맨위로가기

보편 포락 대수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

보편 포락 대수는 주어진 리 대수를 포함하는 가장 "보편적인" 결합 대수이다. 리 대수의 보편 포락 대수는 텐서 대수를 특정 양쪽 아이디얼로 나눈 몫대수로 정의되며, 범주론적 정의도 존재한다. 보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 보편 포락 대수는 가환환 위의 아벨 리 대수의 경우 가환환이며, 체 위의 리 대수의 경우 영역이고, 비아벨 리 대수인 경우 비가환환이다. 푸앵카레-버코프-비트 정리에 의해 리 대수에서 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이며, 보편 포락 대수는 항상 리 대수로부터 생성된다. 하리시찬드라 동형 정리와 카시미르 불변량은 보편 포락 대수의 중요한 성질이다. 또한, 표현론을 보존하고 좌불변 미분 연산자와 밀접한 관련이 있다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 환론 - 뇌터 환
    뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 R에 대해 다항식환 R[X] 역시 뇌터 환이 된다.
  • 환론 - 다항식환
    다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
  • 리 대수 - 베유 대수
    베유 대수는 체 K 위의 리 대수 g에 대하여 정의되는 미분 등급 대수이며, g의 쌍대 공간과 그 등급 이동으로 생성되는 외대수와 대칭 대수의 텐서곱으로 표현되고, 리 군의 분류 공간의 주다발의 무한소 형태를 나타내는 완전열과 관련이 있다.
  • 리 대수 - 아핀 리 대수
    아핀 리 대수는 카츠-무디 대수의 특수한 경우로, 유한 차원 단순 리 대수에 대응하는 루프 대수의 중심 확장으로 구성되며, 딘킨 도표를 통해 분류되고, 끈 이론과 2차원 등각장론 등 다양한 분야에 응용된다.
보편 포락 대수
개요
유형결합 대수
분야대수학
정의
정의주어진 리 대수의 보편적인 결합 대수
관련 개념
관련 개념텐서 대수
클리퍼드 대수
바일 대수

2. 정의

보편 포락 대수는 주어진 리 대수를 포함하는 가장 "보편적인" 결합 대수이다. 이는 텐서 대수의 몫대수로 정의하는 방법과 범주론적으로 망각 함자의 왼쪽 수반 함자로 정의하는 방법이 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.

보편 포락 대수의 핵심 아이디어는 리 대수 \mathfrak{g}를 항등원을 가진 결합 대수 \mathcal{A}에 포함시켜, \mathfrak{g}의 추상적인 괄호 연산이 \mathcal{A}에서의 교환자 xy-yx에 대응하고, \mathcal{A}가 \mathfrak{g}의 원소에 의해 생성되도록 하는 것이다. 이러한 포함은 여러 방법으로 만들 수 있지만, 이 중 "가장 큰" \mathcal{A}가 유일하게 존재하며, 이를 \mathfrak{g}의 보편 포락 대수라고 한다.

2. 1. 구체적 정의

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌을 때, 그 텐서 대수

:\operatorname T(\mathfrak g)=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak g^{\otimes_Kn}

=K\oplus\mathfrak g\oplus\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\oplus\dotsb



를 생각할 수 있다. 여기서 \otimes는 텐서 곱을, \oplus는 벡터 공간의 직합을 나타낸다.

이제 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 \mathfrak I를 고려한다.

:a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad\forall a,b\in\mathfrak g\subset T(\mathfrak g)

이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

:\operatorname U(\mathfrak g)=\frac{\operatorname T(\mathfrak g)}{\mathfrak I}

를 \mathfrak g의 '''보편 포락 대수'''라고 정의하며, U(\mathfrak g)로 표기한다. 이는 K-결합 대수를 이룬다.

\mathfrak g\subset\operatorname T(\mathfrak g)이므로, 자연스러운 K-선형 변환

:\mathfrak g\to U(\mathfrak g)

이 존재한다.

예를 들어, sl(2,C) 리 대수를 생각해보자. 이 대수는 다음과 같은 행렬들로 생성된다.

: E = \begin{pmatrix}

0 & 1\\

0 & 0

\end{pmatrix}

\qquad

F = \begin{pmatrix}

0 & 0\\

1 & 0

\end{pmatrix}

\qquad

H = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1

\end{pmatrix} ~,

이 행렬들은 다음 교환 관계를 만족한다.

  • [H,E]=2E
  • [H,F]=-2F
  • [E,F]=H


sl(2,C)의 보편 포락 대수는 관계식

:he-eh=2e,\quad hf-fh=-2f,\quad ef-fe=h

를 만족하는 세 원소 e,f,h에 의해 생성되는 대수이다. 그리고 다른 관계는 없다. 2\times 2 행렬 E는 E^2=0을 만족하지만, 보편 포락 대수의 원소 e는 이 관계를 만족하지 않는다. 이는 포락 대수를 구성할 때 이 관계를 부과하지 않기 때문이다.

