ditetragonal diclinic)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	이삼방 (이육방) 이사정계 (Ditrigonal (dihexagonal) diclinic)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° cos δ = cos β − cos γ
10	정방 직교정계 (Tetragonal orthogonal)	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	육방 직교정계 (Hexagonal orthogonal)	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	이정방 단사정계 (Ditetragonal monoclinic)	a = d ≠ b = c	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	이삼방 (이육방) 단사정계 (Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° cos γ = −cos β
14	이정방 직교정계 (Ditetragonal orthogonal)	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	육방 정방정계 (Hexagonal tetragonal)	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	이육방 직교정계 (Dihexagonal orthogonal)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	입방 직교정계 (Cubic orthogonal)	a = b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	팔각정계 (Octagonal)	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	십각정계 (Decagonal)	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε cos β = −cos α
20	십이각정계 (Dodecagonal)	a = b = c = d	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	이등축육방 직교정계 (Diisohexagonal orthogonal)	a = b = c = d	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	이십각정계 (Icosagonal (icosahedral))	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ cos α = −
23	초입방정계 (Hypercubic)	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

결정족 번호	결정족	결정계	결정계 번호	점군	공간군	브라베 격자	격자계
I	삼사정계 (Hexaclinic)		1	2	2	1	삼사정계 P (Hexaclinic P)
II	삼사정계 (Triclinic)		2	3	13	2	삼사정계 P, S (Triclinic P, S)
III	이사정계 (Diclinic)		3	2	12	3	이사정계 P, S, D (Diclinic P, S, D)
IV	단사정계 (Monoclinic)		4	4	207	6	단사정계 P, S, S, I, D, F (Monoclinic P, S, S, I, D, F)
V	직교정계 (Orthogonal)	비축 직교정계 (Non-axial orthogonal)	5	2	2	1	직교정계 KU (Orthogonal KU)
		비축 직교정계 (Non-axial orthogonal)	5	2	112	8	직교정계 P, S, I, Z, D, F, G, U (Orthogonal P, S, I, Z, D, F, G, U)
		축 직교정계 (Axial orthogonal)	6	3	887	8
VI	정방 단사정계 (Tetragonal monoclinic)		7	7	88	2	정방 단사정계 P, I (Tetragonal monoclinic P, I)
VII	육방 단사정계 (Hexagonal monoclinic)	삼방 단사정계 (Trigonal monoclinic)	8	5	9	1	육방 단사정계 R (Hexagonal monoclinic R)
		삼방 단사정계 (Trigonal monoclinic)	8	5	15	1	육방 단사정계 P (Hexagonal monoclinic P)
		육방 단사정계 (Hexagonal monoclinic)	9	7	25	1	육방 단사정계 P (Hexagonal monoclinic P)
VIII	이정방 이사정계* (Ditetragonal diclinic*)		10	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	이정방 이사정계 P* (Ditetragonal diclinic P*)
IX	이삼방 이사정계* (Ditrigonal diclinic*)		11	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	이삼방 이사정계 P* (Ditrigonal diclinic P*)
X	정방 직교정계 (Tetragonal orthogonal)	역정방 직교정계 (Inverse tetragonal orthogonal)	12	5	7	1	정방 직교정계 KG (Tetragonal orthogonal KG)
		역정방 직교정계 (Inverse tetragonal orthogonal)	12	5	351	5	정방 직교정계 P, S, I, Z, G (Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G)
		고유 정방 직교정계 (Proper tetragonal orthogonal)	13	10	1312	5	정방 직교정계 P, S, I, Z, G (Tetragonal orthogonal P, S, I, Z, G)
XI	육방 직교정계 (Hexagonal orthogonal)	삼방 직교정계 (Trigonal orthogonal)	14	10	81	2	육방 직교정계 R, RS (Hexagonal orthogonal R, RS)
		삼방 직교정계 (Trigonal orthogonal)	14	10	150	2	육방 직교정계 P, S (Hexagonal orthogonal P, S)
		육방 직교정계 (Hexagonal orthogonal)	15	12	240	2	육방 직교정계 P, S (Hexagonal orthogonal P, S)
XII	이정방 단사정계* (Ditetragonal monoclinic*)		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	이정방 단사정계 P, S, D* (Ditetragonal monoclinic P, S, D*)
XIII	이삼방 단사정계* (Ditrigonal monoclinic*)		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	이삼방 단사정계 P, RR (Ditrigonal monoclinic P, RR)
XIV	이정방 직교정계 (Ditetragonal orthogonal)	암호 이정방 직교정계 (Crypto-ditetragonal orthogonal)	18	5	10	1	이정방 직교정계 D (Ditetragonal orthogonal D)
		암호 이정방 직교정계 (Crypto-ditetragonal orthogonal)	18	5	165 (+2)	2	이정방 직교정계 P, Z (Ditetragonal orthogonal P, Z)
		이정방 직교정계 (Ditetragonal orthogonal)	19	6	127	2	이정방 직교정계 P, Z (Ditetragonal orthogonal P, Z)
XV	육방 정방정계 (Hexagonal tetragonal)		20	22	108	1	육방 정방정계 P (Hexagonal tetragonal P)
XVI	이육방 직교정계 (Dihexagonal orthogonal)	암호 이삼방 직교정계* (Crypto-ditrigonal orthogonal*)	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	이육방 직교정계 G* (Dihexagonal orthogonal G*)
		암호 이삼방 직교정계* (Crypto-ditrigonal orthogonal*)	21	4 (+4)	5 (+5)	1	이육방 직교정계 P (Dihexagonal orthogonal P)
		이육방 직교정계 (Dihexagonal orthogonal)	23	11	20
		이삼방 직교정계 (Ditrigonal orthogonal)	22	11	41
		이삼방 직교정계 (Ditrigonal orthogonal)	22	11	16	1	이육방 직교정계 RR (Dihexagonal orthogonal RR)
XVII	입방 직교정계 (Cubic orthogonal)	단순 입방 직교정계 (Simple cubic orthogonal)	24	5	9	1	입방 직교정계 KU (Cubic orthogonal KU)
		단순 입방 직교정계 (Simple cubic orthogonal)	24	5	96	5	입방 직교정계 P, I, Z, F, U (Cubic orthogonal P, I, Z, F, U)
		복합 입방 직교정계 (Complex cubic orthogonal)	25	11	366	5	입방 직교정계 P, I, Z, F, U (Cubic orthogonal P, I, Z, F, U)
XVIII	팔각정계* (Octagonal*)		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	팔각정계 P* (Octagonal P*)
XIX	십각정계 (Decagonal)		27	4	5	1	십각정계 P (Decagonal P)
XX	십이각정계* (Dodecagonal*)		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	십이각정계 P* (Dodecagonal P*)
XXI	이등축육방 직교정계 (Diisohexagonal orthogonal)	단순 이등축육방 직교정계 (Simple diisohexagonal orthogonal)	29	9 (+2)	19 (+5)	1	이등축육방 직교정계 RR (Diisohexagonal orthogonal RR)
		단순 이등축육방 직교정계 (Simple diisohexagonal orthogonal)	29	9 (+2)	19 (+3)	1	이등축육방 직교정계 P (Diisohexagonal orthogonal P)
		복합 이등축육방 직교정계 (Complex diisohexagonal orthogonal)	30	13 (+8)	15 (+9)	1	이등축육방 직교정계 P (Diisohexagonal orthogonal P)
XXII	이십각정계 (Icosagonal)		31	7	20	2	이십각정계 P, SN (Icosagonal P, SN)
XXIII	초입방정계 (Hypercubic)	팔각 초입방정계 (Octagonal hypercubic)	32	21 (+8)	73 (+15)	1	초입방정계 P (Hypercubic P)
		팔각 초입방정계 (Octagonal hypercubic)	32	21 (+8)	107 (+28)	1	초입방정계 Z (Hypercubic Z)
		십이각 초입방정계 (Dodecagonal hypercubic)	33	16 (+12)	25 (+20)	1	초입방정계 Z (Hypercubic Z)
합계	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

