결합 대수

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1. 개요

결합 대수는 가환환 R 위의 환 A인 동시에 R-가군이며, 두 덧셈 연산이 같고 스칼라 곱셈이 특정 조건을 만족하는 대수 구조이다. 이는 환 준동형 사상과 동치적으로 정의될 수 있으며, 모든 환은 정수의 환인 Z-대수이다. 가환 결합 대수를 가환 대수라고 하며, 유사 결합 대수, (단위) 결합 대수, 가환 대수 등의 개념이 존재한다. 결합 대수는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만 결합 대수의 범주는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 결합 대수는 환, 클리퍼드 대수, 행렬 대수 등 다양한 예시를 가지며, 쌍대대수, 호프 대수, 리 대수, 포락 대수 등과 관련된다.

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결합 대수
결합 대수 정보
정의	환이자 동시에 벡터 공간 또는 가군의 구조를 갖는 대수적 구조
연산	환 연산 (덧셈, 곱셈) 스칼라 곱셈 (벡터 공간/가군의 연산)
관련 분야	환론 선형대수학 표현론
형식적 정의
기본 정의	환 R과 가군 M, 그리고 환의 곱셈과 가군의 스칼라 곱셈을 일반화한 쌍선형 사상 (R × M → M)으로 구성된 대수 구조
결합성 조건	(a ⋅ b) ⋅ m = a ⋅ (b ⋅ m) (임의의 a, b ∈ R, m ∈ M에 대해)
단위 조건 (단위 결합 대수의 경우)	1 ⋅ m = m (단위 원소 1 ∈ R과 임의의 m ∈ M에 대해)
유형
단위 결합 대수	단위 원소를 갖는 결합 대수
비단위 결합 대수	단위 원소를 갖지 않는 결합 대수
가환 결합 대수	곱셈이 가환적인 결합 대수 (a ⋅ b = b ⋅ a)
외부 대수	벡터 공간의 외부 곱을 사용하여 정의되는 대수
텐서 대수	벡터 공간의 텐서 곱을 사용하여 정의되는 대수
包絡代數 (포락 대수)	리 대수에서 구성되는 결합 대수 (普遍包絡代數 (보편 포락 대수)의 번역 필요)
예시
행렬 대수	환 위의 행렬들로 구성된 대수
다항식환	환 위의 다항식들로 구성된 대수
군환	군의 원소들을 계수로 하는 환
엔도몰피즘 대수	가군의 자기 사상들로 구성된 대수
성질
준동형 사상	결합 대수의 구조를 보존하는 사상
아이디얼	대수의 준동형 사상의 핵
몫대수	아이디얼에 대한 몫으로 구성되는 대수

2. 정의

가환환 $R$ 위의 '''결합 대수'''는 환이자 $R$ -가군이며, 다음 성질을 만족하는 대수 구조이다.

두 덧셈 연산(환 덧셈과 가군 덧셈)은 동일하다.
스칼라 곱셈은 모든 $R$ 의 원소 $r$ 과 대수의 원소 $x, y$ 에 대해 다음을 만족한다.

::

r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)

이는 환의 곱셈 항등원을 가정하기 때문에, 결합 대수가 단위적임을 의미한다.

결합 대수는 환의 중심으로의 환 준동형사상으로 정의할 수도 있다. 모든 환은 정수의 환인 '''Z'''-대수이다.

2. 1. 유사 결합 대수

가환 유사환

R

위의 '''유사 결합 대수'''((possibly) non-unital associative algebra^영어)

(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)

는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

$(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R})$ 는 $R$ 의 가군을 이룬다.
$(M,0,+,*)$ 은 유사환을 이룬다.

이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.

모든 $r\in R$ 및 $m,n\in M$ 에 대하여, $r\cdot(m*n)=(r\cdot m)*n=m*(r\cdot n)$

이는 유사환의 준동형

R\to Z(M)

과 같다. 여기서

Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}

은

M

의 중심이다.

2. 2. 결합 대수

가환환

R

위의 '''(단위) 결합 대수'''(單位結合代數, (unital) associative algebra^영어)

(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*,1)

는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

$(M,0,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)$ 는 $R$ 위의 유사 결합 대수를 이룬다.
$(M,0,1,+,*)$ 은 환을 이룬다.

이는 환 준동형

R\to Z(M)

과 같다. 여기서

Z(M)=\{z\in M\colon m*z=z*m\}

은

M

의 중심이다.

결합 대수의 '''준동형'''은

(0,1,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)

를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를

R\text{-Assoc}

이라고 하자.

''R''을 가환환이라고 하자(따라서 ''R''은 체일 수 있다). '''결합 ''R''-대수 ''A'''''(또는 간단히, '''''R''-대수 ''A''''')는 환 ''A''인데, 동시에 두 덧셈(환 덧셈과 가군 덧셈)이 같은 연산이 되도록 하는 방식으로 ''R''-가군이 되고, 스칼라 곱셈이 다음을 만족한다.

:

r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)

모든 ''R''의 ''r''과, 대수의 ''x'', ''y''에 대해 성립한다. (이 정의는 대수가 환이므로 단위적임을 함축하는데, 환은 곱셈 항등원을 갖는 것으로 가정하기 때문이다.)

동치적으로, 결합 대수 ''A''는 ''R''에서 ''A''의 중심으로의 환 준동형사상과 함께 주어진 환이다.

모든 환은 정수의 환인 '''Z'''-대수이다.

'''가환 대수'''는 또한 가환환인 결합 대수이다.

결합 대수는 그 상이 중심에 포함되는 환 준동형사상과 같다. 실제로 환 ''A''와 그 상이 ''A''의 중심에 포함되는 환 준동형사상

\eta\colon R\to A

로부터 시작하여, 다음과 같이 정의함으로써 ''A''를 ''R''-대수로 만들 수 있다.