2. 2. 범주론적 정의

가환환 K가 주어졌을 때, K-리 대수의 범주 \operatorname{LieAlg}_K와 K-결합 대수의 범주 \operatorname{Assoc}_K를 생각할 수 있다. 이 두 범주는 둘 다 대수 구조 다양체의 범주이다. 따라서, 망각 함자

:\operatorname{Forget}\colon\operatorname{Assoc}_K\to\operatorname{LieAlg}_K

:(A,\cdot)\mapsto (A,[-,-]\colon (a,b)\mapsto a\cdot b-b\cdot a)

는 왼쪽 수반 함자

:\operatorname U\dashv \operatorname{Forget}

:\operatorname U\colon \operatorname{LieAlg}_K\to\operatorname{Assoc}_K

를 갖는다. 리 대수의, 이 함자에 대한 상을 그 '''보편 포락 대수'''라고 한다.

\mathfrak{g}를 임의의 리 대수라고 할 때, 다음의 보편 성질을 만족하는 결합 대수 ''A''와 리 대수의 준동형 사상 i: \mathfrak{g} \to A의 쌍 (A, i)가 존재한다 (''A''는 교환자 곱에 의해 리 대수로 간주한다). 임의의 결합 대수 A'와 리 대수 준동형 사상 i'\colon \mathfrak{g} \to A'에 대해, 결합 대수의 준동형 사상 f\colon A \to A'가 존재하여, f \circ i=i'를 만족하는 것이 유일하게 존재한다. 이러한 (A, i)는 동형을 제외하고 유일하게 존재하며, 이를 '''보편 포락 대수'''라고 하며, ''A''를 U(\mathfrak{g})로 표기한다.

2. 3. 보편 포락 대수의 쌍대 대수

보편 포락 대수는 쌍대 가환 호프 대수이므로, 그 쌍대 공간은 가환환을 이룬다. 이는 직접적으로 정의할 수 있다. \mathfrak g가 체 K 위의 유한 차원 리 대수라고 하자. 그렇다면, 보편 포락 대수를 정의하는 K-벡터 공간의 짧은 완전열은 다음과 같이 쌍대화된다.

:0\to \operatorname U(\mathfrak g)^* \to \operatorname T(\mathfrak g)^* \to \mathfrak I^* \to 0

(이 경우 ‘쌍대 공간’은 등급별 쌍대 공간들로 구성된 등급 벡터 공간이다.) 여기서

:\operatorname T(\mathfrak g)^* = \operatorname T(\mathfrak g^*)

이며, 보편 포락 대수의 쌍대는 이러한 텐서 대수의 부분 대수이다. 구체적으로, 보편 포락 대수의 쌍대의 원소

:p = \sum_{i=0}p_i \in \operatorname U(\mathfrak g)^*

는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 각 자연수 i\in\mathbb N에 대하여, 선형 변환 p_i \colon \mathfrak g^{\otimes i} \to K


이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

:\sup \{ i\in\mathbb N \colon p_i \ne 0 \} < \infty

:p_{2+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,y,z,w_1,\dotsc,w_n) - p_{2+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,z,y,w_1,\dotsc,w_n)

= p_{1+m+n}(x_1,\dotsc,x_m,[y,z],w_1,\dotsc,w_n)

\qquad\forall m,n\in\mathbb N,\;x_1,\dotsc,x_m,y,z,w_1,\dotsc,w_n\in\mathfrak g



예를 들어

:p_2(x,y)-p_2(y,x) = p_1([x,y])

:p_3(x,y,z) - p_3(x,z,y) = p_2(x,[y,z])

:p_3(x,y,z) - p_3(y,x,z) = p_2([x,y],z)

이다. (p_0\in K는 항등식에 등장하지 않는다.)

이 위의 가환환 구조는 다음과 같다.

:(pq)_0() = p_0()q_0()

:(pq)_1(x) = p_0()q_1(x) + p_1(x)q_0()

:(pq)_2(x,y) = p_0()q_2(x,y) + p_1(x)q_2(y) + p_1(y)q_1(x) + p_2(x,y)q_0()

:(pq)_3(x,y,z) = p_0()q_3(x,y,z) + p_1(x)q_2(y,z) + p_1(y)q_2(x,z) + p_1(z)q_2(x,y) + p_2(x,y)q_1(z) + p_2(x,z)q_2(y) + p_2(y,z)q_2(x) + p_3(x,y,z)q_0()

:\vdots

일반적으로 (pq)_i의 표현은 2^i개의 항을 갖는다. 그 항등원은

:e_0() = 1

:e_i = 0\qquad\forall i>0

이다.

3. 성질

보편 포락 대수는 다음과 같은 성질을 갖는다.


