공식

3. 공식의 종류

수학에서 공식은 일반적으로 하나의 수학적 식과 다른 식을 연관시키는 방정식 또는 부등식을 의미하며, 가장 중요한 것은 수학적 정리이다.^[3] 예를 들어, 구의 부피를 결정하려면 상당한 양의 적분 미적분 또는 그 기하학적 유사체인 고갈법이 필요하다.^[3] 그러나 일부 매개변수 (예: 반지름)를 기준으로 이 작업을 한 번 수행한 후 수학자들은 구의 부피를 반지름으로 나타내는 공식을 만들었다.

: V = 4/3 πr³

이 결과를 얻은 후에는 반지름만 알면 어떤 구의 부피든 계산할 수 있다. 여기서 부피 ''V''와 반지름 ''r''은 단어 또는 구문 대신 단일 문자로 표현된다는 점에 유의해야 한다. 비교적 단순한 공식에서는 덜 중요하지만, 이러한 관례는 수학자들이 더 크고 복잡한 공식을 더 빠르게 조작할 수 있게 해준다.^[4] 수학 공식은 종종 대수 방정식, 해석적 표현 또는 폐형식 표현이다.^[5]

일반적인 맥락에서 공식은 종종 현실 세계 현상의 수학적 모델을 나타내며, 따라서 현실 세계 문제에 대한 해답(또는 근사 해답)을 제공하는 데 사용될 수 있으며, 일부는 다른 것보다 더 일반적이다. 예를 들어, 공식

: F = ma

는 뉴턴의 제2법칙을 표현한 것이며, 광범위한 물리적 상황에 적용할 수 있다. 사인 곡선의 방정식을 사용하여 만의 조수의 움직임을 모델링하는 것과 같은 다른 공식은 특정 문제를 해결하기 위해 만들어질 수 있다. 그러나 모든 경우에 공식은 계산의 기초를 형성한다.

식은 일반적으로 관계인 등호 (=) 또는 부등호 (<)를 포함하지 않는다는 점에서 공식과 구별된다. 식은 수학적 대상을 나타내는 반면, 공식은 수학적 대상에 대한 진술을 나타낸다.^[6][7] 이는 자연어와 유사하며, 여기서 명사구는 객체를 지칭하고 전체 문장은 사실을 지칭한다. 예를 들어, 8x-5는 식인 반면, 8x-5 ≥ 3는 공식이다.

수학적 논리에서, 공식(종종 ''잘 정의된 공식''이라고 함)은 주어진 논리 언어의 기호와 형성 규칙을 사용하여 구성된 실체이다.^[8]

현대 화학에서 화학식은 특정 화합물을 구성하는 원자의 비율에 대한 정보를 표현하는 방법으로, 단일 행의 화학 원소 기호, 숫자, 때로는 괄호, 대괄호, 더하기(+) 및 빼기(−) 기호와 같은 다른 기호를 사용한다.^[9] 예를 들어, H₂O는 각 분자가 두 개의 수소 (H) 원자와 한 개의 산소 (O) 원자로 구성되어 있음을 지정하는 물의 화학식이다. 마찬가지로 O는 세 개의 산소 원자로 구성된 오존 분자^[10]와 순 음전하를 나타낸다.

화학식은 각 구성 원소를 해당 화학 기호로 식별하고 각 원소의 원자 비율을 나타낸다.

실험식에서 이러한 비율은 주요 원소로 시작하여 화합물 내 다른 원소의 원자 수를 주요 원소에 대한 비율로 할당한다. 분자 화합물의 경우, 이러한 비율 수는 항상 정수로 표현될 수 있다. 예를 들어, 에탄올의 실험식은 C₂H₆O로 쓸 수 있다.^[11] 에탄올 분자는 모두 2개의 탄소 원자, 6개의 수소 원자, 1개의 산소 원자를 포함하기 때문이다. 그러나 일부 유형의 이온 화합물은 정수만 포함하는 실험식으로 쓸 수 없다. 예로는 탄화 붕소가 있는데, CBₙ의 공식은 가변적인 비정수 비율이며, n은 4 이상에서 6.5 이상까지 다양하다.

화학식의 화학 화합물이 단순한 분자로 구성된 경우, 화학식은 종종 분자의 구조를 암시하는 방법을 사용한다. 이러한 공식에는 분자식 및 축약 구조식을 포함한 여러 유형이 있다. 분자식은 분자 내의 원자 수를 열거하므로 포도당의 분자식은 CH₂O인 포도당 실험식이 아닌 C₆H₁₂O₆이다. 매우 단순한 물질을 제외하고, 분자 화학식은 일반적으로 필요한 구조적 정보가 부족하며 경우에 따라 모호할 수도 있다.