:

r\cdot x = \eta(r)x

모든

r\in R

및

x\in A

에 대해. 만약 ''A''가 ''R''-대수라면,

x=1

을 취하면, 같은 공식은 차례로 그 상이 중심에 포함되는 환 준동형사상

\eta\colon R\to A

를 정의한다.

환이 가환이면, 그것은 그 중심과 같으므로, 가환 ''R''-대수는 단순히 가환 환 ''A''와 가환 환 준동형사상

\eta\colon R\to A

와 함께 정의할 수 있다.

위에 나타나는 환 준동형사상

\eta

는 종종 구조 사상이라고 불린다. 가환의 경우, 고정된 ''R''에 대한 환 준동형사상

R\to A

, 즉 가환 ''R''-대수를 객체로 하고, ''R'' 아래에 있는 환 준동형사상

A\to A'

를 사상으로 하는 범주를 고려할 수 있다. 즉,

R\to A\to A'

는

R\to A'

이다 (즉, ''R'' 아래 가환 환 범주의 공사상 범주). 소 스펙트럼 함자 Spec은 이 범주를 Spec ''R'' 위의 아핀 스킴 범주로의 반동치를 결정한다.

가환환 ''R''을 고정하여 생각한다. '''결합 ''R''-대수'''란, 가법적으로 표기된 아벨 군 ''A''로, 환 및 ''R''-가군의 구조를 모두 갖추고 있으며, 또한 환으로서의 곱셈이 임의의 ''r'' ∈ ''R'', ''x'', ''y'' ∈ ''A''에 대해

:

r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)

를 만족한다는 의미에서 ''R''-쌍선형이 되는 것을 말한다.

결합 대수 ''A''가 '''단형''' 또는 '''단위적'''이라는 것은,

:

1 x = x = x 1

를 어떤 ''x'' ∈ ''A''에 대해서도 만족하는 원소 1 ∈ ''A''를 갖는 것을 말한다.

결합 대수 ''A''가, 그 자신이 환으로서 가환이면, ''A''는 '''가환 ''R''-대수'''라고 한다.

''R''-가군 ''A''에서 시작한다면, ''R''-선형환 ''A''는 ''R''-쌍선형 사상 ''m'': ''A'' × ''A'' → ''A''; (''x'', ''y'') ↦ ''xy''로, ''A''의 임의의 ''x'', ''y'', ''z''에 대해

:

x(yz) = (xy)z

를 만족하는 것을 갖는 ''R''-가군 ''A''로 정의된다. 이 ''R''-쌍선형 사상이 ''A''에 환의 구조를 부여하고, ''R''-선형환의 구조가 들어간다. 임의의 ''R''-선형환은 이 방법으로 얻어진다.

더욱이 이와 같이 얻어진 선형환 ''A''가 단형일 필요충분 조건은

:

\exists 1\in A,\; 1x = x1 = x

가 되는 것이다. 범주론적으로 말하면, 이 정의는 "단형 ''R''-선형환은 ''R''-가군 전체로 이루어진 모노이드 범주 '''''R''-Mod'''에서의 모노이드 대상이다"라고 말하는 것과 같다.

환 ''A''에서 시작한다면, 단위적 결합 ''R''-대수(多元環)는 상이 환 ''A''의 중심에 들어가는 환 준동형

\eta\colon R\to A

에 의해 주어진다. 이렇게 얻어지는 대수 ''A''는 임의의 ''r'' ∈ ''R'' 및 ''x'' ∈ ''A''에 대해

:

rx := \eta(r)x

로 정함으로써 ''R''-가군의 구조를 가진다.

환 ''A''가 가환이면, ''A''의 중심은 ''A'' 자신과 같으므로, 가환 ''R''-대수는 단순히, 가환환의 준동형

\eta\colon R\to A

에 의해 정의할 수 있다.

2. 3. 가환 대수

가환환 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 '''가환 대수'''(commutative algebra^영어)라고 한다. R 위의 단위 가환 대수 M은 가환환 준동형

R\to M

과 같다.

결합 대수 A가 그 자신이 환으로서 가환이면, A는 '''가환 R-대수'''라고 한다.

환 A가 가환이면, A의 중심은 A 자신과 같으므로, 가환 R-대수는 단순히 가환환의 준동형 η: ''R'' → ''A''에 의해 정의할 수 있다.

3. 성질

결합 대수와 유사 결합 대수는 모두 대수 구조 다양체를 이룬다. 따라서 곱, 쌍대곱, 시작 대상, 끝 대상 등의 개념이 존재한다.

가환환 ''R'' 위의 결합 대수는 환 및 ''R''-가군의 구조를 모두 가지며, 환으로서의 곱셈이 ''R''-쌍선형인 아벨 군 ''A''로 정의된다. 여기서 ''R''-쌍선형 조건은 임의의 ''r'' ∈ ''R'', ''x'', ''y'' ∈ ''A''에 대해 $r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)$ 를 만족하는 것을 의미한다. 결합 대수 ''A''가 $1x = x = x1$ 를 만족하는 원소 1 ∈ ''A''를 가지면, ''A''를 단형(단위적) 결합 대수라고 한다.

결합 대수 ''A''가 가환환이면, ''A''는 가환 ''R''-대수라고 한다.