  • 환론적 성질:
  • 가환환 K 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.
  • 체 K 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 비아벨 리 대수인 경우 \operatorname U(\mathfrak g)는 비가환환(정역이 아님)이다.
  • \mathfrak{g}를 기저 X_1,\ldots X_n을 갖는 리 대수 (편의상 유한 차원)라고 하고, c_{ijk}를 이 기저에 대한 구조 상수라고 하면, 보편 포락 대수는 관계식 x_i x_j - x_j x_i=\sum_{k=1}^n c_{ijk}x_k 를 만족하는 원소 x_1,\ldots x_n에 의해 생성되는 결합 대수(항등원을 갖는)이며, 다른 관계는 없다.
  • 연산과의 호환: 체 K 위의 두 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h의 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak h의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.[11] 즉,

:\operatorname U(\mathfrak g\oplus\mathfrak h) = \operatorname U(\mathfrak g)\otimes_K \operatorname U(\mathfrak h)

  • 푸앵카레-버코프-비트 정리 (Poincaré–Birkhoff–Witt Theorem): 리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.[6]
  • 하리시찬드라 동형 정리(Harish-Chandra isomorphism theorem영어): 복소수체 위의 가약 리 대수 \(\mathfrak g\)의 보편 포락 대수 \(\operatorname U(\mathfrak g)\)의 중심 \(\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))\)에 대하여, 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.
  • 카시미르 불변량(Casimir invariant영어): n차원 복소수 단순 리 대수 \mathfrak g에서 킬링 형식을 이용하여 정의할 수 있다. 카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다.[1]

3. 1. 환론적 성질

가환환 K 위의 아벨 리 대수의 보편 포락 대수는 가환환이다.

체 K 위의 리 대수의 보편 포락 대수는 영역이며, 만약 추가로 비아벨 리 대수라면 \operatorname U(\mathfrak g)는 비가환환이다 (즉, 정역이 아니다).

\mathfrak{g}를 기저 X_1,\ldots X_n을 갖는 리 대수라고 하자. 편의상 유한 차원이라고 가정한다. c_{ijk}를 이 기저에 대한 구조 상수라고 하면 다음과 같다.

:[X_i,X_j]=\sum_{k=1}^n c_{ijk}X_k.

그러면 보편 포락 대수는 관계식을 만족하는 원소 x_1,\ldots x_n에 의해 생성되는 결합 대수(항등원을 갖는)이다.

:x_i x_j - x_j x_i=\sum_{k=1}^n c_{ijk}x_k

그리고 ''다른 관계는 없다''.

예를 들어, 행렬에 의해 생성되는 리 대수 sl(2,C)를 생각해 보자.

: E = \begin{pmatrix}

0 & 1\\

0 & 0

\end{pmatrix}

\qquad

F = \begin{pmatrix}

0 & 0\\

1 & 0

\end{pmatrix}

\qquad

H = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1

\end{pmatrix} ~,

이 행렬은 교환 관계 [H,E]=2E, [H,F]=-2F, 그리고 [E,F]=H를 만족한다. 그러면 sl(2,C)의 보편 포락 대수는 관계식을 만족하는 세 개의 원소 e,f,h에 의해 생성되는 대수이다.

:he-eh=2e,\quad hf-fh=-2f,\quad ef-fe=h,

그리고 다른 관계는 없다. 보편 포락 대수가 2\times 2 행렬 대수와 같지 않으며 (또는 그 안에 포함되지 않음)을 강조한다. 예를 들어, 2\times 2 행렬 E는 E^2=0을 만족하며, 이는 쉽게 확인할 수 있다. 그러나 보편 포락 대수에서 원소 e는 e^2=0을 만족하지 않는데, 이는 포락 대수를 구성할 때 이 관계를 부과하지 않기 때문이다. 실제로, 푸앵카레-비르코프-위트 정리에 의해 보편 포락 대수에서 원소 1,e,e^2,e^3,\ldots는 모두 선형 독립이다.

3. 2. 연산과의 호환

체 K 위의 두 리 대수 \mathfrak g, \mathfrak h의 직합 \mathfrak g\oplus\mathfrak h의 보편 포락 대수는 각 성분의 보편 포락 대수들의 (결합 대수로서의) 텐서곱이다.[11]

:\operatorname U(\mathfrak g\oplus\mathfrak h) = \operatorname U(\mathfrak g)\otimes_K \operatorname U(\mathfrak h)

3. 3. 푸앵카레-버코프-비트 정리 (Poincaré–Birkhoff–Witt Theorem)

리 대수에서 그 보편 포락 대수로 가는 선형 변환은 단사 함수이다.[6] 리 대수의 기저를 선택하고 순서를 부여하면, 보편 포락 대수의 기저를 명시적으로 구성할 수 있다.

임의의 가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하고, \mathfrak g가 K-자유 가군이라고 하자. \mathfrak g의 (하멜) 기저 B\subseteq \mathfrak g를 고르고, B 위에 임의의 전순서를 부여한다.