구조식은 각 원자의 위치와 결합하는 원자를 보여주는 그림이다.

컴퓨팅에서 공식은 일반적으로 하나 이상의 변수에 대해 수행할 계산을 설명하며, 덧셈과 같은 연산을 포함한다. 공식은 종종 다음과 같은 컴퓨터 명령어 형태로 암시적으로 제공된다.

: ''섭씨 온도'' = (5/9) * (''화씨 온도'' - 32)

컴퓨터 스프레드시트 소프트웨어에서, ''A3''와 같은 셀 참조의 값을 계산하는 방법을 나타내는 공식은 다음과 같이 작성될 수 있다.

: ''=A1+A2''

여기서 ''A1''과 ''A2''는 스프레드시트 내의 다른 셀(A열, 1행 또는 2행)을 참조한다. 이것은 "종이" 형태인 ''A3 = A1+A2''의 축약형이며, 여기서 ''A3''는 관례적으로 생략된다. 그 이유는 결과가 항상 셀 자체에 저장되어 이름의 언급을 불필요하게 만들기 때문이다.

과학에서 사용되는 공식은 거의 항상 단위 선택을 필요로 한다.^[12] 공식은 물리학의 온도, 질량 또는 전하, 경제학의 공급, 이익 또는 수요, 또는 다른 분야의 광범위한 다른 양과 같은 다양한 양 사이의 관계를 표현하는 데 사용된다.

과학에서 사용되는 공식의 예는 볼츠만 엔트로피 공식이다. 통계 열역학에서, 이것은 이상 기체의 엔트로피 ''S''를 주어진 거시 상태에 해당하는 미시 상태의 수인 ''W''와 관련된 확률 방정식이다.

: S = k · lnW

여기서 ''k''는 볼츠만 상수이고, ''W''는 주어진 거시 상태와 일치하는 미시 상태의 수이다.

3. 1. 수학 공식

• 전개 및 인수분해 공식:
• : (a+b)² = a² + 2ab + b²
• : (a+b)(a-b) = a² - b²
• : aⁿ-1=(a-1)(a^n-1+a^n-2+⋯+a+1)
• : (a+b)ⁿ =Σⁿ_k=0 a^n-k b^k
• 이차 방정식 ax²+bx+c=0의 근의 공식:
• : x=(-b±√(b²-4ac))/2a
• 피타고라스 정리:
• : c²=a²+b²
• : a, b, c는 직각삼각형의 세 변의 길이. 단, c를 빗변으로 한다.
• : 이 정리로부터 삼각함수에서의 다음 등식도 유도된다.
• : cos² θ+sin²θ=1
• 삼각 함수의 덧셈 정리 (덧셈 공식)
• : sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
• : sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
• : cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
• : cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
• : tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
• : tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
• 코사인 법칙
• : △ABC 에서 ''a'' = BC, ''b'' = CA, ''c'' = AB, ''α'' = ∠CAB, ''β'' = ∠ABC, ''γ'' = ∠BCA 라고 할 때,
• : ''a''² = ''b''² + ''c''² − 2''bc'' cos ''α''
• : ''b''² = ''c''² + ''a''² − 2''ca'' cos ''β''
• : ''c''² = ''a''² + ''b''² − 2''ab'' cos ''γ''
• 헤론의 공식
• : S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
• : a,b,c는 삼각형의 세 변의 길이. 이 삼각형의 면적을 S로 한다.
• : 여기서, s는 반둘레이며, 다음 식으로 정의된다.
• : s = (a+b+c)/2
• 복소해석학에서의 오일러 공식: e^iθ=cosθ+isinθ
• 스털링 근사:
• : n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ
• : 단, n은 자연수이며, n!는 n의 계승을 나타낸다.
• 벡터 미적분학에서의 스토크스 정리
• : ∬_S rot '''A'''·'''n'''dS=∮_∂S'''A'''·d'''s'''

3. 1. 1. 수학 공식의 활용

3. 2. 화학 공식

3. 2. 1. 화학식의 종류

3. 3. 물리학 공식

• 뉴턴의 운동 방정식

• : $m\backslash frac\{d^2\; \backslash boldsymbol\{r\}\}\{dt^2\}=\backslash boldsymbol\{F\}$

• 맥스웰 방정식

• : 가우스 법칙 $\backslash mathrm\{div\}\; \backslash ,\; \backslash boldsymbol\{D\}\; =\backslash rho$
• : 가우스 법칙 $\backslash mathrm\{div\}\; \backslash ,\; \backslash boldsymbol\{B\}\; =0$
• : 패러데이의 전자기 유도 법칙 $\backslash mathrm\{rot\}\; \backslash ,\; \backslash boldsymbol\{E\}=-\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{B\}\}\{\backslash partial\; t\}$
• : 앙페르의 법칙 $\backslash mathrm\{rot\}\; \backslash ,\; \backslash boldsymbol\{H\}=j+\backslash frac\{\backslash partial\backslash boldsymbol\{D\}\}\{\backslash partial\; t\}$

3. 4. 컴퓨팅에서의 공식

4. 공식과 관련된 논쟁

4. 1. 공식 암기 교육의 문제점

5. 수학 공식집의 예

수학 공식집은 다양한 수학 공식들을 모아 놓은 책으로, 수학 학습 및 연구에 참고 자료로 활용된다. 시중에 판매되는 공식집에는 방대한 양의 복잡한 공식들이 수록되어 있다.