3. 1. 범주론적 성질

유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 범주는 시작 대상과 끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같지만, 쌍대곱은 서로 다르다. 결합 대수의 범주는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

유사 결합 대수와 결합 대수의 범주론적 성질 비교
구조	유사 결합 대수	결합 대수
시작 대상	영가군	$R$
끝 대상	영가군	영가군
곱	유사환으로서의 곱	(유사)환으로서의 곱
쌍대곱	결합 대수의 자유곱	단위 결합 대수의 자유곱

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 '''텐서곱''' $\otimes_R$ 이 존재하며, 이는 $R$ 위의 가군의 텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

3. 2. 망각 함자

가환환

R

에 대하여, 유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

:

R\text{-nuAssoc}\to\operatorname{Rng}

및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

:

R\text{-Assoc}\to\operatorname{Ring}

가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자는

S\mapsto R\otimes_{\mathbb Z}S

이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

:

R\text{-Assoc}\to R\text{-nuAssoc}

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수

A

를

:

A\mapsto R\oplus A

로 대응시킨다 (

\oplus

는 아벨 군의 직합). 이 경우,

R\oplus A

위의 연산은 다음과 같다.

:

s\cdot(r,a)=(sr,s\cdot a)

:

(r,a)*(s,b)=(rs,s\cdot a,r\cdot b,a*b)

4. 분류

복소수체 위의 5차원 이하의 유사 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.^[1]

4. 1. 3차원 이하 복소수 결합 대수

가환환 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수(commutative algebra^영어)라고 한다.

복소수체 위의 1차원 결합 대수는

\mathbb C

자체 밖에 없다.

\mathbb C

위의 2차원 단위 결합 대수는 다음 두 가지이다.

$\mathbb C[x]/(x^2-1)$
$\mathbb C[x]/(x^2)$

둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점

\pm1

으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

\mathbb C

위의 3차원 결합 대수는 다음 다섯 가지이다.

$\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2-y,xy)$
$\mathbb C[x,y]/(x^2-x,y^2,xy)$
$\mathbb C[x,y]/(x^2,y^2,xy)$
$\mathbb C[x]/(x^4)$
$\mathbb C\langle x,y\rangle/\left(x^2-1,y^2,(x-1)y,y(x-1)\right)$

이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.^[1]

5. 예시

모든 환 ''A''는 '''Z'''-대수로 간주될 수 있다. '''Z'''에서 ''A''로 가는 유일한 환 준동형사상은 1을 ''A''의 항등원으로 보내야 한다는 사실에 의해 결정된다. 따라서 환과 '''Z'''-대수는 아벨 군과 '''Z'''-가군이 동치인 것과 마찬가지로 동치 개념이다.
표수 ''n''의 모든 환은 마찬가지로 ('''Z'''/''n'''''Z''')-대수이다.
주어진 ''R''-가군 ''M''에 대해, _R(''M'')}(''M''의 자기 준동형 사상 환)은 ''R''-대수이다.
가환 환 ''R''의 계수를 갖는 행렬의 모든 환은 행렬 덧셈과 곱셈 아래에서 ''R''-대수를 형성한다.
복소수는 실수 위에 2차원 가환 대수를 형성한다.
사원수는 실수 위에 4차원 결합 대수를 형성한다(하지만 복소수는 사원수의 중심에 없으므로 복소수 위의 대수는 아니다).
모든 다항식 환 ''R''[''x''₁, ..., ''x_n'']|R[x₁, ..., xₙ]|알[엑스원, 쩜쩜쩜, 엑스엔]^영어는 가환 ''R''-대수이다.
집합 ''E'' 위의 자유 ''R''-대수는 ''R''의 계수와 집합 ''E''에서 가져온 비가환 변수를 갖는 "다항식"의 대수이다.
''R''-가군의 텐서 대수는 자연스럽게 결합 ''R''-대수이다. 외대수 및 대칭 대수와 같은 몫도 마찬가지이다.
가환 환 ''R'' 위의 가군 ''M''이 주어지면, 가군의 직합은 ''M''을 무한소 원소로 간주하여 ''R''-대수의 구조를 갖는다. 이 개념은 때때로 이중수 대수라고 불린다.
Cuntz와 Quillen이 도입한 준자유 대수는 자유 대수와 대수적으로 닫힌 체 위의 반단순 대수의 일종의 일반화이다.
평면상의 변환으로서 유용한, 실이차 정사각 행렬 전체는 선형환을 이룬다.
단형이 아닌 선형환의 예로는 ''x'' → ∞에서의 극한이 0이 되는 함수 ''f'': '''R''' → '''R''' 전체가 이루는 집합이 있다.
클리퍼드 대수는 기하학 및 물리학에서 유용하다.
국소 유한 반순서 집합의 인접 대수는 조합론에서 사용되는 단형 선형환이다.

5. 1. 환론

가환환

R

위의 결합 대수는 환의 구조를 가지면서, 동시에

R

위의 유사 결합 대수를 이루는 대수 구조이다. 이는 환 준동형

R\to Z(M)

과 같은데, 여기서

Z(M)

은

M

의 중심이다.

특별한 가환환 위의 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름으로 불린다.

가환환 $R$	$R$ 위의 결합 대수
정수환 $\mathbb Z$	환
$\mathbb Z/(n)$	표수가 $n$ 의 약수인 환

모든 환은 스스로의 중심에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 $R$ 에 대하여 환 준동형 $R\to Z(S)$ 가 주어졌다면, $S$ 는 $R$ 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 $R\to S$ 가 주어졌다면, $S$ 는 $R$ 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

결합 대수는 그 상이 중심에 포함되는 환 준동형사상과 같다. 환 ''A''와 그 상이 ''A''의 중심에 포함되는 환 준동형사상 $\eta\colon R\to A$ 로부터, ''r'' ∈ ''R'' 및 ''x'' ∈ ''A''에 대해 $r\cdot x = \eta(r)x$ 와 같이 정의함으로써 ''A''를 ''R''-대수로 만들 수 있다.

환이 가환이면, 그것은 그 중심과 같으므로, 가환 ''R''-대수는 단순히 가환 환 ''A''와 가환 환 준동형사상 $\eta\colon R\to A$ 와 함께 정의할 수 있다.