그러면, U(\mathfrak g) 역시 K-자유 가군이며, U(\mathfrak g)의 기저는 다음과 같다.

:\left\{

\iota_{\mathfrak g}(b_1)\iota_{\mathfrak g}(b_2)\dotsm\iota_{\mathfrak g}(b_n)

\colon n\in\mathbb N,\;b_1,b_2,\dotsc,b_n\in B

\right\}

여기서 \mathbb N=\{0,1,2,\dotsc\}은 자연수의 집합이며, 특히 n=0일 경우 0개 항의 곱은 1이다.

일반적으로 보편 포락 대수의 원소는 모든 가능한 순서로 생성자의 곱의 선형 결합이다. 보편 포락 대수의 정의 관계를 사용하여 이러한 곱을 특정 순서로 재정렬할 수 있다. 예를 들어 x_2 x_1 ("잘못된" 순서)을 포함하는 항이 있을 때마다 관계를 사용하여 이를 x_1 x_2 더하기 x_j의 선형 결합으로 다시 쓸 수 있다. 이러한 작업을 반복하면 모든 원소를 오름차순으로 정렬된 항의 선형 결합으로 변환할 수 있다. 따라서 다음과 같은 형태의 원소

:x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}

(k_j는 음이 아닌 정수)는 포락 대수를 생성한다. 푸앵카레-비르코프-윗 정리는 이러한 원소들이 선형 독립적이며 따라서 보편 포락 대수의 기저를 형성한다고 주장한다. 특히, 보편 포락 대수는 항상 무한 차원이다.[6]

정의된 기저와 순서를 사용하지 않고도 정리를 나타낼 수 있다. 이는 무한 차원 리 대수와 같이 기저 벡터를 정의하기 어려운 경우에 편리하다.

3. 4. 하리시찬드라 동형 정리 (Harish-Chandra Isomorphism Theorem)

복소수체 위의 가약 리 대수 (reductive Lie algebra영어) \(\mathfrak g\)의 보편 포락 대수 \(\operatorname U(\mathfrak g)\)의 중심 \(\operatorname Z(\operatorname U(\mathfrak g))\)을 생각하자. 이 경우, 바일 군 \(\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)\)을 정의할 수 있다. 또한, \(\mathfrak g\)의 카르탕 부분 대수 \(\mathfrak h\)를 고른다면, \(\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)\)는 \(\mathfrak h\) 위에 자연스럽게 작용하며, 나아가 \(\mathfrak h\) 위의 다항식환 (대칭 대수) \(\operatorname{Sym}\mathfrak h\) 위에도 자연스럽게 작용한다.

'''하리시찬드라 동형 정리'''(हरीश चन्द्र동型定理, Harish-Chandra isomorphism theorem영어)에 따르면, 다음과 같은 표준적인 결합 대수 동형이 존재한다.

:\(\operatorname Z(\operatorname U\mathfrak g))=(\operatorname{Sym}\mathfrak h)^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}\)

여기서 \((\operatorname{Sym}\mathfrak h)^{\operatorname{Weyl}(\mathfrak g)}\)는 바일 군의 작용에 불변인 원소들로 구성된 불변 부분 대수를 뜻한다.

3. 5. 카시미르 불변량 (Casimir Invariant)

카시미르 불변량(Casimir invariant영어)은 n차원 복소수 단순 리 대수 \mathfrak g에서 킬링 형식

:B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*

을 이용하여 정의할 수 있다. B-정규 직교 기저

:\mathfrak g=\operatorname{Span}\{X^1,\dots,X^n\}

:B(X^i,X^j)=\delta^{ij}

가 주어졌을 때, 카시미르 불변량은 다음과 같은 보편 포락 대수 \operatorname U(\mathfrak g)의 원소이다.[1]

:C=\sum_{i=1}^nB(X^i,X^j)\in U(\mathfrak g)

일반적으로, 체 K 위의 유한 차원 리 대수 \mathfrak g 위의 대칭 쌍선형 형식

:B\in\operatorname{Sym}^2\mathfrak g^*

가 딸림표현 아래 불변이면, 즉,

:B([X,Y],Z)+B(Y,[X,Z])=0\qquad\forall X,Y,Z\in\mathfrak g

이면, 카시미르 불변량 C(B)\in U(\mathfrak g)를 정의할 수 있다.[1]

카시미르 불변량은 항상 보편 포락 대수의 중심에 속한다.[1] K=\mathbb R일 경우, 단일 연결 리 군 G의 리 대수 \operatorname{Lie}(G) 위의 불변 대칭 쌍선형 형식 B는 G 위의 리만 계량을 정의하며, 이에 대한 카시미르 불변량은 G 위의 라플라스-벨트라미 연산자 \Delta_B와 같다.[1]