결정족	결정계	결정학적 점군	평면군의 수	브라베 격자
사방정계(단사정계)	사방정계	1, 2	2	mp
직사정계(사방정계)	직사정계	m, 2mm	7	op, oc
정방정계(정방정계)	정방정계	4, 4mm	3	tp
육방정계	육방정계	3, 6, 3m, 6mm	5	hp
합계	4	10	17	5

번호	족	모서리 길이	축 간 각도
1	삼사정계 (Hexaclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ δ ≠ ε ≠ ζ ≠ 90°
2	삼사정계 (Triclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ β ≠ γ ≠ 90° δ = ε = ζ = 90°
3	이사정계 (Diclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ ≠ 90°
4	단사정계 (Monoclinic)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
5	직교정계 (Orthogonal)	a ≠ b ≠ c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
6	정방 단사정계 (Tetragonal monoclinic)	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = ζ = 90°
7	육방 단사정계 (Hexagonal monoclinic)	a ≠ b = c ≠ d	α ≠ 90° β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
8	이정방 이사정계 (Ditetragonal diclinic)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 90° β = ε ≠ 90° γ ≠ 90° δ = 180° − γ
9	이삼방 (이육방) 이사정계 (Ditrigonal (dihexagonal) diclinic)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ ≠ δ ≠ 90° cos δ = cos β − cos γ
10	정방 직교정계 (Tetragonal orthogonal)	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
11	육방 직교정계 (Hexagonal orthogonal)	a ≠ b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = 90°, ζ = 120°
12	이정방 단사정계 (Ditetragonal monoclinic)	a = d ≠ b = c	α = γ = δ = ζ = 90° β = ε ≠ 90°
13	이삼방 (이육방) 단사정계 (Ditrigonal (dihexagonal) monoclinic)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = ε ≠ 90° γ = δ ≠ 90° cos γ = −cos β
14	이정방 직교정계 (Ditetragonal orthogonal)	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
15	육방 정방정계 (Hexagonal tetragonal)	a = d ≠ b = c	α = β = γ = δ = ε = 90° ζ = 120°
16	이육방 직교정계 (Dihexagonal orthogonal)	a = d ≠ b = c	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
17	입방 직교정계 (Cubic orthogonal)	a = b = c ≠ d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°
18	팔각정계 (Octagonal)	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ 90° β = ε = 90° δ = 180° − α
19	십각정계 (Decagonal)	a = b = c = d	α = γ = ζ ≠ β = δ = ε cos β = −cos α
20	십이각정계 (Dodecagonal)	a = b = c = d	α = ζ = 90° β = ε = 120° γ = δ ≠ 90°
21	이등축육방 직교정계 (Diisohexagonal orthogonal)	a = b = c = d	α = ζ = 120° β = γ = δ = ε = 90°
22	이십각정계 (Icosagonal (icosahedral))	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ cos α = −
23	초입방정계 (Hypercubic)	a = b = c = d	α = β = γ = δ = ε = ζ = 90°

결정계