환 준동형사상 ''η''는 종종 구조 사상이라고 불린다. 고정된 ''R''에 대한 환 준동형사상 $R\to A$ 를 고려하면, 가환 ''R''-대수를 객체로 하고, ''R'' 아래에 있는 환 준동형사상 $A\to A'$ 를 사상으로 하는 범주를 생각할 수 있다.

5. 2. 추가 구조를 갖는 대수

리 대수의 보편 포락 대수, 클리퍼드 대수, 외대수는 결합 대수이다.

5. 3. 함수 대수

가환환 R 위의 결합 대수는 다양한 형태로 존재한다. 예를 들어, 위상환 R에 대해, 위상 공간 X 위의 연속 함수 집합

\mathcal C(X;R)

은 다음과 같은 연산을 통해 자연스럽게 R 위의 결합 대수 구조를 이룬다.

:

r\cdot f\colon x\mapsto r\cdot f(x)

:

f*g\colon x\mapsto f(x)\cdot g(x)

:

0\colon x\mapsto 0_R

:

1\colon x\mapsto 1_R

마찬가지로, 매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 함수 집합

\mathcal C^\infty(M;\mathbb R)

은 실수체 위의 결합 대수 구조를 갖는다.

5. 4. 기타 예시

체 ''K''의 원소를 갖는 ''n''×''n'' 정사각 행렬은 ''K'' 위의 결합 대수를 형성한다.
복소수는 실수 위에 2차원 가환 대수를 형성한다.
사원수는 실수 위에 4차원 결합 대수를 형성한다(하지만 복소수는 사원수의 중심에 없으므로 복소수 위의 대수는 아니다).
모든 다항식 환 ''R''[''x''₁, ..., ''x_n'']|R[x₁, ..., xₙ]|알[엑스원, 쩜쩜쩜, 엑스엔]^영어는 가환 ''R''-대수이다.
''R''-가군의 텐서 대수는 자연스럽게 결합 ''R''-대수이다.
임의의 바나흐 공간 ''X''가 주어지면, 연속 선형 연산자 ''A'' : ''X'' → ''X''|A : X → X|에이 땡땡 엑스 화살표 엑스^영어는 연산자의 합성을 곱셈으로 사용하여 결합 대수를 형성한다. 이는 바나흐 대수이다.
아주마야 대수
미분 등급 대수는 등급과 미분을 갖춘 결합 대수이다. 예를 들어, 드람 대수 $\Omega(M) = \bigoplus_{p=0}^n \Omega^p(M)$ 는 다양체 ''M''의 미분 ''p''-형식으로 구성된 $\Omega^p(M)$ 을 가지는 미분 등급 대수이다.

6. 관련 개념

쌍대대수(Bialgebra)

''K''^영어 위의 단위적 결합 대수는 승수와 피승수, 두 개의 입력과 곱이라는 하나의 출력을 갖는 사상 ''A''×''A'' → ''A''와, 곱셈 단위원의 스칼라 배와 동일시되는 사상 ''K'' → ''A''에 기반한다. 이 두 사상은 범주론적 쌍대성에 따라, 단위적 결합 대수의 각 공리를 나타내는 가환도표에 나타나는 모든 화살표를 반전시킴으로써 쌍대화될 수 있으며, 이를 통해 여대수의 구조가 정의된다.

더 추상적인 개념으로 ''F''-여대수의 개념도 있다.

σ: ''A'' → gl(''V''), τ: ''A'' → gl(''W'')와 같은 두 표현을 생각해 보자. 텐서곱 표현 ρ: ''x'' ↦ σ(''x'') ⊗ τ(''x'')를 텐서곱 공간에 대한 작용이 다음과 같이 정의되는 것으로 정하려 할 수 있다.

:

\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w))

하지만, ''k'' ∈ ''K''에 대하여 다음이 성립하므로, 이러한 ρ는 선형이 아니다.

:

\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)

이 문제를 피하고 선형성을 되찾는 방법 중 하나는, 부가 구조로서 사상 Δ: ''A'' → ''A'' × ''A''를 생각하고, 텐서곱 표현을 다음과 같이 정의하는 것이다.

:

\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta

여기서 Δ는 여곱이다. 이를 통해 쌍대대수(bialgebra)의 개념을 얻을 수 있다. 결합 대수의 정의와 일관성을 유지하기 위해서는 여대수가 여결합적이어야 하며, 대수가 단위적이라면 여대수도 마찬가지로 단위적이어야 한다. 쌍대대수에서는 곱셈과 여곱셈 사이에 관련이 없어도 괜찮다는 점에 유의해야 한다.

호프 대수(Hopf algebra)

쌍대대수이면서 반대수(antipode)를 갖는 대수 구조를 호프 대수라고 한다. 표현론에서 텐서곱을 정의하기 위해 필요한 추가적인 구조를 갖추고 있어 중요하다.

리 대수(Lie algebra)

리 대수는 결합 대수의 곱셈을 반대칭적인 리 괄호 곱으로 대체하여 얻어지는 대수 구조이다. 결합 대수에서 곱셈 연산

xy

를 리 괄호 곱으로 정의하면, 리 대수의 개념이 자연스럽게 도출된다.

리 대수는 표현의 텐서곱을 정의하는 또 다른 방법을 제시한다. σ: ''A'' → gl(''V''), τ: ''A'' → gl(''W'')와 같은 두 표현이 있을 때, 텐서곱 표현은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

x \mapsto \rho (x) = \sigma(x) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x)

이 경우 텐서 곱 공간에서의 작용은 다음과 같이 주어진다.

:

\rho(x) (v \otimes w) = (\sigma(x) v)\otimes w + v \otimes (\tau(x) w)

.