단순 리 대수의 보편 포락 대수의 중심은 하리쉬-찬드라 동형사상에 의해 주어진다. 유한 차원 반단순 리 대수의 대수적으로 독립적인 카시미르 연산자의 수는 해당 대수의 랭크와 같다.[1]

회전군 SO(3)의 경우 랭크가 1이므로 하나의 카시미르 연산자를 가지며, 이는 2차 카시미르 연산자인 제곱 각운동량 연산자이다.[1]

4. 역사

1880년대에 알프레도 카펠리(it)가 리 대수 \mathfrak{gl}(n;K)에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다.[12] 그러나 그의 업적은 오랫동안 알려지지 않았다. 1900년에 앙리 푸앵카레가 임의의 리 대수에 대한 푸앵카레-버코프-비트 정리를 증명하였다.[12] 그러나 푸앵카레의 논문 역시 한동안 잘 알려지지 못했다.

이후 1937년에 개릿 버코프[13]와 에른스트 비트[14]가 독자적으로 푸앵카레-버코프-비트 정리를 재발견하였다. (버코프와 비트 둘 다 카펠리 및 푸앵카레의 업적을 인용하지 않았다.) 이후 이 정리는 “버코프-비트 정리”로 불리다가, 1960년에 니콜라 부르바키가 이를 “푸앵카레-버코프-비트 정리”(théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt프랑스어)로 일컫기 시작하였다.[15]

하리시찬드라 동형 정리는 하리시찬드라가 증명하였다.

5. 구성

가환환 K에 대한 리 대수 \mathfrak g가 주어졌다고 하자. 그 텐서 대수는 다음과 같다.

:\operatorname T(\mathfrak g)=\bigoplus_{n=0}^\infty\mathfrak g^{\otimes_Kn}

=K\oplus\mathfrak g\oplus\mathfrak g\otimes_K\mathfrak g\oplus\dotsb



여기에 다음과 같은 원소들로 생성되는 양쪽 아이디얼 \mathfrak I를 생각하자.

:a\otimes b-b\otimes a-[a,b]\qquad\forall a,b\in\mathfrak g\subset T(\mathfrak g)

이 양쪽 아이디얼에 대한 몫대수

:\operatorname U(\mathfrak g)=\frac{\operatorname T(\mathfrak g)}{\mathfrak I}

를 \mathfrak g의 '''보편 포락 대수''' \operatorname U(\mathfrak g)라고 한다. 이는 K-결합 대수를 이룬다.[2]

\mathfrak g\subset\operatorname T(\mathfrak g)이므로, 자연스러운 K-선형 변환

:\mathfrak g\to U(\mathfrak g)

이 존재한다.

보편 포락 대수 \operatorname U(\mathfrak g)는 텐서 대수 T(\mathfrak g)로부터 자연스럽게 호프 대수의 구조를 물려받는다. 모든 a,b\in\mathfrak g에 대하여, 호프 대수의 연산은 다음과 같다.


  • 곱셈: ab
  • 단위원: 1
  • 쌍대곱: \Delta(a)=a\otimes1+1\otimes a
  • 쌍대단위원: \epsilon(a)=0
  • 앤티포드: S(a)=-a


보편 포락 대수는 원래의 리 대수와 호환되는 리 괄호를 가진 \mathfrak g의 원소에 의해 생성된 "가장 큰" 단위 결합 대수이다. 모든 리 대수 \mathfrak{g}는 벡터 공간이므로, 그로부터 텐서 대수 T(\mathfrak{g)를 자유롭게 구성할 수 있다. 텐서 대수는 자유 대수이다. 즉, \mathfrak{g}에 있는 모든 가능한 벡터들의 모든 가능한 텐서 곱을 포함하며, 이러한 곱에 대한 어떠한 제한도 없다.

텐서 대수는 다음과 같이 구성된다.

:T(\mathfrak{g}) = K \,\oplus\, \mathfrak{g} \,\oplus\, (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g})

\,\oplus\, (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}) \,\oplus\, \cdots

여기서 \otimes는 텐서 곱이고, \oplus는 벡터 공간의 직합이다. K는 리 대수가 정의된 체이다.

구성의 첫 번째 단계는 리 대수에서 텐서 대수로 리 괄호를 "올리는" 것이다. 리 대수의 괄호 연산은 \mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}의 쌍선형, 왜곡 대칭이며 야코비 항등식을 만족시키는 사상이다.

올림은 등급별로 수행할 수 있다. 먼저 \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}에 대한 괄호를 다음과 같이 정의한다.

:a \otimes b - b \otimes a = [a,b]

이는 양쪽 모두 쌍선형이고 왜곡 대칭이기 때문에 가능하다. 임의의 n에 대해 T^n(\mathfrak{g})로 올리는 것은 다음과 같이 재귀적으로 정의한다.