다음은 수학 공식집의 예시이다.

• 야노 겐타로 감수, 카스가 마사후미 편저 『모노그래프 공식집』 과학진흥신사 1968년 초판, 1998년 제5개정판 ISBN 9784894281639
• 고바야시 미키오 외 편저 『교리츠 전서 138 수학 공식집』 교리츠 출판, 1970년
• 모리구치 시게카즈, 우다카와 요시히사, 이치마츠 신: 「이와나미 수학 공식」(신장판), 이와나미 서점, 1987년
• I 「미분 적분·평면 곡선」, ISBN 9784000055079
• II 「급수·푸리에 해석」, ISBN 9784000055086
• III 「특수 함수」, ISBN 9784000055093
• 오쓰키 요시히코 역: 「수학 대 공식집」, 마루젠 (1983년 12월 1일) ※ 소련의 "적분, 급수, 곱의 공식집"(원저 1971년 발행)의 일본어 번역. 원저나 영어 번역판, 영어판의 개정판 상황 등에 대해서는 :en:Gradshteyn and Ryzhik을 참조.
• 오쓰키 요시히코 감수, 무로야 요시아키 역: 「신 수학 공식집Ⅰ: 초등 함수」, 마루젠, ISBN 4-621-03623-8 (1991년 9월 30일). ※ 소련의 공식집이 원본
• 오쓰키 요시히코 감수, 무로야 요시아키 역: 「신 수학 공식집Ⅱ: 특수 함수」, 마루젠, ISBN 4-621-03682-3 (1992년 3월 10일). ※ 소련의 공식집이 원본
• 아브라모비츠와 스테건/Abramowitz and Stegun^영어: 공식, 그래프, 수학 표가 포함된 수학 함수 핸드북, 도버 출판, 뉴욕, 1972년, ISBN 978-0-486-61272-0
• Bateman Manuscript Project: Higher Transcendental Functions, 3 volumes., McGraw Hill 1953/1955, Krieger 1981.
• [https://authors.library.caltech.edu/records/cnd32-h9x80 Bateman, Harry and Bateman Manuscript Project: ''Higher Transcendental Functions'', Volumes I-III (1953), Caltech Authors.]
• Bateman Manuscript Project: Tables of Integral Transforms, 2 volumes., McGraw Hill 1954.
• [https://authors.library.caltech.edu/records/mhd23-e0z22 Bateman, Harry and Bateman Manuscript Project: ''Tables of Integral Transforms'', Volumes I-II (1954), Caltech Authors.]
• Encyclopedia of Special Functions: The Askey-Bateman Project, Cambridge University Press
• Vol.I, "Univariate Orthogonal Polynomials", (Ed. Mourad E.H.Ismail), ISBN 9780511979156 (2020).
• Vol.II, "Multivariable Special Functions", (Eds. Tom H. Koornwinder, Jasper V. Stokman),ISBN 9780511777165 (2020).
• Vol.III, "Hypergeometric and Basic Hypergeometric Functions", (Ed. Mourad E.H.Ismail) , to be printed.

참조

_[1] 논문 A first exploration of effective reasoning https://www.cs.utexa[...] E.W. Dijkstra Archive, Center for American History, University of Texas at Austin 1996-07
_[2] OED formula
_[3] 서적 History of Mathematics Dover Publications
_[4] 웹사이트 Why do mathematicians use single letter variables? https://math.stackex[...] 2013-12-31
_[5] 웹사이트 List of Mathematical formulas https://www.andlearn[...] 2018-08-24
_[6] 서적 Set Theory and Logic Dover Publications
_[7] Citation Logic for Mathematicians Cambridge University Press
_[8] Citation A Concise Introduction to Mathematical Logic Springer Science+Business Media
_[9] 서적 Shriver and Atkins inorganic chemistry Oxford University Press
_[10] 웹사이트 Ozone Chemistry http://www.chm.bris.[...] 2019-11-26
_[11] 웹사이트 Ethanol https://pubchem.ncbi[...] 2019-11-26
_[12] 서적 CRC Handbook of Chemistry and Physics, 94th Edition CRC Press