이는 ''x''에 대해 선형이며, 곱셈을 보존하는 문제를 해결한다. 일반적인 결합 대수의 곱셈에서는 다음 식이 성립하지 않는다.

:

\rho(xy) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)

.

:

\rho(x)\rho(y) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \sigma(x) \otimes \tau(y) + \sigma(y) \otimes \tau(x) + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)

.

하지만, 리 대수에서는 곱이 반대칭이므로, 이 문제가 해결되어 곱셈이 보존된다.

비단위 결합 대수 (Non-unital associative algebra)

일부 저자는 곱셈 항등원을 가질 필요가 없는 구조를 지칭하기 위해 "결합 대수"라는 용어를 사용하며, 따라서 반드시 단항원이 아닌 준동형 사상을 고려한다.^[1]

비단항 결합 대수의 한 예는 ''x''가 무한대에 가까워질 때 극한이 0이 되는 모든 함수 f : '''R''' → '''R'''|f : '''R''' → '''R'''^영어의 집합이다.^[1]

또 다른 예는 컨볼루션 곱과 함께 연속 주기 함수의 벡터 공간이다.^[1]

포락 대수(Enveloping algebra)

가환환 ''R'' 위의 결합 대수 ''A''가 주어졌을 때, '''포락 대수''' ''A''^e는 대수 ''A'' ⊗_''R'' ''A''^op 또는 ''A''^op ⊗_''R'' ''A''이다(저자에 따라 다름).^[1]

''A'' 위의 쌍가군은 정확히 ''A''^e 위의 왼쪽 가군이다.

가분 대수(Separable algebra)

''A''를 가환환 ''R'' 위의 대수라고 하자. 그러면 대수 ''A''는 ''A''^e := ''A''^op ⊗_''R'' ''A'' 위에서 작용 ''x'' ⋅ (''a'' ⊗ ''b'') = ''axb''을 갖는 오른쪽 모듈이다. 곱셈 사상 ''A'' ⊗_''R'' ''A'' → ''A'' : ''x'' ⊗ ''y'' ↦ ''xy''가 ''A''^e-선형 사상으로 분할될 경우, ''A''는 가분적이라고 한다.^[1] 여기서 ''A'' ⊗ ''A''는 (''x'' ⊗ ''y'') ⋅ (''a'' ⊗ ''b'') = ''ax'' ⊗ ''yb''에 의해 ''A''^e-모듈이다.

''A''는 ''A''^e 위의 사영 가군일 경우 가분적이다. 따라서, ''A''의 ''A''^e-사영 차원(때로는 ''A''의 쌍차원이라고 불린다)은 가분성의 실패를 측정한다.

유한 차원 대수 (Finite-dimensional algebra)

체 ''k'' 위의 유한 차원 대수 ''A''는 아르틴 환이다. ''A''가 가환환인 아르틴 환이면, 잉여체들이 기저체 ''k'' 위의 대수인 아르틴 국소환들의 유한 곱으로 나타낼 수 있다. 기약 아르틴 국소환은 체와 동치이므로, 다음 명제들은 서로 동치이다.

''A''는 분리 가능하다.
''A'' ⊗ ''k''는 환원적이다. (여기서 ''k''는 ''k''의 대수적 폐포이다.)
''A'' ⊗ ''k'' = ''k''ⁿ (n은 자연수)
dim_''k''''A''는 ''k''-대수 준동형사상 ''A'' → ''k''의 개수와 같다.

Γ = Gal(''k''_s/''k'') = projlim Gal(''k''/''k'')라고 하자. 여기서 ''k''_s는 ''k''의 유한 갈루아 확대들의 프로유한군이다. 그러면 ''A'' ↦ X_A = { ''k''-대수 준동형사상 ''A'' → ''k''_s }는 유한 차원 분리가능 ''k''-대수의 범주에서 연속적인 Γ-작용을 갖는 유한 집합의 범주로의 반동치이다.^[1]

단순 아르틴 링은 나눗셈환 위의 (전체) 행렬 링이므로, ''A''가 단순 대수이면 ''A''는 ''k'' 위의 나눗셈 대수 ''D'' 위의 (전체) 행렬 대수 M_''n''(''D'')이다. 더 일반적으로, ''A''가 반단순 대수이면 (다양한 나눗셈 ''k''-대수 위의) 행렬 대수의 유한 곱이며, 이는 아르틴-베더번 정리로 알려져 있다.

''A''가 아르틴 링이라는 사실은 제이콥슨 근기의 개념을 단순화한다. 아르틴 링의 경우, ''A''의 제이콥슨 근기는 모든 (양쪽) 극대 아이디얼의 교집합이다.

'''베더번 주 정리'''에 따르면, 멱영 아이디얼 ''I''를 갖는 유한 차원 대수 ''A''에 대해 (''A'' / ''I'')^e 상의 모듈로서의 사영 차원이 최대 1이면, 자연 전사 ''p'' : ''A'' → ''A'' / ''I''는 분할된다. 즉, ''A''는 ''p''_''B'' : ''B'' → ''A'' / ''I''가 동형사상이 되는 부분 대수 ''B''를 포함한다. ''I''를 제이콥슨 근기로 삼으면, 이 정리는 특히 제이콥슨 근기가 반단순 대수로 보완됨을 의미한다. 이 정리는 리 대수에 대한 레비 정리와 유사하다.

격자와 순서 (Lattices and orders)

''R''을 분수체 ''K''를 갖는 뇌터 정역(예를 들어, '''Z''', '''Q'''가 될 수 있다)이라고 하자. 유한 차원 ''K''-벡터 공간 ''V''에서의 격자 ''L''은 ''V''를 생성하는 유한 생성 ''R''-부분 모듈이다. 즉, ''L'' ⊗_''R'' ''K'' = ''V''이다.