:[a\otimes b, c] = a \otimes [b,c] + [a,c]\otimes b

마찬가지로

:[a, b\otimes c] = [a,b]\otimes c + b\otimes [a,c]

위의 정의가 쌍선형이고 왜곡 대칭이며, 야코비 항등식을 따른다는 것을 보일 수 있다. 최종 결과는 T(\mathfrak{g}) 전체에 일관되게 정의된 리 괄호를 갖는 것이다.

이 올림의 결과는 푸아송 대수이다. 리 대수 괄호와 호환되는 리 괄호를 가진 단위 결합 대수이지만, "가장 작은" 대수는 아니다. \mathfrak{g}의 보편 포락 대수 U(\mathfrak{g})는 몫 공간으로 정의된다.

:U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/\sim

여기서 동치 관계 \sim는 다음과 같다.

:a\otimes b - b \otimes a = [a,b]

즉, 리 괄호는 몫을 수행하는 데 사용되는 동치 관계를 정의한다. 결과는 여전히 단위 결합 대수이며, 임의의 두 구성원의 리 괄호를 취할 수 있다. U(\mathfrak{g})의 각 요소가 잉여류로 이해될 수 있다는 점을 기억하면, 괄호를 평소처럼 취하고 결과를 포함하는 잉여류를 검색하여 결과를 쉽게 계산할 수 있다.

다른 방식으로는 다음과 같은 형태의 요소로 생성된 양면 아이디얼 I를 고려한다.

:a\otimes b - b \otimes a - [a,b]

이 생성자는 다음의 요소이다.

:\mathfrak{g} \oplus (\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}) \subset T(\mathfrak{g})

아이디얼 I의 일반적인 구성원은 다음과 같은 형태를 가질 것이다.

:c\otimes d \otimes \cdots \otimes (a\otimes b - b \otimes a - [a,b]) \otimes f \otimes g \cdots

어떤 a,b,c,d,f,g\in\mathfrak{g}에 대해. I의 모든 요소는 이러한 형태의 요소의 선형 결합으로 얻어진다. j\in I이고 x\in T(\mathfrak{g}),이면 j\otimes x\in I이고 x\otimes j\in I.이므로 아이디얼이다. 보편 포락 대수는 다음으로 정의될 수 있다.

:U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I

5. 1. 비공식적 구성

리 대수를 항등원을 가진 결합 대수에 포함시키는 것을 바탕으로 한다. 이때, 리 대수의 추상적인 괄호 연산은 결합 대수에서의 교환자 xy-yx에 대응되며, 결합 대수는 리 대수의 원소에 의해 생성된다. 이러한 포함을 만드는 방법은 여러 가지가 있을 수 있지만, "가장 큰" 결합 대수가 유일하게 존재하며, 이를 리 대수의 보편 포락 대수라고 한다.

기저 X_1,\ldots X_n을 갖는 유한 차원 리 대수 \mathfrak{g}를 생각해 보자. c_{ijk}를 이 기저에 대한 구조 상수라고 하면, 다음이 성립한다.

:[X_i,X_j]=\sum_{k=1}^n c_{ijk}X_k.

그러면 보편 포락 대수는 다음 관계식을 만족하는 원소 x_1,\ldots x_n에 의해 생성되는, 항등원을 갖는 결합 대수이다.

:x_i x_j - x_j x_i=\sum_{k=1}^n c_{ijk}x_k

그리고 ''다른 관계는 없다''.

예를 들어, 행렬로 생성되는 리 대수 sl(2,C)를 생각해 보자.

: E = \begin{pmatrix}

0 & 1\\

0 & 0

\end{pmatrix}

\qquad

F = \begin{pmatrix}

0 & 0\\

1 & 0

\end{pmatrix}

\qquad

H = \begin{pmatrix}

1 & 0\\

0 & -1

\end{pmatrix} ~,

이 행렬들은 교환 관계 [H,E]=2E, [H,F]=-2F, [E,F]=H를 만족한다. 그러면 sl(2,C)의 보편 포락 대수는 다음 관계식을 만족하는 세 원소 e,f,h로 생성되는 대수이다.

:he-eh=2e,\quad hf-fh=-2f,\quad ef-fe=h,

그리고 다른 관계는 없다. 여기서 보편 포락 대수가 2\times 2 행렬 대수와 같지 않으며, 그 안에 포함되지도 않는다는 점을 주의해야 한다. 예를 들어 2\times 2 행렬 E는 E^2=0을 만족하지만, 보편 포락 대수의 원소 e는 이 관계를 만족하지 않는다. 이는 보편 포락 대수를 구성할 때 이 관계를 부과하지 않기 때문이다. 실제로 푸앵카레-비르코프-위트 정리에 의해 보편 포락 대수에서 원소 1,e,e^2,e^3,\ldots는 모두 선형 독립이다.