''A''_''K''를 유한 차원 ''K''-대수라고 하자. ''A''_''K''에서의 순서는 격자인 ''R''-부분 대수이다. 일반적으로 격자보다 순서가 훨씬 적다. 예를 들어 '''Z'''는 '''Q'''의 격자이지만 순서가 아니다 (대수가 아니기 때문이다).^[1]

극대 순서는 모든 순서 중에서 극대인 순서이다.

코대수(Coalgebra)

체 ''K'' 위의 결합 대수는 두 개의 입력(피승수와 승수)과 하나의 출력(곱)을 갖는 쌍선형 사상 A × A → A^영어와 곱셈 항등원의 스칼라 배수를 식별하는 사상 K → A^영어로 주어지는 ''K''-벡터 공간 ''A''로 주어진다. 쌍선형 사상 A × A → A^영어가 (텐서 곱의 보편 성질에 의해) 선형 사상(즉, ''K''-벡터 공간 범주의 사상) A ⊗ A → A^영어로 재해석된다면, ''K'' 위의 결합 대수를 두 개의 사상(하나는 A ⊗ A → A^영어 형태이고 다른 하나는 K → A^영어 형태)을 갖는 ''K''-벡터 공간 ''A''로 볼 수 있으며, 이는 대수 공리로 귀결되는 특정 조건을 만족한다. 이 두 사상은 대수 공리를 설명하는 가환 다이어그램의 모든 화살표를 뒤집어 범주적 쌍대성을 사용하여 쌍대화할 수 있다. 이것은 코대수의 구조를 정의한다.

또한 ''F''-코대수의 추상적인 개념도 있는데, 여기서 ''F''는 함자이다. 이것은 위에서 논의된 코대수의 개념과 막연하게 관련이 있다.

표현 (Representation)

대수 ''A''의 표현은 대수 준동형 사상 ''ρ'' : ''A'' → End(''V'')^영어으로, ''A''에서 어떤 벡터 공간(또는 가군) ''V''의 자기 준동형 대수로의 사상이다. 여기서 준동형 사상 ''ρ''는 곱셈 연산을 보존한다. 즉, 모든 ''A''의 원소 ''x'', ''y''에 대해 ''ρ''(''xy'') = ''ρ''(''x'')''ρ''(''y'')^영어가 성립하고, ''ρ''는 ''A''의 단위원(항등원)을 End(''V'')의 단위원(항등 자기 준동형 사상)으로 보낸다.

''A''와 ''B''가 대수이고, ''ρ'' : ''A'' → End(''V'')^영어와 ''τ'' : ''B'' → End(''W'')^영어가 각각 ''A'', ''B''의 표현이라면, 텐서 곱 대수 ''A'' ⊗ ''B''^영어의 표현 ''A'' ⊗ ''B'' → End(''V'' ⊗ ''W'')^영어이 벡터 공간 ''V'' ⊗ ''W''^영어 위에 자연스럽게 정의된다. 그러나 추가 조건 없이는, 동일한 대수의 두 표현의 텐서 곱을 그 대수의 표현(즉, 원래 대수 자신의 표현)으로 정의하는 자연스러운 방법은 없다. 여기서 표현의 텐서 곱은 일반적인 의미, 즉 결과가 동일한 대수의 곱 벡터 공간에 대한 선형 표현이어야 함을 의미한다. 이러한 추가 구조는 보통 호프 대수나 리 대수의 개념으로 이어진다.

6. 1. 쌍대대수 (Bialgebra)

''K'' 위의 단위적 결합 대수는 두 개의 입력(승수와 피승수)과 하나의 출력(곱)을 갖는 사상 ''A''×''A'' → ''A''와, 곱셈 단위원의 스칼라 배와 동일시되는 사상 ''K'' → ''A''에 기반한다. 이 두 사상은 범주론적 쌍대성에 따라, 단위적 결합 대수의 각 공리를 나타내는 가환도표에 나타나는 모든 화살표를 반전시킴으로써 쌍대화될 수 있으며, 이를 통해 여대수의 구조가 정의된다.

더 추상적인 개념으로 ''F''-여대수의 개념도 있다.

두 개의 표현, 예를 들어 σ: ''A'' → gl(''V''), τ: ''A'' → gl(''W'')를 생각해보자. 텐서곱 표현 ρ: ''x'' ↦ σ(''x'') ⊗ τ(''x'')를 텐서곱 공간에 대한 작용이

:

\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w))

로 정의되는 것으로 정하려 할 때, ''k'' ∈ ''K''에 대하여

:

\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)

가 되므로, 이러한 ρ는 선형이 아니다. 이 문제를 회피하고 선형성을 되찾는 방법 중 하나로, 부가 구조로서 사상 Δ: ''A'' → ''A'' × ''A''를 생각하고, 텐서곱 표현을

:

\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta

로 정의하는 것을 생각해 볼 수 있다. 단, Δ는 여곱이다. 이렇게 하여, 쌍대대수 (bialgebra)의 개념을 얻을 수 있다. 결합 대수의 정의와의 일관성을 유지하기 위해서는, 여대수는 여결합적이어야 하며, 대수가 단위적이라면 여대수도 마찬가지로 단위적일 필요가 있다. 주의할 점은, 쌍대대수에서는 곱셈과 여곱셈 사이에는 관련이 없어도 괜찮다는 것이다.

6. 2. 호프 대수 (Hopf algebra)

쌍대대수이면서 반대수(antipode)를 갖는 대수 구조를 호프 대수라고 한다. 표현론에서 텐서곱을 정의하기 위해 필요한 추가적인 구조를 갖추고 있어 중요하다.