5. 2. 수퍼대수 및 기타 일반화

보편 포락 대수의 구성은 리 수퍼대수 등 다른 대수 구조로 일반화될 수 있다. 리 수퍼대수의 경우, 요소를 치환할 때 부호를 주의 깊게 추적하여 (반)교환자를 (반)교환 푸아송 괄호로 바꾼다. 말체프 대수Mal'cev algebra영어, 볼 대수Bol algebra영어[4] 및 left alternative algebra|좌측 대체 대수영어[3] 에 대해서도 일반화되었다.

6. 보편 성질

보편 포락 대수는 특정한 보편 성질을 만족시키는 유일한 결합 대수이다. 이 보편 성질은 리 대수의 표현을 보편 포락 대수의 가군으로 확장하는 데 중요한 역할을 한다.[5]

리 대수 \(\mathfrak{g}\)와 단위 결합 대수 \(A\)로의 리 대수 사상 \(\varphi\colon \mathfrak{g} \to A\)가 주어졌다고 하자. 이 사상은 모든 \(X, Y \in \mathfrak{g}\)에 대해 \(\varphi([X, Y]) = \varphi(X)\varphi(Y) - \varphi(Y)\varphi(X)\)를 만족한다. 그렇다면 다음을 만족하는 유일한 단위 대수 준동형사상 \(\widehat{\varphi}\colon U(\mathfrak{g}) \to A\)가 존재한다.

\(\varphi = \widehat{\varphi} \circ h\)

여기서 \(h\colon \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})\)는 정규 사상이다.

즉, \(\varphi\colon\mathfrak{g}\rightarrow A\)가 \(\varphi([X,Y])=\varphi(X)\varphi(Y)-\varphi(Y)\varphi(X)\)을 만족하는 단위 대수 \(A\)로의 선형 사상이라면, \(\varphi\)는 대수 준동형사상 \(\widehat\varphi: U(\mathfrak{g}) \to A\)로 확장된다. \(U(\mathfrak{g})\)는 \(\mathfrak{g}\)의 원소에 의해 생성되므로, \(\widehat{\varphi}\)는 다음 요구 사항에 의해 유일하게 결정된다.

\(\widehat{\varphi}(X_{i_1}\cdots X_{i_N})=\varphi(X_{i_1})\cdots \varphi(X_{i_N}),\quad X_{i_j}\in\mathfrak{g}\).

여기서 핵심은 \(U(\mathfrak{g})\)에는 \(\mathfrak{g}\)의 교환 관계에서 파생되는 관계 외에 다른 관계가 없다는 것이다. 따라서 \(\widehat{\varphi}\)는 \(x\in U(\mathfrak{g})\)를 리 대수 원소들의 곱의 선형 결합으로 쓰는 방법에 관계없이 잘 정의된다.

이 보편 성질은 \(\mathfrak{g}\)의 모든 표현이 벡터 공간 \(V\)에서 작용하면 \(U(\mathfrak{g})\)의 표현으로 고유하게 확장된다는 것을 의미한다. 이는 카시미르 원소가 \(V\)에 작용할 수 있도록 하기 때문에 중요하다. 이러한 연산자( \(U(\mathfrak{g})\)의 중심으로부터)는 스칼라로 작용하며 표현에 대한 중요한 정보를 제공한다. 특히 이차 카시미르 원소는 이와 관련하여 특히 중요하다.

임의의 리 대수 \(\mathfrak{g}\)에 대해, 다음 보편 성질을 만족하는 결합 대수 \(A\)와 리 대수 준동형 사상 \(i\colon \mathfrak{g} \to A\)의 쌍 \((A, i)\)가 유일하게 존재한다. ( \(A\)는 교환자 곱에 의해 리 대수로 간주한다.)


  • 임의의 결합 대수 \(A'\)와 리 대수 준동형 사상 \(i'\colon \mathfrak{g} \to A'\)에 대해, 결합 대수의 준동형 사상 \(f\colon A \to A'\)가 존재하여, \(f \circ i = i'\)를 만족한다.


이러한 \((A, i)\)는 동형을 제외하고 유일하며, \(A\)를 \(U(\mathfrak{g})\)로 표기하고 '''보편 포락 대수'''라고 한다.

7. 기호 대수

리 대수의 대수 구조를 표준 결합 대수에 배치하기 위해 대칭 다항식의 공간에 곱, \star을 부여하는 것을 '''기호 대수''' \star(\mathfrak{g})라고 한다. 이는 PBW 정리가 가리는 교환 관계를 다시 조명한다.

기호 대수는 S(\mathfrak{g})의 원소를 가져와 각 생성자 e_i를 불확정 변수, 교환 변수 t_i로 대체하여 체 K 위의 대칭 다항식 공간 K[t_i]을 얻음으로써 얻어진다. 결과 다항식을 S(\mathfrak{g})의 해당 원소의 '''기호'''라고 부른다. 역 맵은 다음과 같다.

:w: \star(\mathfrak{g})\to U(\mathfrak{g})

각 기호 t_i를 e_i로 대체한다. 대수 구조는 곱 \star이 동형 사상으로 작용하도록 요구하여 얻어진다. 즉, 다항식 p,q\in \star(\mathfrak{g})에 대해 다음과 같다.

:w(p \star q) = w(p)\otimes w(q)

이 곱에 대한 명시적 표현은 '''Berezin 공식'''이다.[9] 이는 기본적으로 리 군의 두 원소의 곱에 대한 Baker–Campbell–Hausdorff 공식에서 비롯된다. 닫힌 형식의 표현은 다음과 같다.[10]

:p(t)\star q(t)= \left. \exp\left(t_i

m^i \left(\frac{\partial}{\partial u}, \frac{\partial}{\partial v} \right)

\right) p(u)q(v)\right \vert_{u=v=t}

여기서 m(A,B)=\log\left(e^Ae^B\right)-A-B이며, m^i는 선택된 기저에서 m이다.

하이젠베르크 대수의 보편 포락 대수는 바일 대수(중심이 단위원이 된다는 관계를 제외)이며, 여기서 \star 곱은 모얄 곱이라고 불린다.

8. 표현론

보편 포락 대수는 표현론을 보존한다. 즉, \mathfrak{g}의 표현은 U(\mathfrak{g}) 위의 가군과 일대일 대응된다. 더 추상적으로 말하면, \mathfrak{g}의 모든 표현의 아벨 범주는 U(\mathfrak{g}) 위의 모든 왼쪽 가군의 아벨 범주와 동형이다.

반단순 리 대수의 표현론은 크로네커 곱으로 알려진 다음 동형 사상에 기반한다.

:U(\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2)\cong U(\mathfrak{g}_1)\otimes U(\mathfrak{g}_2)

여기서 \mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2는 리 대수이다. 이 동형 사상은 다음 포함 사상의 올림에 따른다.

:i(\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2)

=i_1(\mathfrak{g}_1)\otimes 1 \oplus 1\otimes i_2(\mathfrak{g}_2)

여기서

:i:\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})

는 표준 포함 사상이다. (첨자는 각각 첫 번째 대수와 두 번째 대수를 나타낸다).

표현의 구성은 일반적으로 최고 무게의 베르마 가군을 구축함으로써 진행된다.

\mathfrak{g}가 ''무한소 변환''으로 작용하는 일반적인 맥락에서, U(\mathfrak{g})의 원소는 모든 차수의 미분 연산자처럼 작용한다.

9. 좌불변 미분 연산자

G가 리 대수 \mathfrak{g}를 갖는 실수 리 군이라고 가정하자. 현대적인 접근 방식에 따르면, \mathfrak{g}를 좌불변 벡터장(즉, 1차 좌불변 미분 연산자)의 공간과 동일시할 수 있다. 구체적으로, \mathfrak{g}의 각 벡터는 고유한 좌불변 확장을 갖는다. 그런 다음, 접선 공간의 벡터를 관련된 좌불변 벡터장과 동일시한다. 두 좌불변 벡터장의 교환자(미분 연산자로서)는 다시 벡터장이며 다시 좌불변이다. \mathfrak{g}에 대한 괄호 연산은 관련된 좌불변 벡터장에 대한 교환자로 정의할 수 있다.[7]

임의 차수의 좌불변 미분 연산자를 고려할 수 있다. 이러한 각 연산자는 좌불변 벡터장의 곱의 선형 결합으로 표현될 수 있다. G에 대한 모든 좌불변 미분 연산자의 모임은 대수 D(G)를 형성한다. D(G)는 보편 포락 대수 U(\mathfrak{g})와 동형이다.[8]

\mathfrak{g}가 실수 리 군의 리 대수로 나타나는 경우, 좌불변 미분 연산자를 사용하여 푸앵카레-비르크호프-위트 정리에 대한 해석적 증명을 제시할 수 있다. 좌불변 미분 연산자의 대수 D(G)는 \mathfrak{g}의 교환 관계를 만족하는 요소(좌불변 벡터장)에 의해 생성된다. 따라서, D(G)는 U(\mathfrak{g})의 몫이다.

참조

[1] 간행물
[2] 간행물
[3] 논문 An envelope for Malcev algebras
[4] 논문 An envelope for Bol algebras
[5] 간행물
[6] 간행물
[7] 간행물
[8] 간행물
[9] 논문 Some remarks about the associated envelope of a Lie algebra
[10] 문서 Universal enveloping algebras and some applications in physics http://www.ulb.ac.be[...]
[11] 서적 Lie groups and Lie algebras Ⅰ. Foundations of Lie Theory. Lie transformation groups Springer-Verlag 1993
[12] 저널 Sur les groupes continus
[13] 저널 Representability of Lie algebras and Lie groups by matrices 1937-04
[14] 저널 Treue Darstellung Liescher Ringe http://gdz.sub.uni-g[...]
[15] 서적 Groupes et algèbres de Lie Hermann


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com