예를 들어, 두 표현

\sigma : A \rightarrow \operatorname{gl}(V)

와

\tau : A \rightarrow \operatorname{gl}(W)

가 있을 때, 곱 공간에서 작용하는 방식에 따라 텐서 곱 표현

\rho : x \mapsto \sigma(x) \otimes \tau(x)

를 만들 수 있다. 즉, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w)).

하지만 이 맵은 선형적이지 않다. 왜냐하면

k \in K

에 대해 다음과 같은 식이 성립하기 때문이다.

:

\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)

이 문제를 해결하기 위해 추가적인 구조를 도입하여 선형성을 복원할 수 있다. 대수 준동형사상

\Delta : A \rightarrow A \otimes A

를 정의하고, 텐서 곱 표현을 다음과 같이 정의한다.

:

\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta.

이러한 준동형사상 Δ가 특정 공리를 만족하면 코곱이라고 한다. 결과적인 구조는 쌍대대수라고 한다. 결합 대수의 정의와 일관성을 유지하기 위해, 코대수는 코결합적이어야 하며, 대수가 단위성을 가지면 코대수 또한 코단위성을 가져야 한다. 호프 대수는 추가적인 구조(소위 반대수)를 가진 쌍대대수인데, 이는 두 표현의 텐서 곱뿐만 아니라 두 표현의 Hom 모듈도 정의할 수 있게 해준다.

6. 3. 리 대수 (Lie algebra)

리 대수는 결합 대수의 곱셈을 반대칭적인 리 괄호 곱으로 대체하여 얻어지는 대수 구조이다. 결합 대수에서 곱셈 연산

xy

를 리 괄호 곱 로 정의하면, 리 대수의 개념이 자연스럽게 도출된다.

리 대수는 표현의 텐서곱을 정의하는 또 다른 방법을 제시한다. 두 표현 σ: ''A'' → gl(''V''), τ: ''A'' → gl(''W'')가 있을 때, 텐서곱 표현은 다음과 같이 정의할 수 있다.

:

x \mapsto \rho (x) = \sigma(x) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x)

이 경우 텐서 곱 공간에서의 작용은 다음과 같이 주어진다.

:

\rho(x) (v \otimes w) = (\sigma(x) v)\otimes w + v \otimes (\tau(x) w)

.

이는 ''x''에 대해 선형이며, 곱셈을 보존하는 문제를 해결한다. 일반적인 결합 대수의 곱셈에서는 다음 식이 성립하지 않는다.

:

\rho(xy) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)

.

:

\rho(x)\rho(y) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \sigma(x) \otimes \tau(y) + \sigma(y) \otimes \tau(x) + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)

.

하지만, 리 대수에서는 곱이 반대칭이므로, 이 문제가 해결되어 곱셈이 보존된다.

6. 4. 비단위 결합 대수 (Non-unital associative algebra)

일부 저자는 곱셈 항등원을 가질 필요가 없는 구조를 지칭하기 위해 "결합 대수"라는 용어를 사용하며, 따라서 반드시 단항원이 아닌 준동형 사상을 고려한다.^[1]

비단항 결합 대수의 한 예는 f : '''R''' → '''R'''|f : '''R''' → '''R'''^영어의 모든 함수 집합으로, 여기서 ''x''가 무한대에 가까워질 때의 극한은 0이다.^[1]

또 다른 예는 컨볼루션 곱과 함께 연속 주기 함수의 벡터 공간이다.^[1]

6. 5. 포락 대수 (Enveloping algebra)

가환환 ''R'' 위의 결합 대수 ''A''가 주어졌을 때, '''포락 대수''' ''A''^e는 대수 ''A'' ⊗_''R'' ''A''^op 또는 ''A''^op ⊗_''R'' ''A''이다(저자에 따라 다름).^[1]

''A'' 위의 쌍가군은 정확히 ''A''^e 위의 왼쪽 가군이다.

6. 6. 가분 대수 (Separable algebra)

''A''를 가환환 ''R'' 위의 대수라고 하자. 그러면 대수 ''A''는 ''A''^e := ''A''^op ⊗_''R'' ''A'' 위에서 작용 ''x'' ⋅ (''a'' ⊗ ''b'') = ''axb''을 갖는 오른쪽 모듈이다. 곱셈 사상 ''A'' ⊗_''R'' ''A'' → ''A'' : ''x'' ⊗ ''y'' ↦ ''xy''가 ''A''^e-선형 사상으로 분할될 경우, ''A''는 가분적이라고 한다.^[1] 여기서 ''A'' ⊗ ''A''는 (''x'' ⊗ ''y'') ⋅ (''a'' ⊗ ''b'') = ''ax'' ⊗ ''yb''에 의해 ''A''^e-모듈이다.

''A''는 ''A''^e 위의 사영 가군일 경우 가분적이다. 따라서, ''A''의 ''A''^e-사영 차원(때로는 ''A''의 쌍차원이라고 불린다)은 가분성의 실패를 측정한다.

6. 7. 유한 차원 대수 (Finite-dimensional algebra)

체 ''k'' 위의 유한 차원 대수 ''A''는 아르틴 환이다. ''A''가 가환환인 아르틴 환이면, 잉여체들이 기저체 ''k'' 위의 대수인 아르틴 국소환들의 유한 곱으로 나타낼 수 있다. 기약 아르틴 국소환은 체와 동치이므로, 다음 명제들은 서로 동치이다.

''A''는 분리 가능하다.
''A'' ⊗ ''k''는 환원적이다. (여기서 ''k''는 ''k''의 대수적 폐포이다.)
''A'' ⊗ ''k'' = ''k''ⁿ (n은 자연수)
dim_''k''''A''는 ''k''-대수 준동형사상 ''A'' → ''k''의 개수와 같다.

Γ = Gal(''k''_s/''k'') = projlim Gal(''k''/''k'') 라고 하자. 여기서 ''k''_s는 ''k''의 유한 갈루아 확대들의 프로유한군이다. 그러면 ''A'' ↦ X_A = { ''k''-대수 준동형사상 ''A'' → ''k''_s }는 유한 차원 분리가능 ''k''-대수의 범주에서 연속적인 Γ-작용을 갖는 유한 집합의 범주로의 반동치이다.^[1]

단순 아르틴 링은 나눗셈환 위의 (전체) 행렬 링이므로, ''A''가 단순 대수이면 ''A''는 ''k'' 위의 나눗셈 대수 ''D'' 위의 (전체) 행렬 대수 M_''n''(''D'')이다. 더 일반적으로, ''A''가 반단순 대수이면 (다양한 나눗셈 ''k''-대수 위의) 행렬 대수의 유한 곱이며, 이는 아르틴-베더번 정리로 알려져 있다.

''A''가 아르틴 링이라는 사실은 제이콥슨 근기의 개념을 단순화한다. 아르틴 링의 경우, ''A''의 제이콥슨 근기는 모든 (양쪽) 극대 아이디얼의 교집합이다.

'''베더번 주 정리'''에 따르면, 멱영 아이디얼 ''I''를 갖는 유한 차원 대수 ''A''에 대해 (''A'' / ''I'')^e 상의 모듈로서의 사영 차원이 최대 1이면, 자연 전사 ''p'' : ''A'' → ''A'' / ''I''는 분할된다. 즉, ''A''는 ''p''_''B'' : ''B'' → ''A'' / ''I''가 동형사상이 되는 부분 대수 ''B''를 포함한다. ''I''를 제이콥슨 근기로 삼으면, 이 정리는 특히 제이콥슨 근기가 반단순 대수로 보완됨을 의미한다. 이 정리는 리 대수에 대한 레비 정리와 유사하다.

6. 8. 격자와 순서 (Lattices and orders)

''R''을 분수체 ''K''를 갖는 뇌터 정역(예를 들어, '''Z''', '''Q'''가 될 수 있다)이라고 하자. 유한 차원 ''K''-벡터 공간 ''V''에서의 격자 ''L''은 ''V''를 생성하는 유한 생성 ''R''-부분 모듈이다. 즉, ''L'' ⊗_''R'' ''K'' = ''V''이다.

''A''_''K''를 유한 차원 ''K''-대수라고 하자. ''A''_''K''에서의 순서는 격자인 ''R''-부분 대수이다. 일반적으로 격자보다 순서가 훨씬 적다. 예를 들어 '''Z'''는 '''Q'''의 격자이지만 순서가 아니다 (대수가 아니기 때문이다).^[1]

극대 순서는 모든 순서 중에서 극대인 순서이다.

6. 9. 코대수 (Coalgebra)

체 ''K'' 위의 결합 대수는 두 개의 입력(피승수와 승수)과 하나의 출력(곱)을 갖는 쌍선형 사상 A × A → A^영어와 곱셈 항등원의 스칼라 배수를 식별하는 사상 K → A^영어로 주어지는 ''K''-벡터 공간 ''A''로 주어진다. 쌍선형 사상 A × A → A^영어가 (텐서 곱의 보편 성질에 의해) 선형 사상(즉, ''K''-벡터 공간 범주의 사상) A ⊗ A → A^영어로 재해석된다면, ''K'' 위의 결합 대수를 두 개의 사상(하나는 A ⊗ A → A^영어 형태이고 다른 하나는 K → A^영어 형태)을 갖는 ''K''-벡터 공간 ''A''로 볼 수 있으며, 이는 대수 공리로 귀결되는 특정 조건을 만족한다. 이 두 사상은 대수 공리를 설명하는 가환 다이어그램의 모든 화살표를 뒤집어 범주적 쌍대성을 사용하여 쌍대화할 수 있다. 이것은 코대수의 구조를 정의한다.

또한 ''F''-코대수의 추상적인 개념도 있는데, 여기서 ''F''는 함자이다. 이것은 위에서 논의된 코대수의 개념과 막연하게 관련이 있다.

6. 10. 표현 (Representation)

대수 ''A''의 표현은 대수 준동형 사상 ''ρ'' : ''A'' → End(''V'')^영어으로, ''A''에서 어떤 벡터 공간(또는 가군) ''V''의 자기 준동형 대수로의 사상이다. 여기서 준동형 사상 ''ρ''는 곱셈 연산을 보존한다. 즉, 모든 ''A''의 원소 ''x'', ''y''에 대해 ''ρ''(''xy'') = ''ρ''(''x'')''ρ''(''y'')^영어가 성립하고, ''ρ''는 ''A''의 단위원(항등원)을 End(''V'')의 단위원(항등 자기 준동형 사상)으로 보낸다.

''A''와 ''B''가 대수이고, ''ρ'' : ''A'' → End(''V'')^영어와 ''τ'' : ''B'' → End(''W'')^영어가 각각 ''A'', ''B''의 표현이라면, 텐서 곱 대수 ''A'' ⊗ ''B''^영어의 표현 ''A'' ⊗ ''B'' → End(''V'' ⊗ ''W'')^영어이 벡터 공간 ''V'' ⊗ ''W''^영어 위에 자연스럽게 정의된다. 그러나 추가 조건 없이는, 동일한 대수의 두 표현의 텐서 곱을 그 대수의 표현(즉, 원래 대수 자신의 표현)으로 정의하는 자연스러운 방법은 없다. 여기서 표현의 텐서 곱은 일반적인 의미, 즉 결과가 동일한 대수의 곱 벡터 공간에 대한 선형 표현이어야 함을 의미한다. 이러한 추가 구조는 보통 호프 대수나 리 대수의 개념으로 이어진다.

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